Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 95

При этом энергия системы будет зависеть от температуры и теплоЬмкость будет не равна нулю. У электронного газа в металле при Т = 0 дело обстоит не так. Хотя электроны и движутся с большими скоростями и заполняют высокие возбужденные уровни, заполнение возбужденных состояний не связано с тепловым возбуждением, а происходит из-за принципа запрета. Никаких переходов электронов на энергетические уровни. лежащие выше е„„„.

не происходит, н энергия всего газа остается строго постоянной. Электроны, движущиеся в металле, как н всякий другой газ, оказывают давление на стенки сосуда. Лля давления газа можно сразу написать выражение (12,2): СΠ— .'-~(.)~.=, 2жДГ Флюз (102,5) о $1021 элвктгоиный газ з мвтллле пги лвсошотиом излз 455 ческого взаимодействия.

Полное давление электроииого газа компенсируется силами притяжения между влектронным газом и ионами решетки (или положительным «размазанным» зарядом, которым мы заменили совокупность ионов решатки). Максимальная энергия электронов е„ч меньше глубины ямы У. Поэтому, несмотря иа то, что электроны движутся с очень большими скоростями при абсолютном нуле, оии ие могут вылететь из металла. В ходе предыдущих рассуждений мы молчаливо предполагали, что электронный газ является идеальным газом ферми, в котором можно полностью пренебрегать взаимодействием между частицами.

Законность такого допущения может показаться весьма сомнительной, особенно если учесть, что плотность вырожденного газа весьма велика и он состоит из заряженных частиц, для которых взаимодействие медленно убывает с расстоянием. Предположение об идеальности газа выполнено, если средняя кинетическая энергия электрона весьма велика по сравнению со средней энергией его взаимодействия с другими частицами. Средняя кинетическая энергия электрона даатся формулой (!02,4). ез Энергия взаимодействия электрона с ионом решйтки равна =, где г— г среднее расстояние между электронами и ионами.

М Если — †чис электронов и ионов в единице объема, то среднее расстояние г равно по порядку величины г — ( — ) Критерий малости энергии вваимодействия можно записать в виде пли, подставляя значение е„,„„. и производя простые переделки, —, »('„',")', Последнее неравенство показывает, что при большой плотности электронного газа отношение энергии взаимодействия к кинетической энергии мало. Это обстоятельство связано с тем, что энергия кулоновского взаимодействия, отиесвниая к одному электрону, растзт с плотностью электронного газа как плотность в степени '/з, а кинетическая эиергия — как плотность в степени з(„.

466 [гл. хч металлы ф 103. Электронный газ в металле при низких температурах Рассмотрим теперь свойства электронного газа при температурах, отличных от нуля, но являющихся еще достаточно низкими. Именно, предположим, что температура металла такова, что иТ значительно меньше, чем максимальная энергия электронов при абсолютном нуле е„,„,. В этом случае тепловое возбуждение электронного газа будет сравнительно незначительным. Это означает, что тепловое возбуждение может переводить электроны из энергетических состояний, заполненных при Т= О, только в близлежащие более высокие энергетические состояния. Ясно, например, что тепловое возбуждение недостаточно для того, чтобы поднять электрон с уровня энергии "'"" на уровень 2е„„ энергии —. Его хватает лишь на возбуждение электронов, нахо- 2 дящихся на энергетических уровнях, лежащих в узком интервале порядка МТ.

Часть электронов с этих уровней оказывается переброшенной на уровни, лежащие выше уровня а= а„,, но отстоящие от него не выше, чем дТ. На рис. 63 схематически изображено тепловое возбуждение при низкой температуре. Часть уровней, лежащих ниже в„„., оказывается емс с Рис. 63.

освобожданной чаще всего от одного из ваполняющих их электронов; на уровнях, лежащих выше е„ьз„появляются одиночные электроны. Функция распределения электронов по состояниям изменяется. Если при Т= О она представлялась ломаной кривой (рис. 62), то при низкой, но отличной от нуля температуре она принимает вид, изображенный на рис.

64. Распределение при Т= О показано на рис. 64 ломаной. Падение кривой при з ( а„„„ означает, что среднее число электронов на соответствующих уровнях оказывается меньшим еди- $103) элвктвонный газ в металле пги низких твмпегатгвлх 467 — — — 1 /~Т Рнс. 64. 2 2«(2'л) л р ~ )г ло (103,2) ,г о е ~~+1 Множитель 2 введен для учзта того, что каждому энергетическому состоянию отвечают два состояния, в которых могут находиться два электрона со спинами, имеющими противоположные ориентации. Средняя энергия электронного газа дается формулой 4 (2~)ЛУ( У й (103,3) Ло а-и о от+1 Интегралы, входящие в формулы (103,2) и (103,3), в общем виде не берутся.

Для вычисления их при низких температурах воспользуемся следующим приемом. Пусть 1 а-~ аат 11 ницы — электроны переходят на уровни, лежащие выше е ж. Та область энергий, в которых среднее число электронов на каждом уровне оказывается меньшим единицы, но большим нуля, называется зоной размышости функции распределения. Из рис.

64 и сказанного выше ясно, что ширина воны размытости по порядку величины 7гТ равна ЛТ. Число электронов, знало попадающих на уровни, лежащие выше е„„„;, весьма мало по 7/г сравнению с пслным числом электронов в металле. Точно так же число электронов, находящихся на уровне энергии «без пары», составляет малую долю от полного числа электронов. Условие вырождения ЛТ(( а,.„»„совпадает с условием вырождения газа Ферми, сформулированным нами в $100.

