Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика.djvu), страница 4

(2. 12) с%' (н) ° ~ ~ ~ — ! е пз з!п Ос(пг(Ос(гр. Г/ р )з/з е а По 9 и ф можно интегрировать независимо от переменной н: и гп ~ з!пОс(ОИгр = йл. В результате получаем распределение г(узт (о) = ф г ~ ~ ) ~ з Рч'ог,(о (2.13) которое называется распределением Максвелла для модуля скорости. Геометрическое истолковзнне етого соотношения заключается в следующем: формула 12.13) определяет вероятность того, что в условном пространстве скоростей конец вектора скорости попадает в элемент объелза в виде шарового слоя между двумя сферами с радиусами о н е + пе.

Этот элементарный объеьгчзавен Чпсзпс, и он зависит от скорости. Это объясняет появление множителя о' в формуяе (2,13). 16 Если выражение (2.12) проинтегрировать по О и ф во всем интервале изменения этих переменных, то получим распределение вероятностей для модуля скорости: С помощью распределения (2.13) найдем среднюю энергию частищя: е= 3 4п ~ 1!) ~~о~е Рю*(о о Применяя формулу (П.8), получаем: — Зт 3 е = — = — ИТ. 43 2 Энергия газа в целом равна числу частиц, умноженному на среднюю энергию одной частицы У = л!е = — !уИТ. 2 Заметим, что энергия и давление связаны соотношением 2.4. Свойства максвелловского распределения по скоростям Пусть в сосуде имеется А! частиц идеального газа. Произведение А!!(5'(о) есть число молекул аА! (о), скорость которых заключена в интервале от о до о -)- !(о.

Согласно (2.11) и (2.13) дМ (о) = р (о) до, где р (о) = 4пУ ( — ) е а"' ое, г о 1з~з аы 2ИТ Функция р (о) называется функцией статистического распределения молекул по скоростям. Отношение о(о) 1 ыйф М Л/,Ь определяет концентрацию молекул с тем или иным значением скорости. Она равна плотности вероятности для модуля скорости. Аналогичные характеристики могут быть введены для каждой из проекций и для полной скорости частицы. На рисунках 3, а и 3, б даны графики плотности вероятности для модуля скорости и проекции.

На первом из них кривая имеет максимум. Это объясняется тем, что функция р (о) состоит из двух сомножителей, один из которых растет, а другой убывает с ростом скорости о. Дифференцируя р (о) по о и приравнивая производную нулю, находим точку максимума — наиболее вероятное значение екорости молекулы: 30 0 05 ЬО 55 20 Рис. 3, 5 Максвелловское распределе. иие для проекции скорости 0 05 ЬО 15 20 25 Рис. 3, а Яаксвелловское распределе- иие для модуля скорое~и "(а — З ог) 6 до Отсюда (2.14) (Тем самым разъясняется, почему по оси абсцисс (рис.

3, а) откладывается переменная и )и(). Она равна отношению †.) вн в С помощью формул (П.5) и (П.8) находим среднее значение скорости и средний квадрат скорости: о = )ос%'(о) = = = у 2 Гз'ат уйр У (2.15) то пг,()гт (о) 3 3ИТ (2.1 6) 28 лт в Эти данные позволяют найти 5,. Согласно (2.15), (2.16) и (!.2) 1 бв она 2 Отсюда видно, что максимум не является острым, поэтому график функции статистического распределения по скоростям плавно спадает по обе стороны от точки о = о„„причем медленнее в сторону больших скоростей. Эта асимметрия кривой приводнт к тому, что о„, ~ о. Численные оценки показывают, что примерно 57% лтолекул имеют скорости, большие о„,.

В то же время для 87'в молекул скорость 18 принимает значения от — и„, до 2п,, 2 Эаметим, что при любых температурах имеется некоторое число очень быстрых или очень медленных частиц. С ростом температуры график распределения становится более пологим (рис. 4), возрастает относительное число быстрых частиц, по- Рис.

4 максвелловское распредеэтому высота максимума снижается и ление при разных температурах он смещается вправо, в сторону больших скоростей, однако площадь под кривой сохраняет свое значение (она равна )). График распределения для проекции скорости изображен на рисунке 3, б. Кривая построена только для положительных значений пх. Ветвь при отрицательных значениях проекции скорости симметрична указанной на рисунке. Как легко видеть, о„= О. Этот результат есть следствие того, что оба направления движения являются равновероятными. Распределение Максвелла неоднократно и очень тщательно проверялось экспериментально.

Опыт подтверждает правильность изложенных выше положений молекулярно-кинетической теории. Таким образом, метод исследования, рассмотренный в данном параграфе, оказался весьма эффективным. Однако он пригоден для изучения только идеального газа. В истории развития науки вслед за молекулярно-кинетической теорией были выработаны методы статистической физики, пригодные для изучения любых макроскопнческих систем. Основы этих методов были заложены в работах Дж. Гиббса. Задачи к главе 1 1.1. Все значения величины х в интервале от а до Ь являются равновероятными.

