Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 94

60. потенциальная энергия У электрона, движушегося в металле. Положения ионов изображены точками на оси абсцисс. Все ионы расположены на определвнных расстояниях друг от друга, в узлах решзтки. Поскольку электрон притягивается к иону, его потенциальная энергия имеет минимум вблизи иона (в узле решетки). Поэтому потенциальная энергия электрона изображена периодической кривой с положениями минимума в узлах решетки и положениями максимума на середине расстояний между ионами. 29 зак !6вь в г левнч 450 )гл.

хч метАллы Ясно, что электрон, притягивающийся ионами, не может вылететь из металла, если только его кинетическая энергия недостаточно велика для преодоления притяжения к ионам решетки. В реальном металле максимумы и минимумы потенциальной энер. гии лежат на очень малых расстояниях (порядка !О-в см) друг от друга. Электрон, прошедший сравнительно малый путь(например, 1 см) в металле, пройдет через области максимума и минимума потенциальной энергии огромное число раз.

Такую быстроколеблющуюся потенциальную энергию можно в первом приближении заменить некоторой средней потенциальной энергией, постоянной по всему кристаллу. Это значит, что распределение дискретных ионов, расположенных на малых расстояниях друг от друга, мы заменяем сплошным «размазаннымь положительным аарядом, постоянным по металлу. В этом приближении во всех точках металла потенциальная энергия электрона будет иметь одинаковое значение. При переходе из одной точки в другую внутри металла электрон не должен совершать никакой работы и может свободно перемещаться по всему объйму, занятому металлом. Однако электрон не может выйти за пределы металла, если он не располагает кинетической энергией, достаточной для преодоления потенциальной ямы глубиной У, Мы видим, что в этом приближении электрон в металле можно уподобить свободному атому, помещенному в сосуд.

Совокупность всех свободных электронов в металле можно назвать электронным еазом. Таким образом, металлический кристалл можно рассматривать в первом приближении как совокупность ионов, образующих решетку, и электронного газа. наполняющего объем металла. Ионы в решетке и свободные электроны в этом приближении считаются движущимися независимо друг от друга. Взаимодействие между ними учитывается только введением постоянной потенциальной энергии ( — У) для всех свободных электронов. Тепловое движение в металле сводится к колебаниям ионов решетки и хаотическому движению свободных электронов. Поскольку мы считаем, что движение ионов и электронов происходит независимо друг от друга, мы можем рассматривать их в отдельности.

Тепловое движение ионов в решетке металла ничем не отличается от движения атомов в решетке неметаллического кристалла. Можно поэтому ограничиться рассмотрением свойств электронного газа. Представление о существовании гава свободных электронов в металле, являющихся носителями электрического тока, было введено задолго до появления квантовой теории и подтверждалось рядом фактов. Так, например, были произведены прямые измерения массы (точнее, отношения заряда к массе) носителя тока в металле, которые показали, что она точно равна массе электрона. Другое указание на существование свободных электронов в металле даьт известное явление испускания электронов нагретыми металлами, получившее 6 102) элвктгонный газ в металла пги авсолютном нтла 4Й широкое применение в технике (электронные лампы), Измерения распределения вылетающих электронов по скоростям показало, что оно является обычным распределением Максвелла.

Вместе с тем, был известен н ряд фактов, противоречивших гипотезе о существовании свободных электронов в металле. С классической точки зрения электронный газ должен был бы иметь значительную теплоемкость, сравнимую с теплоемкостью кристаллической решатки. Если принять, что число свободных электронов в металле равно числу атомов, т. е. что каждый атом по меньшей мере однократно иониаован, то теплоемкость электронного газа должна 3 была бы быть равна — й/Й= 3 кол/моль, как и у любого другого 2 одноатомного газа. Поэтому полная теплоемкость металла, слагающаяся иа теплоемкостей решатки (6 кол/моль) и электронного газа (3 кол/мола), должна была бы по крайней мере в полтора рава превышать теплоемкость диэлектрика.

В действительности ничего подобного не наблюдается. Теплозмкости металлов и диэлектриков почти не отличаются друг от друга. Дополнительной трудностью являлось то, что теплоемкость электронного газа не должна была бы зависеть от температуры, что противоречило третьему началу термодинамики. Разрешение этих противоречий было найдено после создания квантовой теории электронного гааа в металлах, изложению которой будут посвящены следующие параграфы. $102.

Электронный газ в металле при абсолютном нуле Рассмотрим прежде всего поведение электронов в металле при весьма низких температурах, близких к абсолютному нулю. Предположим, что все атомы при образовании металла превращаются в ионы, причем каждый атом ионизован однократно. Число свободных электронов в металле будет равно числу атомов. Эти электроны движутся совершенно хаотически и образуют электронный газ. Плотность этого газа будет чрезвычайно велика — число частиц в единице объйма будет в несколько тысяч раз превышать число частиц в обычном, не очень разрежйнном газе. Тем не менее, мы будем полностью пренебрегать взаимодействием между электронами.

