Базаров И.П. Термодинамика (Базаров И.П. Термодинамика.djvu), страница 10

(2.8) На основании уравнения Клапейрона †Менделее и закона Джоуля для идеального газа находим Ср Ср нК откуда для молярных теплоемкостей (н=1) с„— с =я, для удельных теплоемкостей с,— с =я(м, для разности теплоемкостей на одну молекулу газа С вЂ” с =я(лгл=й. Здесь Ага=6„022 1Озз моль ' — постоянная Авогадро; (с=1,38 1О зз Дж/К вЂ” постоянная Больцмана. В случае сложных систем, когда А; = А; (а„..., а„; Т) и У=У(а„..., а„; Т) (1=1, 2, 3, ..., п), теплоемкость равна с= — =( — ) ~-Е[( — ) 4-А,] — '.

ы Если из уравнения (!.3) найти Т и подставить в выражение (2.8), то получим (т=Сррр!(чя)-рбе, т. е. внутренняя энергия идеального газа будет функцией давления и объема и, следовательно, (дЦдр)рФО. 4! Из этого выражения можно определить теплоемкости вида Помимо теплоемкостей другой важной калорической величиной является теплота изотермического изменения какого-либо внешнего параметра системы — количество теплоты, необходимое для увеличения этого параметра на единицу при постоянной температуре и других внешних параметрах: 1, =(60~да;)...

т. Например, при расширении она равна 1,=(ЬД~др). „., г. Из уравнения первого начала термодинамики ба-ЙГ~-ХАлд=( — ) ЙТ+~[( — )+А))й~ следует, что теплота изменения внешнего параметра (при Т= сопзг) 1,=( — ) +А; (1=1, 2, З,...,п), (2.9) а теплота изотермического расширения 1~ = — +р. Очевидно, что для идеального газа теплота расширения численно равна давлению: 1 =р. Используя полученные выражения для теплоемкостн (2.5) и теплоты изменения внешнего параметра (2.9), запишем дифференциальное уравнение первого начала (2.4) в виде БД= С,, ОТ+2 1, с1ао 5 9. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ УРАВНЕНИЯ 42 Во всякой термодинамической системе (простой нли сложной) возможны три процесса: изотермический (Т=сопз1), адиабатный (ЬД = 0) и политропный (С =сопв1).

Число и характер других процессов зависят от природы систем. В простой системе с внешним параметром а и сопряженным ему силовым параметром А кроме названных трех процессов можно наблюдать также процесс при а=сопя~ и процесс при А = сопй. В сложных системах возможно большее число различных процессов. Если внешним параметром является объем системы (а= Р' и, следовательно, А=р), то процесс при 1'=сопй называется изохорным, а при р = сопй — изобарным. Эти пять процессов (изотермический, адиабатный, политропный, изохорный и изобарный) считаются основными в термодинамике, причем адиабатный процесс является, очевидно, частным случаем политропного*'.

Функциональная связь, возникающая в случае простой системы между двумя из величин Т, Р; р (т. е. между Т и Р; Т и р, р и Г) при том или ином процессе, называется уравнением этого процесса. Уравнения изотермического, изохорного и изобарного процессов непосредственно получаются (без использования первого начала) из уравнения состояния любой простой системы соответственно при Т=сопй, р'=сопй и р=сопй. Что касается уравнений адиабатного и политропного процессов, то их нельзя найти, пользуясь лишь термическим уравнением состояния. Уравнения этих процессов можно получить с помощью первого начала термодинамики, используя также и калорическое уравнение состояния (поскольку ни элемент количества теплоты ЬД, ни теплоемк ость С, определяющие соответственно зти процессы, не входят в термическое уравнение состояния).

Найдем уравнение политропы и его частный случай — уравнение адиабаты для любой простой системы и для идеального газа. При политропном процессе С=ЬЯ ЬТ=сопй и ЬД=Сс(Т (для адиабатного процесса С=О). По первому началу термодинамики, для простой системы ЬД=с(ьт=Ас(а, поэтому для политропы С т) Т = С, т) Т+ Цд О( да ) т+ А ) с(а.

Используя (2.б), получаем (С вЂ” С,)6Т= " ' с1а. (да1дг)„ Если С~("„то 6Т+ ' " — с)а=О. (2.10) Это дифференциальное уравнение политропы в переменных Т и а. В переменных А и а дифференциальное уравнение политропы можно получить, если из уравнения состояния Т= Т(А, а) найти ЬТ~ — ~ ЬА+~ — ) с(а и подставить в формулу ), да,)л ~т да)л (2.10). Тогда и Формально и изотермический процесс можно рассматривать как политропный (С= со).

