Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика.djvu), страница 9

В то же время возникает возможность параллельного использования классического и квантового подхода в ряде случаев (чем мы и будем пользоваться в дальнейшем, оговаривая специфику и особенности классического и квантового распределений, когда в этом будет необходимость). Предположим, что в течение длительного времени наблюдается некоторая система, являющаяся малой частью какой-то большой замкнутой системы. Разделим указанный отрезок времени на малые одинаковые интервалы Лй В фазовом пространстве системы отметим точки, соответствующие состояниям системы в моменты, отстоящие на Л1 друг от друга. Совокупность полученных точек распределится в фазовом пространстве с плотностью, пропорциональной в каждой точке значению функции распределения р (д, р) (см. З 5.1).

Допустимо и другое толкование физического смысла этого множества точек. Можно считать, что оии отображают состояние систем, входящих в статистический ансамбль в некоторый момент времени. Пусть каждая система, входящая в ансамбль, изменяет свое состояние со временем, отображая некоторое движение реальной системы. Изображающие точки при этом перемещаются в фазовом пространстве. Все члены ансамбля суть копии одной системы.

Изменение их состояния представляет собой одно и то же механическое движение, зз др !д ' д — + ф — (рд,)+ — (рр,)~ = О. д! (дт др; !=! Поскольку — =- О, то отсюда следует: др д! ;)'( — '(рв) + — ' (рр)) = О ! ! Выполняя дифференцирование и группируя члены, получим: !=1 др,, дв! Согласно (3.1) имеем: (6.2) дч! д«Н др! дд! дч!др; др! Как следствие второе слагаемое в (6.2) обращается в нуль. Тогда приходим к соотношению !=! А это означает, что 4унк!1ия статистического распределения постоянна вдоль траекгпорий изображающих точек в фазовом пространстсс.

39 происходящее с исследуемой системой, но взятое при разных начальных условиях. Для равновесных систем функция статистического распределения р (д, р) не зависит от времени явно. Это значит, что в любом месте фазового пространства плотность фазовых точек не изменяется со временем. Формально движение всех фазовых точек можно рассматривать как движение «молекул газа> в 21"-мерном пространстве и применить к нему известное уравнение непрерывности, выражающее собой сохранение общего числа частиц (в данном случае — фазовых точек)1 Уравнение непрерывности имеет вид а+ д!ч (ро) = О.

(6.1) д! Обобщение операции дивергенции на многомерное пространство есть В данном случае ! = 1, 2, ..., 2!, а координаты х, совпадают с обобщенными координатами д,. и обобщенными импульсами р, системы. Производные д! н р, являются компонентами вектора «скорости» фазовых точек. Уравнение непрерывности для газа фазовых точек принимает вид Таково содержание теоремы Лиувилля. Обсудим его подробнее. Равенство нулю полной производной от плотности газа фазовых точек по времени означает, что если перемещаться вдоль фазовой траектории вместе с какой-нибудь фазовой точкой, то значения функции р (д, р) будут постоянными на всем пути следования. Другими словами: при движении с потоком изображающих фазовых точек его плотность не изменяется.

Это свойство фазовой плотности используется для вывода важного следствия из теоремы. Выделим йл фазовых точек, расположенных в момент времени 1, в элементе объема 3Г,. С течением времени все эти точки перейдут в другой малый объем дГ,. По определению фазовой плотности можно записать йл = р,дГ, =- рфГ,. Согласно (6.3) р, = р,.

Отсюда следует равенство ИГ, = дГ,. Заметим, что теорема Лиувилля не запрещает изменение формы объема, заключающего в себе некоторое число движущихся фазовых точек, но сам объем остается постоянным. Таким образом, «газ» фазовых точек является несжимаемым. Доказанная теорема (6.3) есть следствие законов классической механики, которые управляют движением микрочастиц в системе. Она до некоторой степени ограничивает вид функции распределения (5.3): физическая величина р (д, р) является интегралом движения и поэтому может непосредственно зависеть только от таких параметров, которые сами являются интегралами механического движения системы.

