Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика.djvu), страница 7

Для электронов, протонов и нейтронов з= — и $ = 2. 2 При з = 1 $ = 3. Исключение представляют фотоны, У них при единичном спине существуют только две возможные ориентации вектора спина относительно направления их движения. Поэтому для фотонов 5=2. Далее укажем, что формула (4.8) и следующие нз нее соотношения (4.10) и (4.11) не учитывают тождественности частиц. Если микроча- З1 стицы неразличимы, то все состояния системы, отличающиеся только перестановкой частиц по возможным для них квантовым состояниям, принимаются за одно микросостояние. Кроме того, в системах, состоя- щих из одинаковых фермионов (частиц с полуцелым спином), реализу- ются только те микросостояиия, в которых все частицы находятся в разных квантовых состояниях. Следовательно, нельзя записать обще- го выражения для числа квантовых состояний для всех без исключения систем.

Рассмотрим идеальный газ, состоящий из частиц без спина. Если движение молекул близко к классическому, то можно воспользоваться формулой (4.11), введя в нее поправку на тождественность частиц. Микросостояние газа определяется совокупностью квантовых состояний отдельных молекул. Его можно описать выражением (1)„, (2)„ ... (М)„ , где цифры в скобках обозначают частицы, а индексы а, — их кванто- вые состояния. Допустим, что все молекулы находятся в различных квантовых состояниях (нет совпадающих индексов а,).

Такая ситуа- ция является типичной для «почти классического» газа (см. 5 21.5). Каждый набор индексов (а,, а„..., а,,) отвечает некоторому ми- кросостоянию. Среди всевозможных наборов есть такие, которые от- личаются только перестановкой индексов. Если все частицы различ- ны, то любая перестановка индексов приводит к новому микросостоя- нию. Для такой системы число микросостояний равно числу различ- ных наборов чисел ап умноженному на Ь!!.

Если же имеет место тож- дественность частиц, то число микросостояний совпадает с числом неодинаковых наборов индексов ап т. е. оказывается в А!! раз меньше. Молекуле газа, находящейся в а-м квантовом состоянии, можно приписать определенные значения координат и импульсов (в пределах точности, которые вытекают из соотношений неопределенности Гей- зенберга). Пусть частица а имеет значения обобщенных координат и импульсов д, и Р,, а частица Ь вЂ” д» и р,.

Переставим частицы места. ми. Теперь состояние молекулы а характеризуется величинами 4» и Р„а молекулы Ь вЂ” д, и р,. Для классической системы микросостоя- ния (а)«па (Ь)«ич и (а)«сь (Ь) ... различны. Для квантовой систе- мы мы имеем дело в обоих случаях с одним и тем же мнкросостоянием. Когда формула (4.11) применяется к системе из двух частиц, то в фазовый объем Г входит как точка д, = дм Р, = Р«!!» = Ч» Рь = Р, так и точка д« = д», Р, = Р» дь = 4» Рь = Р,. Поэтому вычис- ление дает вдвое большее число микросостояний, чем оно есть на самом деле. Для системы из л! частиц результат будет завышен в Ь(! раз.

Чи- сло микросостояний идеального газа определяется формулой й» = ,у! (зпа)»т Аналогичным образом вместо формулы (4.10) следует использовать соотношение кг г!! (зла)зи ' й З. ФУНКЦИЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 5.1. Вероятность состояния и вероятность значения физической величины В предыдущих параграфах было показано, что микроскопическое состояние системы определяется при классическом подходе положением изображающей точки в фазовом пространстве, а в квантовом случае — набором квантовых чисел всех микрочастиц. С течением времени положение изображающей точки в фазовом пространстве (или набор квантовых чисел) изменяется, если система переходит из одного микросостояния в другое.

При этом различные параметры системы изменяют свои значения в зависимости от микросостояния системы. Статистические закономерности в системе проявляются прежде всего в том, что имеют место различные вероятности различных микро- состояний, а вместе с ними вероятности для значений физических величин, описывающих всю систему в целом.

