Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики.djvu), страница 4

для нашега примера 13 ~ 2 4 6 = Аи С11+ Л~~ С~, + А1Э С,, = 1 (2) + 3 (44) + 5 ( — ЗО) = — 6. 8 1 В общем случае определитель матрицы размера и х и можно разложить па его ~-й строке следующим образом: ~А) = А;1С;1+А иСы+ - + А~,См. (1.6) Минором элемента А„, обозначаемым М;~, будетопределитель, кочорый получается путем вычеркивания ~-Й строки и 1-го столбца А.

Так, минор А, равен: Каждое алгебраическое дополнение представляет собой определитель порядка (б — 1), по каждый из них можно свести к последовательности определителей порядка 2 повторным использованием алгебраических дополнений. Читатель может сам убедиться в том, что определитель можно разложить по любой строке или любому столбцу н прийти к одному и тому же результату'. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Если определитель не равен нулю, матрица называется невыроокденной (или матрицей полного ранга). Рангом матрицы, будь она квадратной или нет, называется порядок наибольшегО Отличного от нуля определителя, который можно вычислить по данной матрице. Лалее прнведвй матрипа ранга 2. Определитель полной матрицы равен нул~о, но если удалить одну строку и олин столбец, то определитель оставшейся матрицы размера 2 Х 2 отличен от нуля.

Таким образом, 1 2 3 ] 2 4 5 6 =О, но 7 8 — — — 6 7 8 9 после удаления второй строки и третьего столбца. Для этой Зх 3 матрицы столбцы линейно-зависимы, так как, рассматривая ее столбцы как векторы, мы можем определить постоянные Й, =1, Й, = — 2 и Йэ —— 1, которые дают 1 2 3 О 1 4 — 2 5+1 6 = О. 8 9 О Аналогично, 3~4 матрица 2 1 3 1 О О 1 2 1 1 О О имеет ранг не более чем 3, так как в этой матрице не существует определителя порядка 4, отличного от нуля.

Однако если мы удалим третий столбец, то оставшаяся матрица будет иметь определитель, отличный от нуля (в данном случае равный — 2), следовательно, исходная матрица имеет ранг 3, И в этом случае (читатель, возможно, захочет проверить) столбцы полной матрицы линейно-зависимы. Таким образом, ранг матрицы можно также определить как максимальное число линейно-независимых векторов (либо столбцов, либо строк) в матрице. И наконец, определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т, е, ]АВ~ = ~А1~В].

В качестве упражнения читателю предлагается проиллюстрировать это утверждение. " Раалокение по той или ииой строке или столбцу — ато вопрос удобства. Выбор строки или столбца с наибольшим числом иулей поаволиет сократить вычислеиия. Матрица алгебраических дополнений и присоединенная матрица. Матрицей алгебраических дополнений, обозначаемой со1 А, на;ывается матрица, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов исходной матрицы.

Возвращаясь к нашей исходной матрице' размера Зх3, мы видим, что 1 3 5 со1А=со1 2 4 6 .8 1 2 2 44 — ЗΠ— 1 — 38 23 . (1.7) - — 2 4 — 2 Присоединенной митричей, обозначаемой ад1 А, является результат транспонирования матрицы алгебраических дополнений. 2 — 1 — 2 а~Ц А=(со1А)' = 44 — 38 4 . — 30 23 — 2 (1.8) Обратная матрица. Обратная матрица равна присоединенной матрице, умноженной на число, обратное определителю исходной матрицы: А-' = — асЦ А. 1 1А~ В нашем примере 2 — 1 — 2 — 0,1250 0,0625 0„1250 А ' = — 44 — 38 4 = — 2,7500 2,3750 — 0,2500 — 30 23 — 2 1,8750 — 1,4375 0,1250 Из этого примера можно сделать три вывода.

Во-первых, очевидно, что если ~ А ! Равен нулю, то матрица не может быть обращена, так как величина 1/ ~ А ~ не определена. Во-вторых, если ~А! близок к нулю. то (при прочих равных условиях) численные значения элементов обратной матрицы будут большими и могут вызвать трудности при вычислении в случае применения вычислительной машины с небольшим числом Разрядов. Если 1А~ близок к нулю, то матрица называется поеии виРОыдейиой, и ее обращение на цифровой вычислительной машине может оказаться затруднительным.

Наконец, никогда не помешает про~ерить правильность обращения путем проверки Равенства АА-' =-$. В нашем примере это равенство точйое, но в зависимости от конкретной матрицы оно может оказаться и приближенным вследствие погрешностей округления ". Читателю рекомендуется проверить правильность вычислений обратной матрицы, приведенной ранее.

Диагональная матрица. Обратной матрицей для диагональной матрнвы будет другая днагональная мттрнна, в которой на главной днаго'е Если обратнан матрица вычислена с недостаточной точностью, то ее можно улучшить с помощью метода, предложенного Хотеллингом. Вычислительная программа приводится в 165, с. 162 — 1631. пали находятся элементы, обратные соответствующим элементам исходной матрицы. Таким образом„ 0 — 0 1 О 3 2„0 О 0= О 3 О н0'=- 0 О 4 О О О Часто бывает целесоРазбиение заключает- Предположим, чта мы Обращение матриц при помощи разбиения. образно обращать матрицу путем ее разбиения, ся в объединен»йи элементов матрицы в группы.