Записать выражение для плотности вероятности и найти х, х>, б„. 1.2. Найти вероятность выпадения 1О очков при одновременном бросании двух игральных костей. Ответ: 1/12. 1.3. Воспользовавшись формулами из «Приложения>, нормировать гауссовсное распределение вероятностей (!.4) и вычислить б,. 1.4. Материальная точка совершает гармонические колебания, которые описываются уравнением х = а сов ы1. Найти вероятность ее обнаружения на отрезке от х до х + «(х, Решение.

Вероятность Лр' (х) обнаружения точки на бесконечно малом отрезке «(х оси Ох определяется отношением времени ее пребывания на этом отрезке дт к полуперподу колебаний как интервалу времени, за которое она проходит хотя бы раз все воз>южные положения: Ф «()р' (х) = —,; —. у)2 Как известно, Что насается г(й то оно равно Вычислим скорость точки: и = )х) = аы ( з!п ы! ) = магга~ — ха.

Таким образом, г(х п1р' (х) = Согласно (2.1!) Р = т!2лТ. (2) Как известно из механики, движение системы из двух частиц всегда может быть сведено к движению центра масс этой системы и огносигельному двнженшо частиц по отношению друг к другу. Положение центра масс определяется формулой глтю + lлзгз й= ли+ из (при тг = шз = гл). Скорость центра масс 1 п=)с=в 2 ! = — (г, + гД 1 равна (и + ое). Если ввести вектор расстояния между частицами г = г, — г,, то скорость относитель- ного движения второй частицы по отношению к первой равна и = г = оз — ом Так как о! и о, однозначно связаны с о и и, то вероятность иметь скорость центра масс, равную и, и относительную скорость, равную и, оказывается такой же, как вероятность того, что молекулы обладают скоростями п„и и,.

Чтобы потучить распределение вероятностей для скоростей о и и, достаточно в формуле (!) перейти к переменным о„, и, о и и, и, и . Прежние и новые переменные связаны соот- ношениями 1 "хх "л — ил' 2 1 озл па+ 2их) 20 1.6. Найти число молекул воздуха в объеме 1 смз при нормальных условиях, в ! смз воды и число атонов в объеме 1 см' твердого тела, члогность которого 6 ° 10з кг/мз.

Ответ, 3 ° 1О", 3 ° 1О", 1 10'з (1!сыт), 1.6. Вычислить среднее значение относительной скорости двух молекул идеаль- ного газа. Р е ш е н и е. Запишем вероятность того, что одна молекула имеет скорость пп а вторая оз. По теореме умноженвя вероятностей с помощью (2.6) находим г())з з, з г()уг (о, пз) = ~ — ) е ! 'з дотлбпг.о„доа„г(оз бпз . (1) 1 о, =о+ — и; 2 ! о =о — — и) 2 1 отг = ог нг' 2 1 о =о+ — н. ю г г. Еычислим якобнан преобразования [см.

(П. 1)): д (отх огу "ж "гх огу огг) ~ ("х "у "г нх "у нг) Кроме того, заметим, что о1+ ох= 2оз+ из Отсюда ! у я тз — р(згг+ з гг) б)Г (о, и) = ~ — ) г бо,г(о,г(о г(и би г(и . и х г л Найденное выражение представляет собой произведение двух распределений ве- роятности: 12)) тзУз з в бйг(о) = ( — ! е "'бо бо г(о (3) для скорости центра масс и I ))т з 'т2н) т,нгг т ад+ шг 2 Без дополнительных выкладок мы получим среднее значение относительной скорости и, если в формуле для средней скорости по распределению Максвелла (2.15) поло.

Г йхТ жиме=3.Тогда и = =о) 2, Л(г где о — средняя скорость теплового движения молекул. для относительной скорости, что отражает независимость этик двух величин: при заданной скорости о может быть любое значение н. Если учесть определение постоянной 5(сьц (2)), то формально мы имеем два распределения Максвелла: для частицы со скоростью о и удвоенной массой и для частит цы со скоростью и и массой, равной —. Физически полученный результат совер. 2 шенно закономерен. Если бы обе частицы были жестко связаны, то для скорости такой системы распределение Максвелла имело бы вид (3), С другой стороны, отно.

сительное движение есть самостоятельная степень свободы системы двух частиц. И его всегда можно свести к движению второй частицы относительно неподвижной первой, если ее массу принять равной приведенной массе системы Глава Н ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ й 3. МИКРОСКОПИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ 3.1. Предмет и метод статистической физики Предмет статистической физики составляют закономерности взаимодействий и свойства макроскопических тел, обусловленные тем, что макроскопические тела состоят из большого числа частиц. Так, в объеме 1 см' воздуха при нормальных условиях содержится примерно 3 1О" молекул.