Для двух квазинезависимых подсистем р = р,р,, откуда следует, что 1п р = 1и р, + 1п р„ т. е. логарифм функции статистического распределения есть аддитивный интеграл движения. Но таких интегралов всего семь: энергия Е, три проекции импульса р и три проекции момента импульса ~. Если еще учесть, что импульс и момент импульса относятся к движению системы как целого, а в статистической физике рассматривается только внутреннее движение в системе, то оказывается, что функция статистического распределения зависит непосредственно от единственной переменной — энергии системы: р=р(Е(д, р)). (6.4) Можно доказать, что этот результат справедлив и для квантоного случая: вероятность микросостояния системы определяется только значением ее энергии, т.

е. %', = Ч7, (Е). (6.5) По существу, в (6.4) и (6.5) содержится вся информация, которую можно получить из законов механики. Детальный анализ показывает, что для установления окончательного вида распределения необходимы дополнительные предположения, не сводящиеся к механическим. 40 6.2. Микроканоническое и каноническое распределения Вид функции статистического распределения задается аксиомой, постулатом статистической физики, имеющим свое оправдание в том, что все следствия из него подтверждаются экспериментально.

При этом различают два подхода. При первом рассматривается ансамбль, состоящий из одинаковых систем с равными энергиями, т. е. рассматривается вероятность различных состояний замкнутой системы, находящейся в равновесии, Ансамбль в этом случае называют микроканоническим и распределение — микроканоническим. При втором подходе рассматривается ансамбль из квазинезависнл(ых подсистем замкнутой системы, находящейся в состоянии равновесия. Члены ансамбля различаются и по энергии, т.

е. изучаются вероятности микросостояний квазинезависимой подсистемы при разных энергиях. Ансамбль в этом случае называют каноническим и распределение — каноническим Постулат о микроканоннческом распределении гласит: все микро. состояния равновесной замкнутой системы являются равновероятными, Согласно микроканоническому распределению система за большой промежуток времени пройдет все доступные для нее микросостояния. В среднем время пребывания системы в любом микросостоянии одно и то же. Эта новая формулировка микроканоннческого распределения эквивалентна ранее приведенной в силу эргодической гипотезы. Выразим минроианоничесиое распределение в классической статистичесной физике математической формулой.

Геометрическое место точек, соответствующих всем возможным состояниям системы с фиксированной энергией Е„определяется уравнением Еч = Е РЬ р). Точки заполняют некоторую поверхность в фазовом про. странстве. Плотность вероятности должва быть отлична от нуля на этой фазовой поверхности и равна нулю в остальных точках фазового пространства.

Учтем, кроме этого, что функция статистичесяо.о распределения представляет собой плотность вероятности, отнесенную х обьему фазового пространства. Тогда становится ясным, что минронанонячесное распределение следует записать таи: р (д, р) = сопы б (Еа — Е (ф р)), (6.6) где символ б обозначает б.фуницию Лираха. При вычислении средних с функцией (6.6) вклад в интеграл (5,6) вносят только точки поверхности постоянной энергии Е (д, р) = — Еа. Выше установлено, что для подсистемы, как части замкнутой системы, 1п р есть аддитивная функция энергии.

Но существует единственный способ удовлетворить требованию аддитивности, выбирая для 1и р линейную зависимость 1п р =(х+ ))Е((), р) где а и )1 — постоянные, причем р одинакова для всех членов ансамбля. Потенцируя, получим: о рв(ч, ю или, вводя новые обозначения констант, окончательно запишем: е (а, ю л (ч, а> ! в ! р = — е; ~%" ((), р) = — е ((Г. 1 ! (6.7) 4! Эта формула выражает классическое каноническое распределение Гиббса.

Может показаться, что распределение Гиббса (6.7) выведено из механики без дополнительных принципиальных предположений. Однако это не так: распределение (6.7) опирается на те же аксиоматические положения, что и микроканоническое распределение: вероятность состояния подсистемы определяется энергией только при условии равновероятности всех мнкросостояний с одной и той же энергией. В основу статистической физики может быть положено как микро. каноническое, так и каноническое распределение.

В теоретических рассуждениях удобно исходить из свойств замкнутой системы, как относительно более простого объекта. Поэтому в дальнейшем изложении, как это обычно и делается, мы будем считать основным постулат о микроканоническом распределении. Каноническое же распределение будет заново выведе- Ц'Е) но из микроканонического и детально проанализироваио в 5 7.