Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Системы с таким числом частиц имеют специфические особенности, для объяснения которых оказывается недостаточным знать только законы механического движения и взаимодействия отдельных частиц. Укажем, например, на характерную независимость состояния системы от начальных условий: каким бы способом не заполнять сосуд газом, в конечном итоге установчтся равновесное состояние, при котором в любой точке сосуда свойства газа будут одни и те же. При этом процесс установления равновесия является необратимым во времени. Механика же имеет дело только с принципиально обратимыми движениями. Если использовать классическую механику для описания поведения микрочастиц в системе, то для изучения движения всех молекул газа следует записать 3 19" взаимосвязанных уравнений Ньютона.

Представляется, что, решая эту систему уравнений, можно в принципе рассчитать поведение газа, но практически эту систему решить нельзя вследствие ее сложности. Кроме того, у нас нет информации о начальных положениях и скоростях всех частиц, и даже если бы решение и было получено, то формулы были бы столь громоздкими, что никаких сведений получить из них невозможно. Поэтому для расчета свойств больших тел по движению составляющих их микрочастиц необходимы методы, качественно отличные от механических. Необходимо отказаться от попыток проследить в деталях за движением каждой частицы и воспользоваться представлением о неупорядоченности, хаотичности их движения.

Те или иные состояния движения частицы оказывается допустимым рассматривать как случайные события. Тем самым открывается путь для применения вероятностных методов при исследовании свойств макроскопических тел. Ясно, что при таком подходе наиболее важным моментом будет установление закона распределения вероятностей для различных состояний отдельных частиц или всей системы в целом. Оби1ая физическая теория систем, состояи(ик из большого числа частиц, называется статистической физикой.

Сфера ее приложений очень широка: газы и жидкости, твердые тела н плазма, электроны в металлах, электромагнитное излучение, звездные системы — самые различные макроскопические объекты и явления могут быть предметом ее изучения. Как уже говорилось, для этой науки характерно использование вероятностно-статистических методов. В каждом случае исходят из тех или иных представлений о структуре макроскопического тела и формах взаимодействия между составляющими его элементами. Если ввести некоторый закон распределения вероятностей для состояний системы, то становится возможным рассчитать значения ее макроскопических характеристик (давления, энергии, энтропии и т. д.) при заданных внешних условиях и установить связи между ними. Таков метод статистической физики, к детальному разбору его мы сейчас и приступаем.

3.2. Микроскопическое состояние При изучении макроскопической системы в статистической физике исходят из определенной ее модели. Сначала выделяются элементарные структурные единицы, из которых построена система. Далее необходимо указать, как они взаимодействуют друг с другом и как средствами классической или квантовой механики описывается движение частиц. Статистическая физика рассматривает только такие виды движения внутри системы, которые имеют неупорядоченный, хаотический характер. В зависимости от интенсивности движения и взаимодействия между частицами в тепловое движение вовлекается вещество на разных структурных уровнях.

При комнатных температурах это молекулы. С повышением температуры следует говорить об атомах, так как молекулы при достаточно высоких температурах интенсивно распадаются. При температурах порядка 104 К атомы ионизуются, а при 1О' К начинаются ядерные превращения материи. В дальнейшем, если не будет оговорен конкретный состав, мы будем считать вещество состоящим из молекул.

Для описания движения микрочастип применяется квантовая механика, но для описания поступательного движения молекул можно прнменягь и классическую механику. (Даже для легчайшей из молекул — молекулы водорода — длина волны де Бройля меньше, чем 10 " м.) Мы используем представление о частице как материальной точке. Считаем, что в каждый момент времени частица имеет определен. нос положение в пространстве и импульс, которые задаются векторами г = (х, у, г) и р = (р„р, р,). Вместо декартовых ноординат и декартовых проекций импульса можно взять шесть других величин: три обобщенные координаты о, и три обобщенных импульса ро — это в ряде случаев упростит выкладки. Система из й частиц целиком описывается 6М переменными.

Одновременное задан ие 3)т' координат частиц с дН др» ' Р» = — — (» = 1,2...., ЗМ). дт (3.1) Функция Гамильтона (для свободных от связей частиц и потенциальных сил, действующих на них) есть энергия системы, выраженная через обобщенные координаты и обобщенные импульсы: Н = Е (ди р ).

