Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 97

Полный магнитный момент заполненного состояния равен нулю. Он оста6тся равным нулю и при наличии магнитного поля. Вклад в средний магнитный момент всего металла могут вносить только те незаполненные состояния, в которых имеется один электрон. Спин последнего может свободно ориентироваться в поле, Поэтому магнитная восприимчивость единицы объвма вырожденного электронного газа будет даваться не формулой (105,1), а формулой рал ~кт где л,а — число электронов в незаполненных состояниях, которые играют роль в величине восприимчивости. Очевидно, что лой составляет некоторую долю от й Вычислим эту величину. Согласно результатам $ 103, вероятность нахождения электрона в данном состоянии с энергией а пропорциональна значению функции распределения у.

Вероятность того, что оно не заполнено, равна 1 — у. Поскольку в одном состоянии могут находиться только электроны с антипараллельными спинами, произведение вероятностей !(! — 1) представляет вероятность того, что в состоянии с энергией а находится один электрон и не находится второй электрон с анти- параллельным свином.

Иначе говоря, г"(! — г) представляет вероятность того, что состояние с энергией а будет заполнено только одним электроном. Полное число таких состояний, или, что то же самое, полное число непарных электронов, равно интегралу от произведения !(1 — !) на число состояний Ж с данной энергией, причвм интеграл берется по всем значениям энергии: лов = ~ /(! — У) ввввов о= ~ У (1 — У) )~ а в!а. (105,3) о о В сильно вырожденном газе р)) лТ, так что в — о 1 у' — ! ! у=сот в — о оат +! При г — р)) !оТ интегральное выражение экспоненциально убывает. Поэтому, вместо того чтобы интегрировать до бесконечно больших значений энергии, можно ограничиться интегрированием до значений а — р.

Тогда о 46У 5 !051 ПАРАМАГНЕТНЗМ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ Поскольку экспоненциальный множитель быстро убывает, можно вынести медленно изменяющийся множитель у о за знак интеграла, взяв его значение на верхнем пределе. Это дает: в->в Р в-Р о>вт ~/ос!з ~/1в ~ оьт п>о ИТ~Гвв(! е от) ИТ~/(в о о поскольку р,— !во)) ИТ (см.

(103,9)), откуда 4>в (2з>) И И Т Уг>во лвф = Ио (105,4) Подставляя это выражение в (!05,2), находим: ля 4я (2л>)кв Ъл >во (105,5) Входящий в (105,5) парциальный потенциал электронного гава можно выразить через число электронов по формуле (103,8). Тогда для у получаем: у =3( — ) ' — „~ ( — )'". (105,6) 30о Парамагнитпая восприимчивость вырожденного электронного газа оказывается не зависящей от температуры. Независимость парамагнитной восприимчивости от температуры имеет место до тех пор, пока пой(( 1>!.

Нетрудно показать, что из последнего условия получается условие вырождения (100,16). Действительно, подставляя в (105,4) выражение для р, мы приходим к условию (100,16). Для сравнения формулы (105,6) с экспериментом необходимо учесть очень интересный, специфически квантовый эффект. обнару>кенный Л. Д. Ландау. Ландау показал, что квантование поступательного движения электронов в металле приводит к появлению у них диамагнитной восприимчивости. Сущность этого явления состоит в следующем: с точки зрения классической теории в магнитном поле под действием лоренцовой силы электроны в металле начинают описывать окружности.

Каждая такая окружность представляет индуцированный круговой ток, который имеет некоторый магнитный момент, направленный против поля, и которому отвечает некоторая диамагнитная восприимчивость. Электронный газ обладал бы некоторым диамагнетизмом, если бы не эффекты отражения электронов от границы металла. Повторные отражения от стенок будут приводить к появлению В среднем кругового тока, текущего в противоположном направлении по отношению к токам в объеме металла. Расчет, произведйнный по классической теории, показь>Бает, что магнитные моменты круговых токов, текущих в объйме и вдоль стенок, в точности компенсируют друг друга. Результирующий 1гл.

