Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 93

Имеется глубокое различие в законах статистического распределения у частиц, подчиняющихся законам классической и квантовой механики. Это различие связано не с каким-либо изменением статистических законов и даже не с учетом дискретного характера энергетического спектра, но с коренным изменением метода вычисления статистического веса состояний. Различие в методах подсчета статистических весов в классической статистике и в обеих квантовых статистиках связано с принципом тождественности частиц и обусловлено глубоким различием между повелением классических механических систем и повелением атомных частиц. Различие в статистических весах в статистиках Бозе и ферми обусловлено исключительно различием в законах квантовой механики, которым полчиняются частицы с целым и полуцелым спинами.

В этом смысле часто применяющаяся терминология «классическая статистика» Максвелла— Больцмана или «квантовые статистики» ферми — ))ирака и Бозе— Эйнштейна должна быть признана крайне неудачной. В действительности речь идет не о различных видах статистики, а о различных законах квантовой механики, которым подчиняются соответствующие частицы, о двух видах квантовой механики: для частиц с целым и с полуцелым спином. Статистические законы во всех случаях остаются совершенно неизменными. Если частицы подчиняются законам квантовой механики. предусматривающим частицы с целым спином, применение законов статистики приводит к распрелелению Бозе в Эйнштейна для частиц идеального газа.

Если же частицы подчиняются законам квантовой механики, предусматривающим частицы с полуцелым спином, та же самая статистика приводит к распределению Ферми — Дирака. Наконец, если частицы подчиняются законам классической механики, для системы частиц получается распределение Максвелла †Больцма.

446 стлтнстнчвскнв глспгнлелвния в квантовой статистике !гл. хй Естественно возникает следующий вопрос. Опыт показывает, что лвнжение атомных частиц описывается законами квантовой механики. Поэтому поведение любого илеального газа, состоящего из атомных частиц, лолжно описываться одним из квантовых распределений (100,7) или (100,10). Не является лн поэтому распределение Максвелла— Больцмана просто ошибочным, не относящимся к реально существующим газаку Отрицательный ответ может быть дан даже без анализа 'распрелелений (100,7) и (!00,10) на основании общих соображений.

Законы квантовой механики являются законами движения частиц, включающими законы классической механики как первое приближение. При известных условиях законы классической механики являются лостаточно хорошим приближением, и в пределах этого приближении можно считать, что движение частиц полчиняется законам классической механики. Следовательно, должны существовать и твкие условия, когла распределение Максвелла — Больцмана с достаточной степенью точности отражает фактическое поведение идеальных газов.

Газы, подчиняющиеся классической статистике, мы будем называть невырожденными. Напротив, идеальные газы, в поведении которых существенно сказываются квантовые законы, объединяются общим названием вырожденных газов. Нашей первоочередной задачей является обсуждение вопроса о том, в каких условиях газ является вырожденным, а в каких — невыро>хленным, или, иначе говоря, когда можно считать применимой классическую статистику, а когда необходимо учитывать законы квантовой статистики. При решении этого вопроса мы будем исходить из того, ь, что правильными, более точными законами являются распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Диг",м рака. Поэтому законом Максвелла— Больцмана можно пользоваться только Р(э тогда, когда различие между ним и квантовыми распределениями (! 00,7) и (100,10) становится достаточно малым.

Рис. 59. Сравнивая распределения (100,7), (!00,10) и (99,6), вилим, что они имеют в общем случае существенно различный характер (рис. 59). Однако это различие исчезает, если выполняется неравенство (!00,13) е ат ))1 В этом случае единицей в знаменателе в (100,7) и (100,!О) можно пренебречь и распределения Бозе и Ферми автоматически превращаются в распределение Максвелла — Больцмана. Таким образом, 2 100) квлнтовыв ялспявдалвння для идвлл1,ного глз! 447 膻 1 — е "т э — о елг 1 Тогда из условия нормирования (100,12) находим: Лр йря»ер 2я (2т)"' — '" à — ', ~2ятЛТ»'~ =1"--" '= " '.~" " '=за=( — )"' ло = и: ' .! ' = о=~ лз о откуда лт= — ( ят Т) (100,14) Таким образом, критерием законности применения классической статистики является выполнение неравенства 1 (2ятЛТ) '-' (100,15) При выполнении обратного неравенства наступает вырождение и пользоваться распределением Максвелла в Больцмана нельзя.

