Galitskii-2 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике)

Галицкий, Виктор Михайлович Часть 2.Задачи по квантовой механике: Учебное пособие для вузов.- 3-е издание, исправленное и дополненное. - М.: Едиториал УРСС, 2001.- 304 с.: ил. 1БВИ 5-354-00003-3, б/т экз. Вторая часть содержит задачи различной степени трудности, иллюстрирующие приложения квантовой механики к атомной физике, ядру и к физике частиц в той мере, в какой это можно сделать, не прибегая к специальным методам и представлениям этих областей физики. Предложено значительное число задач, посвященных различным вопросам теории столкновений, а также квантовой теории излучения и релятивистским волновым уравнениям.

Ко всем задачам даны решения. Книга адресована физикам — студентам и аспирантам высших учебных заведений, как экспериментаторам, так и теоретикам, изучающим квантовую механику. Квантовая (волновая) механика. Нерелятивистская квантовая механика Математика ББК 22.1я73, 22.314 Оглавление Предисловие к третьему изданию - 4с. Принятые сокращения - 5с. Наиболее часто используемые обозначения - 5-6с. Универсальные константы - бс.

Глава 10 Тождественность частиц. Вторичное квантование - 7-31с. 81 Симметрия волновых функций - 8-13с. 82 Основы формализма вторичного квантования (представление чисел заполнения) - 13-23с. 83 Простейшие системы из большого числа (М»1) частиц - 23-31с.

Глава 11 Атомы и молекулы - 32-111с. 81 Стационарные состояния атомов с одним и двумя электронами - 33-49с. 82 Многоэлектронные атомы. Статистическая модель атома - 49-61с. 83 Основные представления теории двухатомных молекул - 61-69с. 84 Атомы и молекулы во внешних полях. Взаимодействие атомных систем- 69-89с. 85 Нестационарные явления в атомных системах - 89-111с.

Глава 12 Атомное ядро - 112-139с. 81 Основные представления о ядерных силах. Дейтрон - 114-122с. 82 Модель оболочек - 122-133с. 83 Изотопическаяинвариантность - 133-139с. Глава 13 Столкновения частиц - 140-235с. 81 Борновское приближение - 144-158с. 82 Фазовая теория рассеяния - 159-166с. 83 Низкоэнергетическое рассеяние. Резонансныеявления при рассеянии- 166-192с. 84 Рассеяние быстрых частиц. Приближение эйконала - 192-201с. 95 Рассеяние частиц со спином - 202-209с. зб Аналитические свойства и унитарность амплитуды рассеяния - 209-215с.

87 Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения - 216-235с. Глава 14 Квантовая теория излучения - 236-258с. 91 Излучение фотонов - 238-246с. 82 Рассеяние фотонов. Излучение фотонов при столкновениях - 246-258с. Глава 15 Релятивистские волновые уравнения - 259-298с. 81 Уравнение Клейна — Гордона - 261-280с. 82 Уравнение Дирака - 280-298с. Дополнение - 299-300с. Список литературы - 301-303с. Предисловие к третьему изданию Эта книга — непосредственное продолжение первой части и потому имеет с ней единую нумерацию глав. Она содержит задачи, иллюстрирующие приложения квантовой механики к атомной физике, ядру и к физике частиц в той мере, в какой это можно сделать, не прибегая к специальным методам и представлениям этих областей физики, Предложено значительное число задач, посвященных различным вопросам теории столкновений.

Две главы посвящены квантовой теории излучения и релятивистским волновым уравнениям, Ко всем задачам даны решения, при необходимости — достаточно подробные. Б.М Кармоков ' 'В.И.К-ОН Принятые сокращения уравнение Шредингера волновая функция собственная функцип собственное значение дискретный спектр система центра инерции символ оператора (матрицы), олнако нал операто- рами уыноженин он, квк правило, не ставится знак пропорциональности знак порядка величины у. Ш. а. ф.

с,ф. с. з. д.с. с, ц и. (гп(у( ) = у„„ ш У„ ш — матричный элемент оператора 7 Уд (У) Кр! ш ТУ-РГ среднее значение величины у коммутатор операторов у и д По двум одинаковым («немым») векторным или спинориым индексам подразумевается вы- полнение суммировании. Наиболее часто используемые обозначения Фг(д) — при такой записи волновой функции д обозначает совокупггость переменных используемого представления, а у — собственные значения соответствующих физических величин или квантовые числа рассматриваемого состоянии зг'„"' — с.ф. линейного осциллптора, см.

