Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 105

Граничные условия для Х запишутся в виде 7=0 при х-+ос, Х=! при х=О. (116,9) (116,10) Подставляя у и г в (116,7), подбираем затем значение а: Хе е/. ° г — 32яве(2ие)~ /ХХИ зи Ь7' ' Полагая 3'ииз О,зза~ (!!6,!1) 2 "аале.ьтез где аз — радиус первой боровской орбиты в водороде, получаем окончательно безразмерное уравнение 'Р' хХе = Х'и (116,12) Интегрирование этого уравнения при граничных условиях (116,9) и (116,10) произведено численно. Некоторые значения Х(х) приведены в таблице 20. Решив уравнение (116,7), мы найдем распределение потенциала, а по (116,4) и распределение электронной плотности з атоме.

Для решения уравнения (116,7) необходимо задать два граничных условия. Одним граничным условием, определяющим поведение потенциала со на больших расстояниях от ядра, служит условие (116,1). Вторым граничным условием, определяющим поведение потенциала и вблизи ядра, служит требование, чтобы при г -+ 0 потенциал суммарного поля приближался к потенциалу поля, создаваемого одним ядром. Лействительно, когда электрон находится вблизи ядра, то взаимодействие его с остальными электронами оказывается очень слабым по сравнению с взаимодействием с ядром, варяд которого в е.

раз ,больше, чем заряд каждого электрона. Поэтому можно потребовать, чтобы $116] 507 статнстичкская модель Атома Таблица 20 Электростатический потенциал в атоме может быть написан в виде (116,13) Электронная плотность в атоме в силу (116,4) дается формулой а Вид функциональной зависимости потенциала и электронной плотностн от радиуса г оказывается подобным для всех атомов. На рис. 73 пунктирной кривой показана зависимость электронной л(г) плотности в нейтральном атоме от г. В приближении нашей модели у(г), а вместе с ней н электронная плотность асимптотически обращаются в нуль при г-+со.

Это означает, что невозможно точно указать поверхность, ограничиваюз щую нейтральный атом. Понятие радиуса нли размера атома является несколько условным. Однако быстрый спад функции у (г) и ещй более быстрый спад функции л(г) показывают, что электронная плотность оказывается ничтожно малой на достаточно больших расстояниях от ядра. Если оборвать ход у(г) на таком расстоянии от ядра, на которот у(г) имеет значения, достаточно близкие к нулю, то в соответствующую сферу попадет большая часть атомных электронов.

Можно, например, считать радиусом атома то расстояние, на котором потенцнал уменьшается в 10 или 100 раз. Из формулы (116,13) следует, что радиусы атомов изменяются в зависимости от атомного номера 2 ч по закону Л ~'. С увеличением атомного номера увелнчнвается электростатическое притяжение электронной оболочки к ядру н ее эффективный размер уменьшается. Распределение электронной плотностн Рнс. 73 608 НРиложения к АтОмным и ядеРным системАм 1гл хшн в атоме может быть найдено экспериментально с помощью точных измерений интенсивности рассеянных рентгеновых лучей.

Согласие между экспериментально найденным распределением электронной плотности и еэ теоретическим значением, вычисленным по формуле (116,14), оказывается вполне хорошим для тяжелых элементов (таких, как железо). Для более легких элементов (кислород, натрий) согласие имеет только качественный, но не количественный характер. Этого, впрочем, и следовало ожидать, поскольку число электронов в оболочках этих элементов недостаточно велико для успешного использования статистической модели. Гораздо точнее, чем радиус атомов, может быть вычислен радиус ионов.

У ионов заряд ядра больше, чем полный заряд электронной оболочки. Поэтому силы притяжения электронов к ядру здесь в меньшей степени ослабляются взаимным отталкиванием электронов оболочки. Электронная оболочка у иона оказывается более сжатой, чем у нейтрального атома. Электронная плотность у иона спадает с расстоянием от ядра более круто, чем у атома. Поэтому весь заряд нона оказывается сосредоточенным внутри сферы радиуса г „ который является радиусом иона.

Расчет распределения электронной плотности в электронной оболочке иона ведйтся точно так же, как и в случае нейтрального атома. Однако граничные условия имеют несколько иную форму. Электрическое поле снаружи иона при г ) ге должно иметь вид кулоновског! поля заряда Ле*, где Ле" — результирующий заряд иона.

Условие непрерывного перехода э в кулоновский потенциал на поверхности заменяет условие (116,1). Условие для полной энергии электрона (!16,2) должно быть заменено условием ра 2л! а = — — ео ~( — е!7(гз). Член справа выражает потенциальную энергию электрона на граничной поверхности г = гз. В результате решения, которое производится совершенно аналогично предыдущему, получается распределение электронной плотности, изображенное на рис.

73 сплошной линией. Вычисленные таким образом радиусы ионов хорошо согласуются со значениями, полученными из диамагнитной восприимчивости ионов по (90,4). В заключение отметим, что подстановка выражения для электронной плотности, взятой в некоторой средней точке в атоме, в критерий вырождения (100,161 показывает, что исходное предположение о наличии сильного вырождения в электронной оболочке атома является выполненным при всех не слишком высоких значениях температуры (когда не наступает тепловая ионизация атомов).

Статистическая модель атома широко используется при изучении ряда свойств тяжелых атомов и ионов. С помощью статистической модели оказывается вовможным вычисление положения групп железа и редких земель $ 1171 стлтнстнчвскля тзогия ядгл в периодической системе Менделеева. К статистической модели обращаются при изучении рассеяния рентгеновых лучей и электронов атомами, прн вычислении сродства к электрону у галондных элементов и в ряде других вопросов.