43 — дА+ " — да=О. Отсюда дифференциальное уравнение адиабаты (С=О) для простой системы имеет вид — с)А+у — =О, где у=Сл!С,. Для интегрирования уравнений политропы и адиабаты необходимо знать как термическое уравнение состояния (при определении (дТ1дА), и (оТ да)л ), так и калорическое уравнение состояния (при определении С, и С,). Если система находится под действием силы всестороннего давления (А=р и а= К), то уравнениями политропы*' и адиабаты соответственно будут д„+ д' 01=0 (2.12) В случае идеального газа Ср и Ср на основании закона Джоуля зависят только от температуры, причем для одноатомных газов у = з/ и не зависит от Т, а для двухатомных газов у с увеличением Т уменьшается и при комнатной температуре равна 1„4. Для одноатомного идеального газа, подставляя в дифференциальное уравнение политропы производные (0Т1ор)р и (0Т1д р')р, определяемые из уравнения Клапейрона †Менделее, после интегрирования получаем уравнение политропы р К" =сопз1, где п=(С вЂ” С)/(Ср — С) — показатель политропы.

Уравнение адиабаты этого газа р)Рт=сопз1 (2.13) называется уравнением Пуассона. В переменных К и Т уравнение адиабаты идеального газа имеет вид ТК" '=сопз1, а в случае одноатомного идеального газа ТР 2!3 ы Дифференциальные уравнения изобарного и изохорного процесса из уравнения политропы (2.11), как нетрудно убедиться, получить нельзя. Так как для одноатомно го р идеального газа теплоемк ости С» и С не зависят от температ уры и являются постоянными, то для него (и только для него) изохорный и изобарный процессы являются политропными. Уравнения равновесных процессов можно изображать в виде графиков (диаграмм) на плоскости с соответствующими координатными осями.

Одними из Рве. 4. наиболее употребительных в термодинамике являются рабочие диаграммы, которые изображаются на плоскости с координатными осями»' (ось абсцисс) и р (ось ординат). Элемент площади на этой плоскости изображает работу. Через каждую точку на плоскости»; р можно провести изотерму и адиабату. Наклон этих кривых к оси абсцисс определяется соответственно производными (др/д»')т и (др/д»')„, которые вычисляются из термического уравнения состояния и уравнения адиабаты данного вещества.

Для изотермы идеального газа (др/ду')т= — р/»', а для его адиабаты (др/д('),= — Тр/~; поэтому (др/д( )„=Т(др/д) ),, (2.14) Так как т= С /С»> 1, то на плоскости »', р адиабата идеального газа наклонена к оси абсцисс всегда круче изотермы (рис. 4). В следующем параграфе будет показано, что соотношение (2.14) справедливо не только для идеального газа, но и для любого вещества. з 10.

СВЯЗЬ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ С ТЕПЛОЕМКОСТЯМИ Первое начало термодинамики позволяет установить связь между модулями упругости и теплоемкостями системы. Модуль упругости К системы определяет изменение давления (упругости), отнесенное к относительному изменению обьема, и представляет собой величину, обратную коэффиииенту сжимаемости: др др — — — — — »'— д»/» д» Для того чтобы К было положительным (для устойчивых состояний, как мы увидим, бр и б)г имеют разные знаки), поставлен знак минус. Модуль упругости определяется значением производной др/д (г, зависящей от условий, при которых происходит сжатие. Кт= У дУ К'= У др, Отношение этих модулей таково: А'з (др/д У)в К, (др(дУ)т' Из дифференциального уравнения адиабаты (2.12) имеем < др ) (дт1дУ)е дУ)в (дтудр)» а из уравнения состояния Т=Т<У, р) дт дт и для изотермического процесса (ЙТ=О) получаем др ч, (дед У), дУ)т (дт(др)» Поэтому (др/дУ)в (др)дУ)т =7 (2.15) и, следовательно, Кх(Кт= з' т.

е. отношение адиабатного и изотермического модулей упругости любого вещества равно отношению теплоемкостей С /С». Так как у>1 (см. р 15), то Кл>Кт и <др!дУ)л><др!дУ)т. Измеряя экспериментально Кл и Кт, можно найти у. Из соотношения (2.15) видно, что оно совпадает с (2.14) для идеального газа, причем на плоскости У, р изотерма ни для какого вещества не может быть круче адиабаты и, следовательно, иметь с ней несколько отдельных общих точек. Но она может помимо простого пересечения касаться адиабатые' с обязательным пересечением, а также совпадать с ней на конечном участке.

ЗАДАЧИ 2д. Пользуясь уравнением первого начала термодинамики, установить правило Гесса: тепловой эффект химической реакиии, протекающей или при постоянном обьеме У, или при постоянном давлении р, не зависит от промелсуточ- " Это будет при у=1, что наблюдается у воды при нормальном давлении и 4 гС (см. 1 !5), а также при определенных температурах у каучука и иодистого серебра. Наиболее употребительными модулями упругости являются~ изотермичегкий и адиабатный: Рис.