Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 98

Однако из сказанного пе следует делать гу-ира~пныи' Фуражиру уриев Яалл ррлГзрлии Л/-~г агний ур ~и: Рнс. 68. вывод о том, что любые атомы с двумя внешними электронами обравуют при своем объединении кристалл изолятора. Помимо разобранного случая, возможно также расположение полос, изображзнное на рис. 68, б. Благодаря перекрыванию полос, возникающих из нормального и возбуждзнного состояний атома, незаполненная полоса непосредственно прилегает к заполненной. Вещество такого типа есть металл. Подобными металлами являются щзлочноземельные металлы, свинеп и ряд других.

Современная теория не позволяет заранее сказать, какой из этих двух случаев реализуется при объединении атомов с данными свойствами. Изложенная выше теория электронного газа является первоначальным, самым грубым вариантом теории металлов. В ней полностью игнорируется внутренняя структура металла.

Реальный металл, представляющий ионную решЕтку с периодически изменяющимся электрн- 471 зллдчи к ГлАВБ хч ческим полем, здесь заменвн потенциальным ящиком, внутри которого двигаются свободные электроны. Подобная упрощенная модель металла достаточно правильно передает ряд свойств металлов, некоторые из которых были рассмотрены з предыдущем параграфе. Однако она оказывается недостаточной при решении важнейших задач теории металлов в нахождения электро- и теплопроводности, оптических свойств и т. п.

В настоящее время разработана квантовая теория движения электронов в периодическом поле кристаллической решатки, которая позволяет правильно описать основные явления электро- и теплопроводности металлов. Изложение этой теории выходит за рамки данной книги. Нужно лишь заметить, что по новой теории проводившееся нами разделение электронов на связанные и свободные не является вполне точным. Оказывается, что даже электроны внутренних атомных оболочек могут двигаться по кристаллу. Однако они не участвуют в электропроводности и не дают вклада в теплобмкость. Нужно, однако, заметить, что, несмотря на имеющееся количественное согласие теории металлов с экспериментальными данными для большого числа процессов (тепловмкость, электропроводность, теплопроводность, термоэлектрические явления, парамагнетизм, поглощение света и ряд других), современная теория металлов далека от совершенства.

Ряд существенных, изученных экспериментально явлений(например, зависимость сопротивления от магнитного поля в сильных полях) не находит объяснения в современной теории металлов. ЗАЛАЧИ К ГЛАВК ХЧ 04. Найти число столкновений со стенкой (отнесенное к 1 жнз за ! сек.) в полностью вырожденном идеальном газе. Р е ш е н н е. 2рз Лр о соз В з!и В НВ Лз ЗЬ Лп" 32я Л гп 95.

Вычислить полное число квантовых состояний, которым обладает газ, имеющий температуру Т. Показать, что если число частиц в газе Ф значительно больше числа состояний, выполнено неравенство (100,15). Р е ш е н и е. Прн температуре Т импульс газовых молекул р У 2т~ У щЛТ. Объем фазового пространства ЬГ у ° рз (тЛТ) Лу. Число состояний ( ЛТ) ьУ Лз (гл.

Лм МЕТАЛЛЫ Неравенство ( И,Т) )г>>И совпадает с условием отсутствия вырождения (100,15). 96, Вычислить энтропию газа Ферми прн низкой температуре. Р е ш е н и е. Согласно (103,13). 8= С,) Т ЫаязИТ 2ааааа При Т- 0 имеем 8-аО в соответствии с требованием третьего начала термодинамики. 97. Написать распределение частиц по состояниям в слабовырожденном газе Ферми. Решение.

Считая выполненным неравенство (100,15), имеем: а Э р — а йя ' П ш) еат (1 еьт) )г —, 98. Найти уравнение состояния газа Ферми при низких температурах. Решение, На основании результатов задачи 30 (гл. Ш, стр. 87) имеем: 99. Получить выражение длн энергии и давления в слабовырожденном газе Ферми. Решение. На основании результатов задачи ЗО и формулы (103,3) имеем при слабом вырождении: р ° а Еом ' ' ~ йГаэ Ьт а(1 — Е ат)на 4я (2ар) И (г Из э 2 Е Тай / 1 Иэ )а'1 р=- — = — '1+ —, 3 )г К 1 20' (2типИТ)уа ~' ) 100. Найти температурную зависимость разности С вЂ” Ср при Т- 0 для р вырожденного электронного газа, энтропия которого обращается в нуль по закону Т. Решение.

По формуле (33,20) Но (37) = — (о ) 7, (~ ) -а сонат., С,— Ср 7а, 473 задачи к главк хт 101. Вычислить относительную квадратичную флуктуацию внергии в вырожленном газе Ферми. Решение. Принимая нулевую знергию за начзло отснята энергии, по формулам (б3,4), (103,13) и (103,12) имеем: !02. Найти относительную квадратичную флуктуацию числа частиц в идеальных газах Бозе и Ферми.

Р е ш е н и е. Пользуясь общей формулой для флуктуации числа частиц ц распределениями Ферми и Бозе, находим: (и — п)т = и ='- (п)з. Верхний знак относится к распределению Бозе, нижний — к распределению Ферми. !01. Получить формулу (104,6), непосредственно вычисляя поток электронов, вылетающих из металла. Решение. За 1 сек. через 1 смз поверхности металла вылетают все злектроны, удзряющиеся о поверхность и имеющие нормальную компоненту гло„' скорости о„ > ор, где — = К Число электронов, достигающих 1 смз поверхности металла за 1 сек. (2ИГ йТ ! где интегрирование ведатся по всем ов н и,.

