Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 99

Однако при давлениях ниже 30 атм гелий не затвердевает ни при каких температурах и остаатся жидким вплоть до Т-ь О. В точках на кривой У происходит фазовый переход гелия 1 в другую модификацию. Об этом свидетельствует ход тепловмкости (рис. 69), плотности и ряда других свойств гелия в зависимости от температуры. Теплоемкость претерпевает скачок в точке перехода, на кривой плотности в этой точке наблюдается излом и т. д. Поскольку скрытая теплота фазового перехода гелий ! †гел П равна нулю, этот фазовый переход является типичным фазовым переходом второго рода. Измерения коэффициентов расширения гелия 1 и гелия П и их теплоймкостей позволяют вычислить значение — в точке перехода ~р по формуле (76,!7).

Это вычисление приводит к результатам, согласующимся с величиной —, полученной из прямых измерений. лр Жидкий гелий П обладает целым рядом замечательных свойств, обусловленных его квантовой природой. Некоторые из них будут 477 й 1О71 ОБщее ОБсуждение еопгоса описаны ниже. Теория жилкого гелия В была разработана Л.

Д. Ландау '). Рассмотрим некоторую порцию жидкого гелия И, заключанную в сосуд. Вся жидкость, как целое, представляет квантовую систему; ев возможные значения энергии образуют некоторый энергетический спектр. При очень низких температурах пренебрегать дискретным характером энергетического спектра жидкости нельзя, несмотря на то, что жидкость является макроскопической системой. Нам нужно определить характер энергетического спектра макроскопической квантовой системы при весьма малых энергиях возбуждения. когда система может находиться только на уровнях энергии, близких к нормальному Г„кгл/г град ла да Га о 1 г 3 4 й'К Рис. 69.

уровню, на котором она находится при абсолютном нуле. Точное вычисление энергетических уровней системы, состоящей из большого числа сильно взаимодействующих частиц, пока не представляется возможным. Это в равной мере относится к жидкому гелию 11, к кристаллам, к взаимодействующим между собой электронам и любым другим системам взаимодействующих частиц.

Тем не менее, можно установить некоторые общие свойства энергетического спектра таких систем прн малых энергиях возбуждения. В частности, подобным энергетическим спектром будет обладать и жидкий гелий 11, в котором малость энергии возбуждения обеспечивается низкой температурой. Основным свойством энергетического спектра всякой макроскопической системы при малых энергиях возбуждения является то, что энергию возбуждения можно разложить на совокупность независимых «элементарных возбуждений».

т) В своам изложении мы следуем обзорной статье Е, М. Лифшица, помеитбиной в книге Кеезома «Гелий», ИЛ, 1949. [гл. хш 478 теогия жидкого гелия и Рассмотрим для конкретности энергетический спектр упругих колебаний кристалла или жидкости при малых энергиях возбуждения. Мы видели ранее, что движение атомов твердого тела можно разложить на независимые, не взаимодействующие друг с другом упругие волны, распространяющиеся по всему объему тела. Единственным различием между кристаллом и квантовой жидкостью является то, что в первом возможно распространение как продольных, так и поперечных волн, тогда как в жидкости могут существовать только продольные волны (волны сжатия и расширения).

Каждая из таких волн несет определенную, неизменную энергию, которая и может считаться элементарным возбуждением. Энергию всего тела можно рассматривать как совокупность элементарных возбуждений, т. е. как сумму энергий всех независимых упругих волн, распространяющихся в теле. Из сказанного ясно, что элементарное возбуждение является энергией возбуждения всего тела, как целого, но отнюдь не может рассматриваться присущей отдельному атому в теле, получившему избыточную по сравнению с другими атомами энергию. Каждое из элементарных возбуждений, представляющих звуковую волну, движется вдоль тела, испытывает отражение от его стенок, движется в новом направлении и т.

д. Наряду с энергией элементарное возбуждение обладает определенным импульсом. Движение всех элементарных возбуждений з теле можно уподобить движению невзаимодействуюших квазичастиц, квантов возбуждения, образующих внутри тела идеальный газ. Можно провести полную аналогию между световыми волнами и световыми квантами, с олной стороны, и упругими волнами и квантами возбуждения кристалла, с другой стороны. Подобно тому как световое поле можно трактовать как набор световых квантов (фотонов), поле упругих волн, заполняющих кристалл, можно заменить газом квантов возбуждения, часто именуемых фоноками. Следует, однако, сделать существенную оговорку. Эта аналогия, очень удобная для выполнения ряда расчетов, имеет лишь формальный характер. Звуковые кванты не имеют непосредственной физической реальности и служат лишь для математического выражения свойств дискретного набора упругих волн в кристалле.

Имея в виду эту оговорку, мы будем в дальнейшем считать, что энергия возбуждения тела представляет энергию квантов возбуждения, заполняющих весь его объем подобно идеальному газу. Энергия квантов возбуждения а связана некоторой, в общем случае неизвестной функциональной зависимостью с их импульсом )г. Рассмотрим теперь детальнее энергетический спектр в случае жидкого гелия. Как мы подчйркиваем, в настоящее время невозможно определить теоретически вид энергетического спектра.