Мы видим, что критерий (100,15) содержит несколько параметров: прежде всего в него входит масса частиц т. Чем больше масса, тем больше левая часть неравенства. Далее, в неравенство (100,15) входит плотность газа и его температура Т. Как и следовало ожидать, неравенство (100,15) выполнено при высоких температурах и нарушается при низких температурах, так что при низких температурах должны сказываться квантовые эффекты. Выполнению неравенства (100,15) способствует также малая плотность газа. В обратном предельном случае, когда Р (2ятЛТ)Э" (100,!6) наступает вырождение газов, Таким образом, выромодение может быть обусловлено следующими причинами: 1) малая масса частиц, 2) большая плотность газа, 3) низкая температура. Чтобы составить себе представление о порядке величин, рас- смотрим два численных примера. неравенство (100,! 3) служит условием применимости классической статистики.

Для выполнения неравенства (!00,13) при энергиях з !еТ (при о ) 'нТ экспонента быстро возрастает), нужно, чтобы е "т' )) 1. Предположим, что последнее неравенство выполнено, так что при всех энергиях 448 статистичвскив гдспгвделвния в квантовой статистика [гл. хщ Пусть у нас имеется газ электронов. Масса электрона т = 9,1 Х К 10 ' г. Предположим, что плотность электронного газа такова, что в 1 смз содержится 6 ° ! 0"а частиц; тогда оказывается, что условие вырождения выполнено вплоть до температур порядка 2000 — 3000' К.

Уже в случае атомного водорода — легчайшего кз газов — вырождение может наступать только при очень низких температурах и высоких плотностях, так как масса молекулы водорода в 3700 раз больше массы электрона. Эти температуры и плотности лежат значительно ниже температур и плотностей, при которых становится существенным взаимодействие между атомами, приводящее газ к конденсации. Таким образом, только в случае электронного газа большой плотности вырождение может иметь место при сравнительно высоких температурах. Другим случаем квантового (вырожденного) газа является случай фотонного газа, свойства которого будут обсуждаться в й 11О. Мы не остановимся здесь более подробно на свойствах распределения Бозе и Ферми, поскольку целесообразнее обсудить их на реальных физических системах (электронный и фотонный газы).

Для всех обычных газов отличие квантовой статистики от классической при не особенно больших значениях температур и плотности оказывается ничтожно малым. Оба квантовых распределения, Бозе и Ферми, с большой степенью точности можно заменить распределением Максвелла. Отсутствие какого-либо различия между статистикой Бозе и Ферми станет понятным, если учесть, что среднее число частиц и» в отдельном квантовом состоянии по порядку величины оценивается следующими соотношениями: и» е»т а»т<~! В невырожденном газе при высокой температуре и малой плотности газа плотность заполнения состояний очень мала. В каждом состоянии в среднем находится гораздо меньше одной частицы..Поэтому не играет роли, могут ли в одно состояние попасть две и более частиц или нет.

— все равно они практически никогда не попадают в него даже попарно. Несмотря на то, что к атомным газам всегда можно применять классическую статистику (точнее, квазиклассическую статистику, по- 1 скольку учет дискретных уровней энергии н введение множителя— 1Ч! являются неизбежными), только создание квантовой статистики позволило решить целый ряд важнейших физических вопросов. Некоторые из них будут изложены в последующих параграфах. ГЛАВА ХЧ МЕТАЛЛЫ $ 1О1. Свободные влектроны в металлах Ранее мы рассмотрели тепловое движение атомов в твердых телах. Оио сводилось к связанным колебаниям всех атомов кристаллической решЬтки около положений равновесия, или к упругим волнам, распространяющимся по кристаллу.

Строго говоря, все сказанное относится только к кристаллам диэлектриков. При рассмотрении теплового движения в металлах необходимо принять во внимание существование в них так называемых свободных электронов. Согласно современным представлениям, наиболее удалйнные от ядра внешние электроны электронных оболочек атомов металла настолько слабо связаны в атоме, что при образовании кристалла, когда между атомами металла возникает сильное взаимодействие, они отрываются от своих атомов. При этом атомы металла превращаются в ионы.

Потеряв связь со своим атомом, внешние электроны свободно движутся по всему металлу от одного иона к другому. Металл можно рассматривать как совокупность ионов, находяшихся в узлах кристаллической решйтки, и электронов, движушихся по металлу. Конечно, электроны в металле нельзя считать совершенно свободными. Наоборот, они очень сильно взаимодействуют с положи- ----. ЛлЮМи==-" тельно заряженными ионами металла. На рис. 60 схематически изображена Ряс.