(П 2) е — заряд частицы и с — скорость света Й вЂ” гамильтоииан Е, е — энергия Ф,йг — напряженности электрического и магнитного попей А — векторный потенциал электромагнитного поля (à — потенциальная энергия (потенциал взаимодействии) 0 но ыяи речь наст о конкретной реалыюв частице (электроне, протоне. сточном яаре и т л ), то е оеознзчзет зхгигямирьий заряд е 4,80 ГО ел СГСЭ (так что эзрал электроне раасн -е, протона +е, -~е ялра Яе н т л.) Смысл используемых обозначений поясняется либо в условии, либо в решении каждой задачи.

Однако имеется ряд величин, встречающихся ео многих задачах, для которых мы старались придерживатвся стандартных обозначений. Обозначении таких величин во всех случаях, когда это ие может привести к недоразумениям, в тексте не поясняются. Унибеузсольнь<е ко»сто»ты времени и т.д. Формулы теоретических Введений в начале каждой главы нумеруются римскими иифрами. Универсальные константы Решение ряда задач предполагает проведение числовых расчетоа Для удобства вычислений ниже приведены значения используемык физических величин. Постоянная Планка Элементзрный запал Масса электрона Скорость света Боровский ралиус (ат. ед.

плины) Атомная единица энергии Атал<пан елиница частоты Атомнан единица наприжснностн электрического паля Постоянная тОнкОЙ структура< Масса протона Энергия покоя электрона 1 эВ = 1,602 10 "эрг Р 6,6 р, де а» б< ц<, Иг Я, Яе 22 т,М д Р,Р й д ы 1, Ь, 7', 2 з,б з„(7) Н„(х) у, (р,р) Г(з) б(х), б(г) б,ь е,н оператор возмушеюш Липальный л<ол<ент скзлярный потенциал электромагнитного полн боровский рааиус Фазовый сдниг матрицы Паули вероятность переходе, вероятность перехода в единицу заряд ядра радиус потенциала масса, магнитное квантовое число масса, магнитный момент импульс волновой вектор массовое число ядра частота момент (орбитальный и полный) спин функция Бесселя полинам Эрмита шаровая функция гамма-функция б.функция Дирака единичный тензор, символ Кронекера антисиимстричный единичный псеедотензор, в<!< = 1 й = 1,055- !О"тт эрг с е = 4,80 ! О™ ел.

СГСЭ пл< =9,!1 10 г с = 3,00 10н см/с аа = 0,529 !О л см т,е — = 4,36 10 "эрг= 27,2! эВ д< — =4,13 1О' а ' д< — = 5,!4 1О В/см е т аа е' 1 о= — =— 7<с 137 т = !83бт, = 1,673 !О <' г т,с'=- 0,511 МэВ ГлаВа 10 Тождественность частиц. Вторичное квантование Волнояа»1 функция системы, аключаюшей тождественные частицы, облааает определенной симметрией относительно перестановки таких частиц, так что т'( ° б ° ° бв ° ° ) = +Ф( 6 ° ° 4в» ) здесь бв ш (г„, оь) — совокупность переменных (пространстаенных и спиновых) соответстауюших частиц.

При этом волновая функция симметрична при перестановке частиц с целым спином — базанов и антисимметрична для частиц с полуцелым спином — фермиоиоа. Соответственно в случае, когда отдельные частицы системы находятся в определенных квантовых состояниях, волновая функция системы а целом получается в резулыате симметризации произведения волновых функций одночастичных состояний для системы бозонов и антисимметризации — для фермионоа. При этом состояние системы определяется лишь указанием занятых одночастичных состояний (лля различимых частиц важен и способ распределения их по таким состояниям). Исследование многочастичных систем, автоматически обеспсчиваюшее квантовомеханический учет их тождественности, удобно проводить на основе пледе»чоаления чисел заполнения. Ишюльзусмые при этом операторы а~, а, — операторы рождения и унич»поженил частиц (в соответствующих дискретных квантовых состояниях, характеризуемых индексом в) в случае бозонов удовлетворяют соотношению коммутации [вы а») = (а~,а»1 = О, [она,+,] ш аа„+ — аса, = дв, (Х.