Однако все основные свойства жидкого гелия можно вывести из некоторых простых предположений о виде спектра. Именно, следует предположить, что в гелии П имеются два вида квантов возбуждения †длинно- й 1071 ОБЩЕЕ ОБСУЖДЕНИЕ ВОПРОСА 479 (107,1) з —— сопз1. ° р. Длинноволновые возбуждения в жидком гелии П представляют упругие продольные волны расширения и сжатия. Поэтому постоянная в (107,1) есть просто скорость с распространения звуковых волн. Таким образом, для длинноволновых квантов можно написать: 3 = ср.

(!07,2) В гидродинамике показывается, что при возникновении в жидкости звуковых волн малой амплитуды она приходит в состояние безвих- ревого (потенцнального) движения. Однако в общем случае течение неидеальной (вязкой) жидкости является вихревым. Поэтому помимо продольных звуковых воли в жидком гелии Н должны существовать и другие элементарные возбуждения. Именно, мы будем предпола- гать, что помимо длинноволновых звуковых квантов возбуждения в гелии 11 существуют еше и коротковолновые кванты возбуждения, длина волны которых близка к некоторой длине А . Соответствующий л импульс коротковолновых квантов близок к ро= —.

При этом мы Ао примем, что энергия квантов с импульсом рз имеет минимальное зна- чение по сравнению со всеми квантами, импульсы которых близки к р . Иными сло- лк х вами, мы будем считать, что энергия элементарных возбуждений имеет вид кривой, изображенной на рис. 70. Тогда можно сказать, что в жидкости помимо длинноволновых квантов возбуждения, импульс которых близок к нулю, будут существовать еще кванты с импульсом р=р . Энергия таких квантов может быть написана в виде 5 — - (р.)+ 2н (107,3) 0 где в(р ) и р — постоянные, значения кото- гш ЕГО рых должны быть определены из опыта.

р/И, сч ' В разложении (107,3) по степеням (р — р ) Рнс. 70. член, пропорциональный первой степени этой разности, отсутствует, поскольку, по предположению, з(р) имеет з точке р =ре минимум. Постоянная во втором члене обозначена ЧЕРЕЗ 1А, ЧЕМ ПОДЧЕРКИВЕЕтСЯ, ЧтО ЭНЕРГИЯ КОРОТКОВОЛНОВЫХ КВаитОВ формально выглядит так же, как энергия обычных частиц. волновые и коротковолновые.

Первые кванты, имеющие большую л длину волны Х, несут малый импульс р= — „и малую энергию а(р). При малых р можно разложить функцию з(р) в ряд по степеням р и написать: 480 (гл. хщ твогия жидкого галия и Разумеется, нет никаких оснований заранее предполагать, что в спектре возбуждения квантовой жидкости преимущественно существуют кванты двух указанных типов. Однако введение подобного вида спектра оправдывается тем, что с его помощью оказывается возможным количественное объяснение всех своеобразных явлений, имеющих место в гелии П.

Вместе с тем, нужно иметь в виду, что кроме коротко- и длиннозолновых квантов возбуждения в жидкости имеются и кванты промежуточных длин волн, но число таких квантов сравнительно невелико. Кванты возбуждения, как мы только что подчаркивали, движутся по всему объему тела, не взаимодействуя (при малых возбуждениях) друг с другом, подобно частицам идеального газа, заполняющего объем тела. Если длинноволновые кванты возбуждения можно уподобить фотонам, коротковолновые кванты ведут себя как обычные частицы идеального газа, обладающие массой р.

Во избежание каких-либо недоразумений подчеркнем ещй раз, что эта аналогия имеет лишь математический характер. В действительности каждый квант возбуждения представляет особый вид движения всех атомов жидкости. Нельзя поэтому представлять коротковолновый квант возбуждения как реальную частицу, движущуюся з жидкости. Однако математическая аналогия между набором квантов возбуждения и идеальным газом позволяет легко найти термодинамические функции жидкого гелия. $108. Свойства жидкого гелия Наличие в жидком гелии П квантов теплового возбуждения означает, с макроскопической точки зрения, существование у него свободной энергии г, которую можно считать слагающейся из свободной энергии, обязанной своим происхождением существованию длинно- и коротковолновых квантов возбуждения, ~ = ~к+ ~к.

(108,1) Напишем выражение для каждого из слагаемых в отдельности. Свободную энергию длинноволновых квантов Рд можем сразу написать по аналогии со свободной энергией твердого тела при низкой температуре, учитывая только, что теперь могут существовать только продольные волны, а поперечные отсутствуют. Таким образом, 4к Г~к «ккк где М вЂ” число атомов жидкости в объйме У, кк,к,— максимальная частота звуковых волн и с †скорос звука. Поэтому, подставляя в (бб,у) значение 8 = †""', находим л для г'д: 4 кз(ЛТ)4 У (108,3) 48 Лкек 8 108) 481 свойства жидкого галия Несколько более сложным является вычисление Р„.