Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 102

Каждому нормальному [гл. х«п 490 излучение колебанию в системе соответствует один осциллятор с частотой » и энергией е(»,Т), зависящей от частоты, а также от температуры Т, Каждый из осцилляторов, заменяющих систему стоячих волн, может находиться в различных состояниях и иметь различную энергию е(», Т). Нас, однако, будет интересовать не мгновенная, а средняя энергия осцилляторов е(», Т); здесь усреднение ведвтся по всем возможным состояниям осциллятора. Энергия стоячих волн в единице объЕма полости, частоты которых заключены между «и «+ с(», численно равна суммарной средней энергии всех осцилляторов, заменяющих нормальные колебания и имеющих частоты в том же интервале. Если д'(»)с(» — число таких осцилляторов, то сказанное можно записать в виде р(», 7)сг» = е(», Т) п(»)аьк Число собственных колебаний было найдено нами в 9 54. В случае электромагнитных волн нужно только учесть, что оии являются поляризованными и могут иметь два направления поляризации.

Формула (54,5) даЕт число колебаний с частотой между «и «+с(» для каждого вида поляризации. Для обоих видов поляризации число колебаний нужно удвоить: Вя»1»)»е а» с» (!10,2) Формула (110,2) при свовм выводе не потребовала привлечения каких- либо представлений из квантовой теории; она была получена до создания квантовой теории.

Для средней энергии осциллятора е(«) было подставлено еЕ классическое значение е(») = й7', и плотность равновесного излучения при температуре Т записывалась в виде (закон Рэлен †Джин): р (», 7) с(» = —., »э»7». Вяз Т (110,3) Е = ~ р (», Т) с7« -» со. о Полученный результат означает, что источники излучения, заключвн- Бессмысленность формулы (110,3) совершенно очевидна. Действительно, она покааывает, что плотность энергии электромагнитного поля в замкнутой полости монотонно воарастает с частотой ».

Поскольку в полости могут быть представлены колебания всех частот, в частности » -»оо, формула (110,3) приводит к бесконечно большой плотности энергии при » -+со, 1101 ю1Ассическое РАссмотРенне чеРнОГО излучения 491 ные в 'полости, должны были бы излучать до тех пор, пока вся заключвнная в них тепловая энергия не перешла бы в излучение поля н нх температура упала бы до абсолютного нуля. Так, например, если излучателем, помещЕнным в полость, служит раскалбнное твйрдое тело, то из полученного результата вытекает, что равновесие в системе излучатель — электромагнитное поле установится только после того, как раскал6нное тело охладится до абсолютного нуля.

Этот вывод имеет простой смысл. Согласно закону равномерного распределения энергии все степени свободы равноправны и в равновесном состоянии на каждую из них приходится равная энергия. Тепловая энергия, заключбнная в излучателе в кристалле, содержащем М атомов, может считаться распределвнной между 3 М осцилляторами. Электромагнитное поле в полости также можно рассматривать как набор осцилляторов. Однако число последних неизмеримо больше, чем 3 М.

Волновые числа возможных стоячих волн в замкнутой полости, имеющей форму куба, должны удовлетворять условиям: гй4 газ чей Л= ~ Л= —, Л= —,' где 7.— размер стороны куба и Йы яэ, й. — числа, пробегающие ряд целых значений от нуля до бесконечности. Эти условия эквивалентны условиям (34,3) для кристалла, но в последнем случае значения к„ Йе и Йз ограничены числом частиц М. Таким образом, число стоячих электромагнитных волн в полости и соответствующее число осцилляторов электромагнитного поля .в бесконечно большое число раз больше, чем число осцилляторов, требуемых для описания теплового движения в кристалле.

В состоянии равновесия вся энергия должна содержаться у поля, поскольку на каждый осциллятор должна прихолиться одинаковая энергия. Этот результат находится в полном противоречии с опытнымн данными. Опыт показывает, что плотность тепловой энергии, заключйнной в излучателе, неизмеримо выше, чем плотность энергии электромагнитного поля. Например, при Т= 300'К плотность тепловой энергии в твбрдом теле оказывается в 10ы раз больше измеренной плотности энергии внутри полости с излучением. Что касается спектрального распределения плотности энергии, выражаемого формулой (110,3), то оно оказывается в согласии с измеренным распределением энергии в спектре ч6рного тела для малых частот, удовлетворяющих условию йт <~ й Т(рис.

72). Напротив, при больших частотах, когда йч>ЙТ, рост р(ю Т) с частотой ч происходит гораздо медленнее, чем по закону 4з. Таким образом, закон равномерного распределения при его применении к проблеме излучения чврного тела приводит к полному расхождению теории с экспериментом в области больших частот. Исторически это было первым хорошо изученным случаем полной непригодности классических представлений.

Вопиющее противоречие 492 [гл. хви излхчвнив с опытом, к которому привела классическая статистика, побудило современников называть создавшееся положение «ультрафиолетовой в 6 с 3 г ь" а -с -г а~ аг а«азов!а г с бам ю со ааааягф Л Рнс. 72. катастрофой». Выход из противоречия был найден в создании квантовой теории. ф 111. Формула Планка Простейший, хотя и не самый прозрачный с физической стороны, способ получения функции спектрального распределения р(ъ Т) с учетом квантования заключается в следующем.