ф 117. Статнстнческая теорня ядра Весьма плодотворным оказалось применение статистических методов к изучению свойств атомных ядер, проведенное впервые Н. Бором. Как мы уже указывали, атомное ядро состоит из Л протонов и А — я. нейтронов. Общее число частиц в средних н тяжалых ядрах составляет 100 †2. Число нейтронов в ядрах у элементов середины и конца пернодической системы Л. И. Менделеева несколько больше числа протонов.

Частицы в ядре удерживаются специфическими ядерными силами, имеющими неэлектростатический характер. Ядерные силы весьма велики н чрезвычайно быстро убывают с расстоянием между частицами. По своему характеру ядерные силы во многом напоминают силы, приводящие к образованию химических соединений. Помимо ядерных снл между протонами имеется электростатическое отталкиванне, которое обусловливает нестабильность ядер самых тяжебных элементов. Поле сил ядерного взаимодействия, в котором движутся частицы в ядре, можно представить как некоторую потенциальную яму Пппениипяьная пнпппия ппплпна . ! Рис. 74.

(рис. 74). Для того чтобы удалить частицу из ядра, ей необходимо сообщить некоторую избыточную энергию, именуемую энергией связи. Частица, получившая энергию связи, способна преодолеть притяжение к своим ближайшим соседям н вылететь нз ядра. Очевидно, что понятие энергии связи не отличается, по существу, от понятия работы выхода, которым мы пользовались в теории металлов. Если бы частицы в ядре покоились, энергия связи была бы равна глубине потенциальной ямы. В действительности, однако, частицы в ядре, так же как молекулы в макроскопнческих телах, постоянно 510 пеиложения к атомным и ядвгным системам [гл. хчщ находятся в движении.

Поэтому между глубиной ямы Уо. энергией связи Р и кинетической энергией частицы имеет место соотношение (рис. 74) (7,=Р+К. Опыт показывает, что энергия связи Р для ядер среднего и большого атомного веса составляет около 8 Мэв на частицу. Состояние ядерных частиц, движущихся внутри ядра, принято описывать с помощью простых статистических моделей' ).

Повидимому, наиболее точно отображает поведение ядерных частиц так называемая газовал модель, в которой принимается, что ядерные частицы образуют газ, заполняющий объем ядра. Следует, однако, заметить, что некоторые свойства ядер получают своа объяснение только в так называемой капелькой модели, в которой ядро уподобляется упругой сплошной среде, совершающей колебания такого типа, как рассмотренные в главе Ч!1!. Хотя ни одна из этих моделей не может претендовать на количественное описание поведения ядерных частиц, они позволяют сделать ряд весьма важных полуколичественных заключений. Опыт показывает, что форма ядра довольно близка к сферической а) и объем ядер растет пропорционально числу частиц в ядре: У= З йз= З (1,8 !0 ")' ! см, (!17,!) так что объем, приходящийся на одну частицу, остается постоянным.

Соответствующая величина плотности ядра весьма велика, порядка 10" г/смз. При обычных энергиях ядерного возбуждения (= 10 Мэв) газы из нейтронов и протонов можно считать почти полностью вырожденными идеальными газами. Принимая это допущение и пользуясь (!17,1), можно без труда найти максимальный импульс и энергию нейтронов и протонов в ядре. Именно, согласно (102,2) и (102,3), считая, что число нейтронов А '1 равно числу протонов (2= — !, можно написать: 2/' =1,0 ° 1О ы— еек рккко зкк — т 21 Мэв. 2гп 1) В дальнейшем мы следуем книгам А, И.

Ах и евера и И. Я. П омер а н ч у к а, Некоторые вопросы теории ядра, Гостехиздат, 1948, и Э. Ф е р и и Ядерная физика, ИЛ, !951. к) В самое последнее время выявилась значительная несфернчность самых тяжалых ядер. $1171 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯДРА 511 Для удаления из ядра частицы с энергией е = е„„, необходимо ещй сообщить ей энергию связи Рт8 Мзв, так что глубина потенциальной ямы составляет около 29 Мэв, как это показано на рис. 74. В действительности благодаря кулоиовскому отталкиванию между протонами глубина потенциальной ямы для протонов несколько меньше, чем для нейтронов, что показано на рис. 74 пунктиром. Как и всякая квантовая система, ядро, как целое, обладает квантованными уровнями энергии.

При малых энергиях возбуждения уровни энергии разделены сравнительно большими промежутками. При переходе ядра с одного уровня энергии на другой оно излучает или поглощает кванты энергии йЕ=ЬИ Поскольку разности ЬЕ составляют несколько сот тысяч электрон-вольт, частоты, излучаемые или поглощаемые ядром, лежат в области 7-лучей.

По мере перехода к более высоким возбуждениям расстояния между уровнями энергии быстро уменьшаются. При энергиях возбуждения порядка 8 Мзв (если отсчет ведвтся, начиная с нормального уровня ядра, на котором ядерные частицы образуют полностью вырож- Ю денный газ) уровни энергии настолько сближаются, что расстояние между ними уменьшается до нескольких электрон-вольт.

Прн еще больших возбуждениях уровни энергии можно считать распределенными непрерывно. Картина распределения ядерных уровней энергии в ядре в принципе ничем не отличается от картины распределения уровней в макроскопическом теле. Отличие имеет лишь количественный характер. Благодаря тому, что в макро- скопическом теле число частиц неиз- Рис. 75. меримо больше, чем в ядре, сближение энергетических уровней з макроскопическом теле происходит гораздо быстрее и они распределяются практически непрерывно уже при очень малых энергиях возбуждения. На рнс. 78 схематически изображено распределение ядерных уровней. Для наглядности в двух местах уровни изображены в увеличенном масштабе (через Ялупуь).