Перейдйм теперь к разбору количественной теории электронного газа при низкой температуре. распределение электронов по состояниям будет даваться функцией распределения газа Ферми 2«(2т) Л У о я» (103,1) Ло в-~ о от+1 где й~ — среднее число электронов в единице объема с данной энергией. Входящий в него парциальный потенциал р определяется из условия нормирования: (гл. хч 458 металлы 1 = ~ Уо" гЬ (л > О). о Интегрируя по частям, получаем: л+1 ~о (л+1) ~ до о (! 03,4) пределов первое слагаемое обращается, очевидно, — ~ изображена на рис.

65. 5(ы видим, что она дУ до функцией своего аргумента и имеет весьма резкий максимум при з=р. Введйм новую пе- ременную При подстановке в нуль. Функция является четной Тогда о и l =- — — — ~ (р+лТх)вот — и'х. 1 Г дУ Рис. 55. (а+ 1) Поскольку мы рассматриваем область низких температур, нижний предел можно ваменить на минус бесконечность: 1 (' дУ у= — ' ~р- х (и+ 1) Х 11 + ( + 1) + Н я + ...1 — д (1Оз 5) В той области изменения х, в которой — имеет значение.

отличное дУ дх от нуля, т. е. при а — р, величина х весьма мала. Поэтому первый множитель в подннтегральном выражении можно разложить в ряд и ограничиться первыми членамн разложения. При больших х, когда этого делать нельзя, подинтегральное выражение обращается в нуль за счат множителя — который ничтожно мал всюду, кроме х = О. ду дх' Таким образом, 5 103! элвктгонный глз в металла пги низких твмпввлттвхх 459 Поскольку — — четная функция, имеем: дУ д. о ~ х — Их=0, х — Их= 2 ~ х' — Нх= 0 э'Ч ( к~! дх,! дх о Отброшенные члены пропорциональны более высоким степеням отнолт шения —.

1 Возвращаясь к условию нормирования, в котором л = —, имеем: 4к(2ик)Э-' !' 1 айк(а 4к(2т)8 1l 2' — — ~),,„= „., р'л Х о оьт 4к(2т) - Р ко ( ) (!03 7) Ло 12 НН ' зко 7АТ)к1 нк (2т) ЛЪ'и" Х~1 — — Я~~— При Т=О второй член в (103,7) обращается в нуль и 8л (2т) Фа Зло 1 т'=о' Сравнивая (103,8) с (102,3), находим, что (103,8) (103,9) )от=о = «ко моао' Парциальный потенциал электронного газа при абсолютном нуле оказывается равным максимальной энергии электрона при абсолютном Поэтому /=— ! + (л+ !) Х [ ~ У д~ +( + ( ) ) — У дх + ...1 . (103,6) Легко видеть, что ~' —,Тдх=У!" =,' !!" = — 1.

ко Второй интеграл (103,6) вычислен в Приложении 1. Он равен —. 3' Окончательно имеем: 7= ~!— )а 1 Г ( +!)л (Ит\'1 (л+!) ~ 6 ~!а ] [гя. хч 460 МЕТАЛЛЫ нуле. При температурах, близких к абсолютному нулю, (103,7) можно решить относительно [А по методу последовательных приближений. В малом втором члене в (103,7) [А можно заменить н4 е„,а,. Тогда имеем: 9 авакс~1 8 ( ) 1 [ ~ (103 10) 3'4 44налогично находим для средней энергии электронного газа (а = †): 2)' 4я(2Л4) л р/2 4 444 Е = ( [4ч — [АЧ4 (ЙТ)з).

ЛА 'АЗ 4 (103,11) Подставляя значение р из (103,10) в (103,11) и пренебрегая высшими ЛТ степенями отношения —, получаем: Тепловмкость электронного газа окааывается линейной функцией температуры и обращается в нуль при Т=О, Коэффициент пропорциональности содержит только известные величины — универсальные по- М стоянные и плотность электронного газа —. Для простых металлов, например меди или серебра, атомы которых имеют один валентный, слабо связанный электрон, число свободных электронов, приходящихся на атом, можно считать равным единице. Тогда, например, для мели теоретическое выражение электронной тепловмкости имеет вид Сг = 0,9 ° 10-4 ШТ, (103,!4) Таким образом, теплозмкость электронного газа в согласии с опытными данными весьма мала и при нормальной температуре соста- Из (103,8) или (103,9) можно видеть, что условие вырождения 14Т((а„, и (100,16) совершенно идентичны.

Поэтому электронный газ является вырожденным при температурах Т(( "' ' . Мы укавывали уже, что для серебра максимальная энергия з„,„ч, выраженная в температурных единицах, равна 6 ° 104. для алюминия е„„„, в температурных единицах составляет 4 ° 104. Для других металлов она того же порядка величины. Благодаря этому условие вырождения оказывается выполненным даже при температурах, составляющих несколько тысяч градусов. Все температуры, вплоть до точки плавления, с точки зрения вырождения электронного газа являются низкими.

Ив (103,12) можно найти тепловмкость электронного газа С Ся= 444ЧО $1031 элвктвонный газ в металла пги низких тзмпввлтввлх 461 вляет неизмеримо малую долю теплоймкости кристаллической решетки. Тепловмкость решетки при температурах ниже характеристической температуры быстро убывает и стремится к нулю при Т-+ О, как куб температуры.

Теплоямкость электронного газа также стремится к нулю при Т-+ О, но гораздо медленнее, как первая степень температуры. Отношение теплоемкости электронного газа к теплозмкости ре- " гэ ьглгг шатки равно йччя С'г 5 АТ ( З)з УЯЯ Для меди е„„„=5 эл.-в характеристическая температура 6 = 335'К, так что г ч г Т'/( Рис.