Подставим в формулу (110,2) значение средней энергии осциллятора поля, вычисленное по теории квантового осциллятора. Й» При этом опустим нулевую энергию осциллятора —, выбирая ее 2 ' за начало отсчйта и вычисляя только ту часть энергии, которая зависит от температуры. Тогда (1!1,!) а»~ч'л» ьт (111,2) »ь~ ь» е т — 1 Подставляя (111,2) в формулу (110,2), находим следующее выражение для средней энергии электромагнитного поля в пустоте в единице объема для частоты, лежащей между » и ч +<Ь: 8«ьмлч ,а!«ьт !) $ 1111 493 ФОРМУЛА ПЛАНКА Формула (111,3) получила название формулы Планка.

Формула Планка впервые была выведена полуэмпирически, поскольку неизвестна была формула (111,2) для энергии осциллятора. Наоборот, последняя формула и входящая в неа постоянная Планка » были найдены из »ч опыта. В двух предельных случаях, — ((1 и — »1, формула Планка упрощается. В первом случае ю еьт =1+»' »Т и формула сводится к виду 8еча»Т р (ч) д» = — Йч, еч (111,4) т. е. переходит в классическую формулу для средней плотности внер»ч гни чйрного излучения. При — »1 ь» 1 =е Ат' А. е — 1 Ат так что » р (») г1ч = — е Ач' дч.

ез (111,5) р (Л, Т) — —, е1А ( —,((1), (П(,Т) р(Л, Т)т — ", е "т" ч1 (»ТЛ»1)' Кривая, отвечающая формуле (111,6), изображена на рис. 71 (стр. 489). 1 При больших длинах волн р(Л, Т) падает с длиной волны„как —,; 1 при малых длинах волн р (Л, Т) стремится к нулю, как .—,, е Атч. Функция р(Л, Т) имеет максимум при длине волны Л„„„, которую можно найти из условия де(л, Т) 0 дЛ Последняя формула носит название закона Вана. Переходя от р(», Т) к спектральному распределению плотности излучения по длинам волн р(А, Т), можем написать формулы (111,3), (111,4) и (111,5) в виде р (Л, Т) = †„ ~ 1Л, 8в»е 1 еьтА — 1 494 1гл.

хЧп йалтчвнйе или ье 5 1 леем™ 0 хе м + 7 ье е" кеМТ (е" ) Обозначив через х величину „„, можно записать последнее ле мачо уравнение в виде хе ' — = 5. е~ — 1 Решение этого трансцендентного уравнения дает: х = 4,96 или =2 ° 10 (111,9) Формула (111,9) показывает, что положение максимума плотности энергии черного излучения смещается в сторону малых длин волн с ростом температуры. Это †т называемый закон смещения.

Из закона смещения может быть определено значение квантовой постоянной й. После выбора ее значения формула Планка оказывается в отличном согласии с экспериментальными данными. На рис. 72 приведено спектральное распределение р (й, Т), даваемое формулой (111,6). Ось абсцисс дана в логарифмической шкале, по оси ординат приведены значения 1к р (А, Т).

Значение дЛ взято равным 0,01А, Различные кривые на рис. 72 представляют изотермы р()) при фиксированной температуре. Все они являются подобными друг другу, и их можно совместить между собой. Сплошная прямая проведена через положения максимумов на всех кривых. Пунктирные прямые отделяют области, в которых можно пользоваться приближенными формулами (111,7) (верхняя прямая) и (111,8) (нижняя прямая). На верхней прямой погрешность от использования формулы (111,7) не пРевышает 10е1э, на нижней соответствУющаЯ погРешность составлЯет 1а/в.

ф 112, Статистика фотонного газа Как мы указывали уже в вводной главе, современная квантовая теория в согласии с опытными фактами утверждает, что наряду с волновыми свойствами излучение обладает также н свойствами корпускулярными. Хотя с точки врения обыденных представлений невозможно сочетать в одном объекте свойства волны и частицы, для объяснения различных оптических явлений приходится пользоваться то волновым, то корпускулярным аспектом. Так, например, в явлениях интерференции или диффракции проявляется волновая природа нзлу- чения, тогда как при фотоэффекте или рассеянии жбстких рентгеновых лучей проявляется корпускулярная природа. С корпускулярной точки зрения излучение можно рассматривать как поток световых квантов, или фотонов, движущихся в пространстве со скоростью света с.

фотоны возникают при излучении и исчезают при поглощении света атомамн, причем их энергия равна е = ЬЕ, где ЬŠ— разность энергетических уровней излучающей системы. Все фотоны движутся в пустоте с одинаковой скоростью, но различные фотоны могут иметь разную энергию и импульс. Энергия и импульс фотонов связаны между собой соотношением е = рс, (112,1) которое является общей формулой, связывающей эти величины для любого объекта, движущегося со скоростью света. Энергия н импульс фотона зависят от частоты по формулам е = 1хч, (112,2) (1 12,3) Йч Р= е ' Подобно другим материальным частицам, фотоны обладают моментом количества движения (ср. $2).

Оказывается, что при излучении механический момент излучающей системы (атома, молекулы) должен обязательно уменьшаться на велил чину, кратную .— . Соответствующий момент уносится улетающим '2я ' фотоном. Таким образом, момент количества движения, выраженный Ь в единицах —, является целочисленным. Как и все другие частицы 2я ' с целочисленным моментом, фотоны подчиняются статистике Бозе— Эйнштейна.