В декартовых координатах н='~ — "+и(л. г,, , Ьл» Первое слагаемое есть суммарная кинетическая энергия частиц, второе — потенциальная энергия их взаимодействия друг с другом и внешними телами. Л обозначает параметры внешнего воздействия на систему (например, характеристики наложенных полей, объем и т. д.). Часто потенциальную энергию можно представить в виде суммы последовательных членов, первый из которых определяет взаимодействие каждой из частиц с внешними полями, второй — задает потенциальную энергию попарного взаимодействия частиц, последующие относятся к более сложным видам взаимодействий: и и и и=~и,(л, г,)+~~и,„(г, .„)+ ... »=» »=»ь>» Если взаимодействие между молекулами отсутствует или оно пренебрежимо мало, то и=~и,(л, .,). (3.2) »=1 Система, потенциальная энергия которой выражается формулой (3.2), в статистической физике называется идеальным газом.

3.3. Фазовое пространство Для математического описания состояния системы из М частиц вводится условное пространство 6М измерений, в котором по осям декартовых координат откладываются обобщенные координаты и импульсы всех частиц системы. Оно называется фазовым пространством. Каждая точна в нем имеет бМ координат (ц», р,) и изображает опре- 34 и ЗМ импульсов определяет микроскопическое состояние системы, Микроскопическое состояние, микроскопическое описание системы сопоставим с макроскопическим состоянием, макроскопическич опи.

санием системы, которые сводятся к заданию немногих термодинамических параметров. Это два уровня информации о системе — детальный и крупноплановый. С течением времени координаты и импульсы частиц изменяются,— следовательно, изменяется и микросостояние системы. В статистической физике движение системы удобно описывать уравнениями Гамильтона: деленное микросостояние всей системы в целом.

Изображающая, или фазовая, точка с течением времени меняет свое положение в фазовом пространстве. Линия ее движения называется фазовой траекторией. Уравнение фазовой кривой можно задать 6М функциями Ч1=Ч1(г)' Р~=Р~(!); (=1, 2, ..., ЗМ, (3.3) которые являются решениями уравнений Гамильтона (3.!).

Фазовая траектория описывает последовательную во времени смену микросостояний системы. Ее не следует путать с перемещением частиц в реальном трехмерном физическом пространстве. Элемент объема фазового пространства «Г равен (3.4) «Г = «Ч1«Чз " «Чем «Рг«ре " «рея или, в кратком обозначении, «Г = «Ч«р, (3.5) Если Ч, — декартовы координаты точек в реальном пространстве, то «Г = П («х«у«г«р «р «р,), ~=! или (3.6) И = ~«И = ~й «У«г«Р„«Р„«Р,.

Пределы изменения координат х, у и г ограничены объемом сосуда, в котором находится газ. Положение частицы в пространстве никак не связано с ее импульсом. Поэтому по пространственным переменным можно интегрировать независимо от интегрирования по проекциям импульса: д = )'«х«у«г)' «р,.«р «р, = г'з«р,«р,,«р,. «Г = «г«р. Фазовое пространство можно разбить на два подпространства: пространство импульсов и пространство конфигураций. В первом из них по ЗМ осям координат откладываются обобщенные импульсы, а во втором — обобщенные координаты частиц, входящих в систему.

Иногда фазовое пространство разбивают иа М подпространств, соот-' ветствующих каждой частице. Эти подпространства 6-мерны. При любых разбиениях на подпространства элемент объема «Г равен произведению соответствующих элементов объема подпространств. Все микросостояния изолированной системы лежат в конечном объеме фазового пространства. Это связано с тем, что координаты и импульсы частиц изменяются в ограниченных пределах. Объем д фазового пространства одной частицы, свободно движущейся в объеме )г физического пространства и имеющей энергию е в интервале от О до е„равен Для нахождения пределов изменения проекций импульса учтем связь между энергией и импульсом: Ра 2т Если О < е < еа, то О < р < р,, где Р, = ) 2паеа.

Возможны любые направления движения, поэтому — Ра < Р. <- Ра' Ра ~ ~Рт ~» Ра' Ра < Ра <- Ра Но в любой момент а 2 2 Ра + Рт + Ра = Р ° Отсюда видно, что все допустимые микросостояния частицы заполняют в подпространстве импульсов сферу радиусом Ра, Ее объем равен пРАРаг(Р. — 3 Ра. Для фазового объема д получаем выражение 4п)~ (2лае )ам (3.7) Отсюда следует, что всем микросостояниям частицы с энергиями от е до е + пе соответствует элементарный фазовый объем йд = — Яа(е = 4лтг'7 2глеЫ, (3.8) да Пусть в сосуде объемом У находится У одинаковых частиц.

Характеристики

Список файлов книги