Пусть имеется дискретный ряд состояний системы (это соответствует квантовому уровню ее рассмотрения). За большой период времени Т система проходит много раз через все состояния, находясь некоторое время в каждом из них. Обозначим через 1, время пребывания в 1-м состоянии. Тогда 1(Г, = 11ш — ' (5.1) г Т есть вероятность этого состояния. Совокупность чисел (Р, образует распределение вероятностей для состояний системы. Пусть 1-му состоянию отвечает значение Е, величины 1.. Тогда соотношение (5.1) определяет также и закон распределения вероятностей для значений величины 1..

Введем понятие статистического ансамбля систем. Вместо одной системы можно наблюдать большое число (в пределе — бесконечное) таких одинаковых систем. Причем каждая из них будет находиться в одном из возможных для исследуемой системы микросостояний. Нас будет интересовать, как часто среди членов ансамбля встречаются объекты, представляющие какое-нибудь микросостояние изучаемой системы.

Обозначим через и, число систем в Нм квантовом состоянии и через А1 число членов ансамбля. Тогда вероятность обнаружить какую-нибудь систему в заданном состоянии будет равна 15к, = Игп — "'. (5 2) н, гк' Предполагается, что закон распределения вероятностей для ансамбля систем будет тем ске, что и для временной последовательности состояний одной системы. Это положение известно под названием эргодической гипотезы и составляет один из исходных принципов статистического метода.

Существенно, что исследование ансамбля систем на основе законов механики (классической или квантовой) позволяет найти вид статистического распределения (5.2). Заказ М ЗЗ В классической физике непрерывная последовательность состояний характеризуется значениями обобщенных координат и обобщенных импульсов. Обозначим через г()Р' (д, р) вероятность того, что указанные переменные примут значения от д до д + Йд и от р до р + г(р соответственно.

В то же время п)Р'(а, р) есть вероятность того, что изображающая точка в фазовом пространстве попадет в элемент объема др = дддр вблизи фазовой точки с координатами (д, р). Вместо формулы (5,1) в классической статистике используется выражение г%'(д, р) =1пп —, т Т' где Ж вЂ” время нахождения изображающей точки в элементарном фазовом объеме дГ. Классическим аналогом соотношения (5.2) является выражение Л~(д, р) =1пп —,, лн и где г1Л' — число систем, членов статистического ансамбля, фазовые координаты которых лежат в интервалах от д до д + дд и от р до р + + др. Введем плотность вероятности р (д, р).

Тогда т (д, р) = р (д, р) (г. (5.3) физическая величина р (д, р) играет фундаментальную роль при статистическом описании системы, так как она определяет распределение вероятностей для значений переменных д и р, задающих состояние системы. Именно эту величину называют функцией статистического распределения, нахождение этой функции — главная задача статистической физики. При известной функции р (д, р) можно определить состояние и поведение системы как макроскопического целого. Вероятности для значений любой физической величины находятся с помощью распределения (5.3), так как в классической физике всякая величина есть некоторая функция обобщенных координат и импульсов: 1.

= 1. (д, р). 5.2. Макроскопические величины как средние значения по состояниям Зная функцию распределения вероятностей микроскопических состояний, можно вычислить средние значения физических величин— макроскопические характеристики системы. Если имеется дискретный ряд состояний, при которых величина (. принимает значения Е, с вероятностью У7ь то среднее значение определяется соотношением Е = ~~~~Е,.Я7~ (5 4) Сумма берется по всем допустимым квантовым состояниям системы. При этом распределение вероятностей ))г, должно быть нормировано условием 34 ~)р, = (. (5.5) Для непрерывной величины в классической статистической физике, учитывая определяющее соотношение (5.3), получим: е = ~ й (д, р) р (д, р) (г. (5.5) Относительная флуктуация аддитивной величины для системы, состоящей пз М независимых подсистем, может быть малой, если число частей достаточно велико.

Как показано в з !.6, 1 Ч ~Гп ' Это соотношение является частным случаем общей закономерности: статистический метод применим лишь к системам, состоящим из боль- шого числа частиц. Для таких систем средние значения величин объек- тивно характеризуют состояние системы: ввиду малости флуктуаций они могут быть приняты за истинные значения.