Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 103

С корпускулярной точки зрения равновесное излучение, заполняющее замкнутую полость, нужно рассматривать как некоторый фотонный гаэ, заполняющий объбм сосуда У. Частицы фотонного газа беспорядочно движутся по всем направлениям в сосуде, причбм направления их полэта изменяются при столкновениях са стенками сосуда. Взаимодействие между фотонами отсутствует ').

Поэтому фотонный газ по своим свойствам должен быть сходен с обычным молекулярным идеальным газом, заполняющим замкнутый сосуд. Однако наряду со сходством между фотонным и молекулярным газом имеется и очень существенное различие. Наиболее существенное отличие фотонного газа от молекулярного заключается в том, что в случае фотонного газа нельзя говорить о фиксированном числе частиц. В отличие от обычных частиц (электронов, протонов или г) Взаимодействие фотонов между собой нли рассеяние света светом является весьма маловероятным процессом.

Вго вероятность была вычислена Л. И. Ахиезером. Овз оказалась ничтожно малой. $112! СТАТНСТИКА ФОТОННОГО ГАЗА 496 406 [гл. хчп излячвнив атомов) фотоны могут создаваться или исчезать в момент испускания или поглощения света атомами. Поэтому число фотонов, находящихся в полости, нельзя считать заданным. Другим отличием фотонов от газовых молекул является то, что все они движутся с одинаковыми скоростями. В действительности, однако, это свойство фотонного газа не связано со специфической природой фотонов.

При очень больших значениях кинетической энергии любых частиц их скорости приближаются к скорости света и различия в скоростях отдельных частиц постепенно сглаживаются. Поэтому последнее отличие фотонного и молекулярного газа является несущественным. Важно лишь, что в фотонном газе, так же как в молекулярном, имеется некоторое распределение частиц по импульсам и энергиям. Наконец, между фотонным газом и газом обычных частиц существует еще одно отличие, имеющее скорее принципиальный, нежели практический характер. Как было показано в $ 20 и $ 11, установление распределения молекул по скоростям (или импульсам) тесно связано с взаимодействием между ними, происходящим при молекулярных столкновениях. фотоны же вовсе не сталкиваются между собой. равновесное распределение между фотонами может установиться только в том случае, если в полости имеется некоторое тело, могущее поглощать и излучать фотоны.

В процессе поглощения и последующего излучения происходит превращение фотонов одних частот в фотоны других частот. При этом число фотонов не должно оставаться постоянным, но должна сохраняться их полная энергия. Таким телом, в частности, могут служить стенки полости, заполненной «фотонным газом». Мы покажем сейчас, что. исходя из представлений о фотонном газе, можно с таким же успехом прийти к формуле Планка, как и при использовании волновой картины.

С корпускулярной точки зрения функцию р (ч. Т) можно интерпретировать следующим образом. Пусть в интервале частот ч, ч+йч или соответствующем ему интервале энергий фотонов а, а+не в единице объйма имеется е(Я квантовых состояний фотонов. Пусть, далее, среднее число фотонов в каждом состоянии равно п(а). Тогда среднее число фотонов с энергией между е и а+еЬ равно пп = и (в) пЯ. Их средняя энергия равна ап(е)с[Я. Но эта энергия представляет не что иное, как энергию излучения с частотой между ч и ч+г1ч. Таким образом, р (а, Т) е(ч = вп (е) е(Я. (112,5) Нашей задачей является нахождение п(е), т. е.

среднего числа частиц в газе с переменным числом частиц. Учитывая, что фотоны ! 121 497 стлтистикл фотонного глзл Уравнение (!12,6) показывает, что парциальный потенциал равновесного фотонного газа равен нулю. Таким образом, среднее число частиц фотонного газа, обладающих энергией е, в силу (100,7) и (112,4) следует написать в виде л(е)= е — ! т (112,7) Число фотонов с энергией между е и я+да равно соответственно 2 4ярз Фр 8я лз де Ие Леел е — ! лт е — 1 лт (112,8) Множитель 2 введен для того, чтобы учесть факт двукратного вырождения состояний фотонов с заданным импульсом р.

Данному значению р отвечают два состояния, соответствуюьцих двум возможным поляризациям света. Полное число фотонов в равновесном излучении может быть найдено интегрированием (112,8) по всем значениям е. Воспользовавшись формулой (112,3), можно выразить е через частоту ж Йелая эту замену и переходя от числа фотонов к их энергии, находим: т. е. формулу Планка. Нужно подчеркнуть, что если бы к фотонам было применено распределение Больцмана, а не распределение Бозе — Эйнштейна, то вместо формулы Планка получилась бы формула (111,5), справедливая тольЛч ко при —,)) 1. Действительно, подставляя вместо а(з) из (112,7) 32 зак, ыеч в Г леви« являются частицами со спином, равным единице, для и (а) можно написать распределение Бозе †Эйнштей.

Необходимо, однако, учесть особенность фотонного газа, связанную с возможностью поглощения и излучения фотонов стенками сосуда нли материальными телами, находящимися внутри полости. Число частиц в фотонном газе является переменным и зависит от состояния газа. Поэтому в отличие от обычного молекулярного газа свободная энергия фотонного газа зависит не только от переменных !г и Т, но также и от числа частиц в газе М. Прн данном значении 1г и Т число фотонов в состоянии равновесия будет иметь такое значение Из, чтобы свободная энергия Г (Ъ", Т, М ) имела минимальное значение. Таким образом, можно утверждать, что равновесное состояние фотонного газа имеет место при выполнении равенства дг!1; 7, ч) (112,6) д7ч' (гл.