Иными словами, мы будем считать электроны в металле идеальным газом. Оказывается, что теория, основывающаяся на этом предположении, дает объяснение очень большому числу фактов и находится в хорошем количественном согласии с опытом. Это показывает, что в действительности взаимодействие между электронами в металле не играет большой роли. Можно предполагать, что взаимодействие между электронами каким-то образом компенсируется взаимодействием электронов с ионами решатки. Последнее мы будем учитывать только сзмым грубым образом, как это указано 452 1гл. хч МЕТАЛЛЫ в предыдущем параграфе.

Электроны распределяются по всему обыму металла равномерно. Уровни энергии системы, состоящей из очень большого числа электронов, образуют почти непрерывный спектр. На каждом уровне энергии согласно принципу запрета может одновременно находиться не более двух электронов с противоположиыми ориентациями спина. Два электрона в металле будут заполиять самое нижнее энергетическое состояние с энергией, равной нулю.

Тре- спала Рис. 61. тий и четвзртый электроны вынуждены уже находиться на первом возбуждйнном уровне, который они полностью заполняют. Следующие электроны располагаются на более высоких энергетических уровнях, попарно их заполняя. Если полное число электронов в металле равно И, то при абсолютном нуле будут заполнены первые— Л' 2 состояния с энергиями е~(е „. Все остальные состояния с з) е„,„а будут свободны от электронов.

Это схематически изображено на л рис. 61. На рис. 62 представлена функция распределения электронов по состояниям при Т= О. Число электронов во всех заполненных состояниях равно двум, в незаполненных оно равно нулю. Очевидио, что благодаря принципу запрета электроны вынуждены Рис. 62. попадать в воабуждйнные энергетические состояния даже при абсолютном нуле.

Наядам энеРгию Яава. последнего, самого высокого иа заполненных энергетических состояний электронов при абсолютном нуле. Поскольку уровни энергии электронов в металле распределены почти непрерывно, мы можем написать для числа уровней энергии одного электрона, лежащих в интервале энергии е и я+с1я выражение 14,3). На каждом уровне энергии находится два электрона, так что для ф 102] элвктгонный газ в металле пги лвсолютном пуле 453 полного числа ааполненных уровней имеем: амач; 2я( „,„) 2Ъ' ~ 'у' ег/а =И, о (102,1) откуда (!02,2) нли (102,3) Энергия всех электронов при абсолютном нуле, очевидно, равна в„„„= 5 эл.-в или е„„„, = 6,0 ° 10' температурнных единиц. Можно найти также максимальную скорость электронов при абсолютном нуле Скорости электронов оказываются очень большими даже при абсолютном нуле. Мы видим, что свойства электронного газа коренным образом отличаются от свойств классического атомного газа.

Электронный газ в металле представляет полностью вырожденный газ Ферми. Функцию распределения электронов по состояниям можно было бы получить из распределения Ферми, считая выполненным условие вырождея ния е "~'((1. Это даат: е ~( ааааа л =~ 0 е мал. где и†среднее число электронов в одном квантовом состоянии, имеющих данный спин. Энергия электронного газа оказывается пропорциональной числу электронов /ч' в степени а/з и объему, заполненному электронным газом, в степени ( — е/з).

Электроны при абсолютном нуле не находятся в состоянии покоя, как этого следовало бы Средняя энергия отдельного электрона в электронном газе при Т=О составляет в/а от максимальной энергии е„,„„.. Подстановка численных значений величин, входящих в (102,3), дает, например, для серебра: 454 [гл. хч металлы ожидать, исходя иа классических представлений, а движутся с раз- личными скоростями. Средняя скорость этого движения весьма велика.

Несмотря на это, тепловмкость электронного газа при абсолютном нуле оказывается точно равной нулю. Лействительно, с,=ф) =о, — пг так как все направления движения электронов равноправны и пг = — . 3 ' 11ля пв нужно подставить выражение — з 2Еп АМ ' (102,6) где ††сре энергия, приходящаяся па один электрон. Тогда Еа М получаем: 2 Ео Р= —— 3 Гг' (102,7) Этот же результат можно получить и термодинамическим путем.

Подстановка численных значений лайт для серебра: р = 2 ° 1Оз атм. Такое огромное давление электронного газа дополнительно увеличивается отталкиванием электронов друг от друга из-за сил электрн- поскольку энергия газа не зависит от температуры. Фиаический смысл этого результата ясен: для того чтобы система имела отличную от нуля тепловмкость, она должна иметь возможность находиться в различных энергетических состояниях, причвм имеющаяся в системе тепловая энергия должна быть достаточна для перевода системы из нормального в возбуждйнное состояние.