Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 104

В замкнутой полости, заполненной системой стоячих волн, происходит их интерференция. Картина интерференции огромного множества волн, совершенно произвольно распределенных по фазам, столь сложна, что в результате интерференции происходит беспорядочное изменение плотности энергии. Если бы происходило наложение двух волн, то плотность энергии волн изменялась бы в пределах значений, пропорциональных от (А, — Аа)я до (Ач+А ), а в среднем была бы равна А,+Аз~, где А1 и А«в амплитуды волн. При этом средний квадрат флуктуации энергии был бы пропорционален четвйртой степени амплитуды, т. е. пропорционален квадрату энергии. Более сложный расчвт позволяет вычислить коэффициент пропорциональности, который оказывается 501 ЗАДАЧИ К ГЛАВК ХЧП равным †.

К тому же выводу можно прийти ещй иным пуан. ез 3!ГФ ' Как мы указывали выше, в случае малых частот волновая природа света выступает более рельефно. Если при вычислении флуктуации энергии в (114,1) подставить (111,7), то средняя квадратичная флуктуация плотности энергии приобретает вид (Ар) = — ', (Р(., т))з, (114,4) что совпадает со вторым членом в (114,2). Таким образом, двойственная природа света оказывается очень ясно выраженной в формуле (114,2). Если бы свет был чисто корпускулярным процессом, флуктуации энергии имели бы вид (114,3).

Если бы он имел чисто волновую природу, то флуктуации энергии имели бы вид (114,4). В правильное выражение для флуктуаций входит комбинация этих выражений. Поэтому ни один из крайних аспектов не является правильным. Излучение представляет дуалистический корпускулярноволновой процесс. Различные его стороны в разной мере проявляются при больших и малых частотах.

Однако только сочетание корпускулярной и волновой природы света позволяет охватить все стороны явлений, связанных с излучением. Волновая сторона оптических явлений была изучена сравнительно давно. Напротив, корпускулярная природа света была установлена лишь в ХХ столетии. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ ХУН 109. Вычисаить тепаоймиость Сч фотонного газа. Р е ш е н и е. С =~ — ) =4еТМ. гдЕ! т,дт ), 110.

Найти уравнение адиабаты для фотонного газа. Р е ш е н и е. 4 5 = — а!!ТА= соне!., 3 УТз = сонз!., ° 1 Рч А= соиз!. 11!. Вычислить полное число фотонов в объйне 1г. Р е ш е н и е. Вигг 1' згЬ 3 )Г ГАТ'Р ~ хзех А!=в еа ~ ь ез ! Л 7 ее е еаз' — 1 о хадх 12 е~ — 1 О 502 1гл. хчп наличника 112. Найти теплобмкость С чЕрного излучения. и Р е ш е н и е.

~тдТ ~ ~ ~Ф), Однако давление черного излучения не зависит от объема. Повтому ( — ),— — ) = 0 и С -в со. др т д~~)г ГЛАВА ХЧ!!! ПРИЛОЖЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ К АТОМНЫМ И ЯДЕРНЫМ СИСТЕМАМ В 115. Вводные замечания В предыдуших главах рассматривались приложения методов статистической физики к изучению разнообразных систем. При всем многообразии физических систем их обшей особенностью было то, что все они являлись макроскопическими системами.

Мы неоднократно указывали ранее, что применение методов статистической физики к изучению свойств физической системы требует, чтобы последняя содержала большое число частиц. В большинстве случаев это условие равнозначно тому, что в системе содержится достаточно много атомов или молекул.

т. е. что система является макроскопической. Поэтому часто говорят о статистической физике как о теории поведения и свойств макроскопических систем. Существуют, однако, системы, содержащие довольно большое число частиц и вместе с тем отнюдь не являющиеся макроскопическими. Такими системами являются атомы и ядра элементов с достаточно большим атомным номером 2.

Рассмотрим какой-нибудь атом с большим Л, построенный из ядра и л. электронов, образующих электронную оболочку. Число электронов, входящих в оболочку тяжйлых атомов, сравнительно велико. Например, в электронной оболочке атома ртути содержится 80 электронов. Электроны атомной оболочки движутся вокруг ядра столь сложным образом, что их можно уподобить газовому облаку, окружающему ядро.

Электроны в газовом облаке з первом приближении можно считать движущимися хаотически. Все электронное облако связано с ядром силами электростатического притяжения. Отдельный атом тяжелого элемента можно рассматривать как статистическую систему, несмотря на то, что он не является системой макроскопической. Другим примером микроскопической системы, содержащей сравнительно большое число частиц, может служить атомное ядро, Согласно современным представлениям, атомное ядро состоит нз протонов и нейтронов 1).