хч 468 металлы магнитный момент системы оказывается равным нулю в полном согласии с результатами й 89. Эта классическая картина до некоторой степени сохраняется и в квантовой механике, с той лишь существенной разницей, что полной компенсации магнитных моментов не происходит. Причиной, по которой в квантовой механике не мажет иметь места компенсация магнитных моментов от объемного и пристеночного движения, является квантование движения в направлении, перпендикулярном к полю (при неквантованном непрерывном характере движения вдоль поля). Расчеты показали, что диамагнитная восприимчивость вырожденного электронного газа в точности равна одной трети парамагнитной восприимчивости.

Поэтому наложение обоих эффектов приводит к результирующей парамагнитной восприимчивости, численно равной двум третям от вычисленного нами значения. Теория находится в удовлетворительном согласии с экспериментальными значениями восприимчивости щелочных металлов. Так, например, для натрия у,„„ = 4,38 ° 1О , а у„, = 5 ° 10 ; соответственно для калия у,„, = 3,4 ° !О ', )1„,., = 5,1 ° 10 ~, 0 106. Металлы и изоляторы При рассмотрении свойств металлов мы предполагали, что число энергетических уровней в металле очень велико по сравнению с полным числом электронов и что энергетические уровни образуют сплошную полосу.

Область незаполненных состояний непосредственно прилегает к области состояний, заполненных при абсолютном нуле. Благодаря этому, как бы ни была мала тепловая энергия ИТ, в области энергий, лежащих выше з,„„„. нз величину ИТ находится очень много энергетических уровней. Тепловое возбуждение в металле всегда может перебросить электроны в область незаполненных состояний. Образование сплошной полосы энергетических уровней в металле согласно представлениям, изложенным в $ 5, можно схематически представить себе следующим образом.

Пусть з свободном атоме последний наиболее удаленный от ядра электрон находится в некотором энергетическом состоянии один, без парного электрона с противоположно ориентированным спином. Это состояние будет двукратно вырожденным, поскольку энергия электрона не зависит от ориентации его спина. В системе, состоящей из И независимых невзаимодействуюших атомов, соответствующий уровень энергии будет 2М-кратно вырожденным. При сближении атомов и установлении взаимодействия между ними уровень распадается на 2М смежных уровней, образующих сплошную полосу. Половина этих уровней энергии будет заполнена парами электронов, половина — свободна. Таким образом, нижняя полоса энергетических уровней, называемая зоной проводимости, возникает из нижних энергетических состояний валент- 469 $106! МВТАЛЛЫ И ИЗОЛЯТОРЫ ного электрона.

Возбужденные состояния валентного электрона, расщепляясь на большое число уровней, образуют другие зоны, не заполненные электронами (рис. 67, а). В некоторых случаях, изображенных на рис. 67, б, расширение полос так велико, что они перекрываются друг другом. Между полосами дозволенных энергий лежат Ю уураунен ааил ирааа- улсеасаи лгураеией ГФ-~джина урФреие Е7урауией ираааавиаега луураанеи Ьу-иралнии урааене Ряс. 67. полосы недозволенных энергий.

Образовавшийся кристалл будет обладать металлическими свойствами, поскольку незаполненные состояния непосредственно прилегают к заполненным состояниям. Такой случай имеет место у щелочных металлов, меди, серебра и некоторых других металлов. Предположим теперь, что в атоме имеется два внешних электрона, находящихся в одном энергетическом состоянии с противоположно ориентированными спинами. Состояние электронов в атоме будет не- вырожденным. Соответствующее состояние системы из М невзаимодействующих атомов будет М-кратно вырожденным.

При образовании кристалла оно распадается на М близких уровней, попарно заполненных электронами (рис. 68, а). Кристалл с таким расположением уровней является изолятором. В нам незаполненные уровни энергии отделены от заполненных уровней областью недозволенных энергий с интервалом Ьа. Йля того чтобы тепловое возбуждение могло перевести [гл. хч 470 металлы электрон нз заполненного в незаполненное состояние, тепловая энергия Й 7' должна быть порядка Ье.

То же относится и к возбуждению электронов электрическим полем. Значения соответствующей температуры или напряжйнности поля оказываются очень большими. При обычных температурах и полях электроны остаются на заполненных уровнях и не могут переносить тока. Таким образом, диэлектрик отличается от металла не общим числом электронов, а характером расположения полос дозволенной энергии.