1) а а случае фермионов — антикоммугационным соотношением (ам а») = (а~, а») = О, (а„о,+,) ш аав+ ив»а, = б» (Х2) (так что для фермионных операторов аз = (а,+) =. О). Операторы й, = о,+а, являются операторами числа частиц в соответствующих квантовых состояниях. Для нормированных на единицу состояний с определенными значениями чисел заполнения имееьт н а,( ...,и„...) = ьlйт( ...,и, — 1,...); (для фермионов и, = О или П для бозонов и, = О, П 2,...).

Для системы тождественных частиц (как бозонов, так и фсрмионов) оператор адаитивной одночастичной физической величины, Гру = 2' 1,, в представлении ОУ 'у для ферт»ивиных снстсы влссь опушен фюсвыя ыножитсвь, сы. ~ !), в 65 Глава 10. ТождестВенность чостип чисел заполнения следующим образом выражаетса через Ф(б)-аператорыл рр! = /Ф'а/"!Ф(аВС злссь /1'1 — уже обычный одночастичный оператор в координатном представлении, операторы зкс Ф, Фч — операторы в пространстве функций чисел заполнения и зависит от 1 квк от параметра.

Длл двухчастичной физической величины, лчз! = 2 /„,, оператор в предста- 12) ась нлснии чисел заполнения имеет вид Р"! ш- О/Ф'(б)Ф'К')/(ПФК') (б) бдб' 2,/,/ (Х.4) 0 1. Симметрия волновых функций 10.1. Для системы из двух одинаковых частиц со олином з найти число различных спиновых состояний, симметричных н антисимметричных по отношению к перестановке спиновых переменных обеих частиц. решение. О липовые функции системы (ие симыетрнзованные в спинах) имеют видя Х, (и,) х х,!(ит), их число равно (2з+ 1)'. Следующие кол~бииации этих функций Хг, (тг ~ ) Х, (У2) 1 О) Ф,, = /- (Хь(ир)Х (пд) ДХд(и~)Хч(иг)/, л, те з'„ ~/2 нормированные на единипу, имеют определенную симметрию относительно перестановки частиц: Ф+ — снлгмстричные, а Ф вЂ” антисимметричные функции Число ггезавнстгмых симметричных состояний равно (э+ 1)(2з+ 1), а внтисиммстричных — в(2з+ 1) Привеаеиные функции не отвечают, вообще говоря, определенному значению В суммарного спина частиц (исключая случай б = 1/2, см.

5,10). Однако имел в виду результат 3.30, люжно утвсрхшать, что в симчетричных состояниях представлены значения В = 22,2з — 2,2г — 4, „а н антисинмстричных — В = 2э — 1,2з-3, (при этом, конечно, В > )э, .г- г',)). '20первтьпы Ф!(), Фь(П ьвляютсн шжнии мстим» слу гегч отратьров а„а,, соатьемтвуюаич нмбчру т .= г,е ДругаЯ часто ислользугиыя выбор а„а/ сеотвстстьгст ! = в, г Прл зтвн с аслью полгчени» анскргтншв спектра с 2 ниитльсь, вьссиьтритьеивл сигтеиз считается пьисшспньй ь ящик Еольеюгл, нгг конечного сбмча У = Ь~ Рвзлохеньь Ф-епсрвтьрь по плоским ввлням прннччаст ьнд ф(() = — у е™ек„в аш Прслельнмя перелаз У оо ь полученных ырра:ксннлх есушестэллетсь с помошью таисии 2; ..

(У/(2г) ) /Лте., Обобщение 4юрнгл (х.З), (х.4) нв случай ввонттальнню а,-операторе (ьигспт Ф(()) состоит ь чслользешнчн и ннх «т-прглстаэленнл ллл елевтеров /1 2, /1 '. 2! злесь хч(е) — ннвниРьььнньь спкчвгвл ФУнкснь отлтльиое юстины с аппехеленнмн тнечениеч прьекчхи сиьйа г, В тг чпндстввынии оив нигст вна хн(е) = б 10.2.