Число протонов в ядре равно его Ч Гипотеза о протонно. нейтронном строении ядра была впервые выска. вана Д. Д. Иваненко. 504 ЯРиложения к Атомным и ядеРным сисгемАм [Гл. хуш атомному номеру Л, число нейтронов — разности между атомным весом А и атомным номером, т. е. равно А — л.. Таким образом, полное число частиц в ядре равно его атомному весу А и составляет у сравнительно тяжелых ядер 100 †2. Это дает основания применять к изучению свойств ядер статистические методы.

Разумеется, относительные флуктуации в подобных системах, содержащих 100 — 200 частиц, будут очень велики по сравнению с флуктуациями в макроскопических телах, содержащих 10'з — 10"з частиц. Тем не менее, применение статистических методов к изучению атомных и, особенно, ядерных систем, оказалось весьма плолотворным. ф 116. Статистическая модель атома Рассмотрим свойства электронного облака, окружающего ядро атома, считая, что число электронов в облаке достаточно велико. Благодаря принципу запрета нижние электронные состояния в атоме попарно заполнены электронами. Ббльшая часть электронов вынуждена находиться в сравнительно высоких энергетических состояниях.

Поэтому их энергию е с достаточной степенью точности можно считать изменяющейся непрерывно, так что можно положить рз 2т ' где р — импульс электрона, изменяющийся непрерывно. Движение электрона в электронной оболочке можно считать сферически симметричным. Не рассматривая движения каждого из электронов, можно рассматривать всю совокупность электронов как вырожденный электронный газ, имеющий определенную плотность а(г), гдв а — число электронов в 1 смз и г — расстояние от ядра.

Нас в дальнейшем будет интересовать зависимость плотности и от расстояния г. Для нахождения распределения электронной плотности (или, что то же самое, плотности заряда) в атоме необходимо прежде всего найти распределение потенциала электрического поля в атоме. Каждый электрон в оболочке находится в суммарном электростатическом поле, слагающемся из поля ядра и поля, создаваемого всеми остальными электронами.

Обозначим потенциал этого суммарного поля через ч(г). Ввиду сферической симметрии оболочки он зависит только от расстояния до ядра. Потенциал о(г) слагается из кулоновского притяжения к ядру и кулоновского отталкивания от электронов, распределенных вокруг ядра в пространстве. Мы в дальнейшем должны будем найти эцзт результирующий потенциал. Пока же будем только предполагать, что потенциал суммарного электростатического поля стремится к нулю на очень больших расстояниях от нейтрального атома." э(г) — +0 при г-+со. (116,1) 2 1!61 стлтистичвскля модаль ьтомл 505 Все электроны в электронной оболочке атома являются связанными, так что их кинетическая энергия меньше потенциальной.

Если бы это было не так, электроны могли бы преодолеть притяжение к ядру и вылететь из атома. Таким образом, полная энергия электрона дается формулой з= — — еэ(г), рз 2т (116,2) рьяч = 12те р (г)1~". (116,3) Поскольку электроны стремятся располагаться в самых нижних вовможных состояниях н, за исключением самых внешних электронов, очень сильно связаны в атомах, естественно предположить, что онн образуют вырожденный электронный газ.

Впоследствии мы убедимся в справедливости этого предположения. Если это так, то наибольший импульс р„,,„„., который может иметь электрон в оболочке, можно связать с плотностью электронов и с помощью рассуждений, в точности повторяющих рассуждения й 102. Воспользовавшись формулой (102,2), имеем: где и (г) — средняя электронная плотность в точке г. Из (! 16,3) находим: и(г) = 8„', 12тет(г)) ~". (116,4) Последняя формула связывает среднюю электронную плотность со средним потенциалом в точке г. Вместо электронной плотности можно ввести плотность заряда р = — еи: 8яе 12тет (г))'н зла (116,5) В электростатическом поле последняя удовлетворяет уравнению Пуассона Ьэ = — 4яр.

(11 6,6) В сферическн симметричном поле имеем: йзт 2 йт 1у ~ю — + — —, ига г Фг ' причвм в (О. Наибольшее возможное значение энергии равно нулю, Это — та граница, которая разделяет состояния связанных и свободных электронов. Положив г = О, мы находим наибольшее значение импульса, которое может иметь электрон, находящийся на расстоянии г от ядра, где потенциал равен о(г): 506 ПРИЛОЖЕНИЯ К АтОМНЫм И ЯлеРНЫМ СИСТЕМАМ [Гл.

ХШП Таким образом, с учвтом (116,5) имеем: азэ 2 Ит 32аае(2те)И Ч, И. г лг Зиз (116,7) ле р-ь — при г-+О, г или Иш (ги) = се. (116,8) е.+О 1(ля нахождения общего решения уравнения (116,7), удовлетворяющего граничным условиям (116,1), (116,8), введем новую безразмерную переменную х = — и безразмерную функцию т = — =— тг тал а ае ае (где а — постоянная).