Число электронов, вылетающих за 1 сек. через 1 сжз поверхности, - %' )') 1 ".", ","' 2яТ )гТ Вводим цилиндрические координаты П и, т так, что оз + пз = р~ Но т(п = а г12 Ит. Тогда =2( — ) ° 2я ~ уИ) ~ ГТ + Обозначим через У внутренний интеграл и введбм новую переменную Г ИО'1 и = ехр ~ — ~, а также обозначим '12яТ ~' А = ехр (2 йТТ й 474 [гл. хт МЕТАЛЛЫ Тогда рои и »ооо ЛТ) и»А+1 Лу)п[1 „,,-.ат ьт ты[ ш иоА т ЛТ[' Ъ и,[ гг Аи+1 и' 'лр' и' ЛТ ) [1 [ 'лт ьт'[ Л зьт ат гл рл (поскольку Я'))ЛТ).

» а»р» те 7=4я — — е "т [ е алтРФР= — (ЛТ)2 ° е о Считая такой ультрарелятивистский электронный газ полностью вырожденным, найти его полную энергиро. Решение. Число состояний с данной энергией. 4я)газ Ь гздз На каждом уровне находятся два электрона, так что ааааа 2 ° — ~ »2иа — Ф, 4я)г еойз о откуда ))(~нз ал =р„„„е =( — — ) Лс, 105. Найти давление в вырожденном ультрарелятивистском газе предыдущей задачи. Р е ш е н и е.

а» глоа р=2тп ~ о р(о„)»Уо„= — и, о 104. В некоторых условиях, имеющих, повидимому, место во внутренних областях звезд, давление в электронном газе столь велико, что средняя энергия злектронов становится сравнимой с л»еа, а скорость — сравнимой с е, где е †скорос света. В этом случае, согласно данным теории относительности, энергия связанз с импульсом соотношением а = ср. 475 задачи к глава хч 106.

Вывести распределение Ферми — Дирака из рассмотрения столкновений частиц с учетом принципа запрета Паули. Решение. Для того чтобы дзе частицы с знергиями ет и ез перед столкновениями могли перейти в состояния энергий еэ н ее при столкновении, необходимо, чтобы последние были не заполнены. Если еа (ва) (при й = 1, 2, 3, 4)— вероятность нахождения частицы в состоянии энергии еы а [1 — тя(вь)!— вероятность того, что состояние с энергией еь не ззполнено, то число переходов (еь ва) - (ез, ее) пропорционально Ш ( !) ' Ш (вх) ' [! Ш ( З)! ' [! Ш (44)! Тогда вместо (11,7) находим: ш (ег) ' ш (ез) ' [1 ш (ез)! ' [1 ш (Ч)! = ш (вз) ' ш (Ч) ' [1 ™ (ет)[!! ш (еэ)!.

деля на произведение ш (ет) ш (ез) ° та (ез) ° ш (ве), получаем: у (ве) у (ве) = у (ез) . у (ее). 1 Здесь 7 = — 1. При этом ее+ее= ее+ 44. ш (в) Решением функционального уравнения служит: е" нли ш= е 1 Ае"'+ 1 в +1 107. Найти электронную часть теплземкости полупроводника. Счигать при этом, что злектроны попадают в незаполненную полосу, освобождая состояние в заполненной полосе. Решение. Поскольку число электронов в верхней полосе мзло, к ним применима классическая статистика. Число электронов в верхней полосе можно написать в виде в — е ° -а ив= йь ~ е атйе =И~)еТе где обозначено через Яя число квантовых состояний на единичный иятервал энергии, а е — наименьшая энергия в верхней полосе.

Число свободных мест в некией полосе энергии равно, очевидно, Постоянная а находится из условия лт — — из Это даЕт п,=-и,=УРеоз йТ е тзт Теплоемкость электронного газа рвана а 0444 —, — ехт еэ ! 2ЛТ1 С, е -- г'Ядоя е — !!+ — !. дТ 2Т[ в )' При низких температурах Су весьма мала и становится заметной при ЯТсм е. ГЛАВА ХЧ! ТЕОРИЯ ЖИДКОГО ГЕЛИЯ !1 $ !07. Общее обсуждение вопроса Другим весьма интересным примером макроскопической системы, в которой сказываются квантовые эффекты, является жидкий гелий П. Жидкий гелий П представляет единственную жидкость, в которой проявляются квантовые эффекты. Все остальные жидкости отвердевают прн температурах, которые являются слишком высокими для того, чтобы при них могли проявляться квантовые эффекты.

Как показывает опыт, жидкий гелий может существовать в двух модификациях, получивших название жидкого гелия 1 и жидкого гелия П, резко отличающихся друг от друга по своим физическим свойствам. На рис. 47 (стр. 333) ивображена фазовая диаграмма гелия. Из нее видно, что при давлениях, лежащих выше 30 атм, жидкий гелий 1, представляющий высокотемпературную мсдификацию, при понижении температуры переходит в твйрдое состояние.