хчн излучение ь выражение и=е «т=е «т, вместо формулы Планка(112,9) получим закон Вина (111,5). Таким образом, применять к фотонам классическую статистику нельзя. Область применимости классической статилч стики к фотонному газу ограничена условием — ))1. Это условие является обратным по сравнению с условием применимости классической статистики к осцилляторам электромагнитного поля. Итак, при больших частотах (или низких температурах) излучения преобладают корпускулярные свойства; при малых частотах (или высоких температурах) преобладают, напротив, волновые свойства. ф 113.

Термодинамические функции излучения В предыдуших параграфах мы применили к равновесному излучению обычные методы статистической механики, т. е. рассматривали излучение как фотонный газ или набор квантовых осцилляторов. При этом была найдена плотность энергии равновесного излучения. Теперь мы можем пойти дальше по этому пути и найти другие термодинамические функции, характеризующие равновесное излучение.

Впервые понятие о термодинамических функциях излучения было введено В. В. Голицыным. Энергия электромагнитного излучения в единице объама получается из (111,3) интегрированием по всем частотам: Г «и» и= ~ р(., т)й.= —, ~ —,3 ) о е«т йг Для вычисления интеграла введем новую переменную х= †.Тогда ВЫь«Т)« ~ хМх о Значение последнего интеграла получено в Приложении 1: о Поэтому окончательно имеем: эег«~Т« 0= . = аТ~. 1о 1ае)г (113,1) Энергия черного излучения оказывается пропорционал«ной четвер- той степени абсолютной температуры (закон Стефана — Больц- маки).

$114! Флуктуации иалучания Энтропия излучения равна 5 = — — = + — и Ч Т'"'. др 4 дТ 3 (113,4) Давление излучения р равно др аТч Е и— др 3 ЗЫ' (113,5) Давление излучения впервые было обнаружено П. Н. Лебедевым. Это открытие имело большое принципиальное значение. Оно позволило доказать невозможность построения вечного двигателя второго рода, в котором в качестве рабочего вещества использовалось бы излучение. Световое давление, весьма малое в земных условиях, приобретает чрезвычайно важное значение в астрофизике. Как показывает формула (113,5), световое давление чрезвычайно быстро увеличивается с ростом температуры.

При весьма высоких температурах, имеющих место в астрофизических условиях, световое давление оказывается ббльшим, чем газовое давление, и играет основную роль в ряде разнообразных астрофизических процессов. Наконец, простое вычисление показывает, что термодинамический потенциал Ф излучения равен нулю: Ф=Р+р~ =0. Это согласуется с нашим требованием р=0 для фотонного газа. $114. Флуктуации излучения Большой интерес представляет разбор явления флуктуации излучения. Рассмотрим прежде всего флуктуации плотности энергии равновесного излучения. Для ей нахождения можно воспользоваться общей формулой (63,3). Очевидно, имеем: !бр(., Т))~=йТ (! 14,1) Входящая в (113,1) постоянная а содержит только универсальные константы й, с и й.

Закон Стефана — Больцмана широко применяется в теплотехнике для расчета излучающей способности нагретых поверхностей. Хотя излучатели, встречающиеся на практике, не являются черным телом, применение закона Стефана — Больцмана приводит к хорошим результатам для всех твердых излучателей, кроме металлов. У последних излучаемая энергия растет, как более высокая степень температуры. Полная энергия излучения з объеме У равна Е = а УТ'. (1! 3,2) Найдем, далее, свободную энергию черного излучения. По формуле (33,15) имеем: р= — т$ — =— ЕчТ И1Т~ Тз 3 (113,3) 500 [гл.

хчп излячзиив Подставляя для р(ч, Т) ее выражение из формулы Планка, получим: [йр(ч, Т)[ч — '",' [,„"' +, "' ) «ат 1 («лт Па = йчр (ч, Т) + — [р (ч, Т)[е. (114,2) Флуктуация плотности энергии излучения оказывается состоящей из двух частей, каждая из которых имеет ясный физический смысл. Предположим сперва, что свет ведат себя как собрание «атомов излучения», подчиняющееся статистике Больцмана. Такое предположес ние, как мы видели в $ 112, приводит к формуле (111,5), пригодной только при больших частотах, когда проявляется главным образом корпускулярная природа света. Флуктуация плотности энергии с частотой ч может быть написана для атомов излучения в виде (Ьр)~ = (и — и)я (йч)я = (и — и)я ° зя.

Флуктуация числа частиц в единице объвма была вычислена нами в $61. Используя равенство (Ди)в=и и формулу (114,1), находим: (Ьр)в= и ° (йч)Я=(ийч)йч=йчр(ч, Т). (!14,3) Таким образом, первое слагаемое в (114,2) соответствует чисто корпускулярному представлению о природе излучения. Следует заметить, что важнейшее соотношение з=йч для фотонов может быть получено нз (114,2), если считать формулу Планка чисто эмпирической формулой, передающей распределение энергии в спектре чарного излучения. Действительно, формула (йр)в = в'и справедлива для любого идеального газа, частицы которого имеют энергию з. Сравнение последнего соотношения с формулой (114,2) сразу приводит к равенству з=йч. Если обратиться теперь ко второму члену формулы (1И,2), то можно видеть, что он представляет флуктуации, происходящие от чисто волновой природы излучения.