расчленяем матрицу А следующим образом: А= Аа»~ А„ Пунктирные линии показывают, чта матрица А разбита на четыре час- ти, которые могут рассматриваться как подмагприцы. Если разбиение выполнено так, что падматрица А„невырождеиная, как в данном слу- чае, та элементы обратной матрицы можно представить в виде — Ц»А» А,,' А 1=~ (1.10) — А ' А О»'А '+А 'А Я»А А $2 21 ! за 32 21 12 ФФ где Ц А (А А »А ) В нашем предыдущем примере Атз = — и»» 1»» 5 8 1» — 19 05 Выполнив обращение, мы находим, чта ~ — 0,1250 0,06251 ~ — 2,7500 2,3750~ 3та согласуется с результатам для матрицы А, полученным ранее. Оставшуюся часть операции обращения выполните самостоятельно в качестве упражнения.

Обращение при помощи разбиения имеет важное теоретическое значение и полезно в тех случаях, когда размер матрицы настолько велик, что превышает возможности имеющейся в вашем распоряжении вычислительной машины, и матрицу приходится обращать по частям. Кро- »» Чтобы обратить матрицу размера 2 Х 2, нужно каждый элемент разделить на определитель; затем поменять местами элементы на главной диагонали и поменять знаки элементов на второй диагонали. Если А есть 1 Х 1, т. е.

скаляр„то обратная матрица определяется просто как число, обратное этому скаляру. В 14, с. 20 — 2Ц даются Формулы для обрап»ения матриц разбиением для случая, когда иевырождеииой является подматрФща А»». ме того, если матрицу можно разбить таким образом, что А1, и А,1 суть идлевбю мшприцы1з„то из (1.1О) мы получаем: О ',А О,'А„' вычисления сокращаклся также в том случае, если одна или более из обращаемых подматриц представляют собой единичные матрицы, так как! '=~, При помощи разбиения матриц можно вычислять также определители. Действительно, если подматрица А„невырождецная, то 1А~ = ~А„~ 1О1.

(1.1 1) 1.4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Если А суть симметрическая матрица порядка и и Х есть и х 1 вектор-столбец, то 1з Л.~ Х'АХ=-~Х,Х ...Х„1 А„, называется квадратичной 4вр,яой. В частности, мы можем записать квадратное уравнение г = 2Х~ + 2Х1Х, + ЗХ~ в виде г 1Х1 Х21 Квадратичная форма называется иоложительно определенной, и матрица А называется положительно определенной, если все главные миноры А положительны. Так, если все записанные ниже миноры положительны, т. е, А„Лд.„, Л1з А.„, А., А„ Лз1' Азз Лзз 0...„1 А 1:>О, то Х'АХ и А определены положительно, Заметим, что Главные миноры Формируются из подматриц, начинающихся с элемента, находящегося в левом верхнем углу, и наращиваются путем добавления по одной ~троке и одному столбцу до тех пор, пока не образуется определитель всей матрицы.

ясно, что все положительно определенные матрицы полиораиговые, так как определитель всей матрицы вольве нуля. 'а Нулевве матрице — вто матрена, все влемеоты которой равны нулю. 'з ц этой книге мы рассматриваем только действительные матрицы (все элементы которых — действительные чнсла).

Поскольку этот эллипс является контуром квадратичной поверхности, все точки эллипса соответствуют одному и тому же значению г. Например, точка Х~ имеет координаты о осям Х„Х при Однако эта же точка имеет координаты (7")' = (К1 К~1 относительно большой и малой осей эллипса.

Если бы большая и малая Оси эллипса совпадали с осями Х, и Х„то эллипс был бы схож с показанным в средней правой части рис. 1.6, н матрица коэффициентов этой квадратичной формы была бы диагональной. Поэтому мы можем рассуждать так, как будто эллипс повернут таким образом, что его большая и малая оси совпадают с осями Х, и Х,, и выразить его координаты в терминах большой и малой осей при помощи диагональной матрицы. Таким образом, ~, = Щ" 0(УО), где 0 — некоторая диагональная матрица, "ьФ о к,~ с Предположим также, что ПОлудлина большой Оси = 1~ —; полудлина малой Оси ==-".:: 3~я' где Х, Х.

Из обсуждения в конце раздела 1.1 мы видим, что соотношение между двумя множествами координат, заданных уравнениями (1.15) и (1.1ба), имеет вид: Хо = 1Р1 Р~1 'Р = Р70, (1. 16) где Р, и Р, — ортонормированные векторы, направленные вдоль большой и малой осей эллипса соответственно.

Матрица Р называется модальной матрицей для А. Подставив (1.16) в уравнение (1.15), получим: г, = (Р'Р)' А (Р70) — — Щ'Р'АР (70), ио так как то Р'АР = О. Следовательно, Л1обой эллипс, заданный в координатной системе Х, может быть задан и в координагной системе Г, причем эти координат- ные системы связаны соотношением и элементы на главной диагонали В определяютдлину большой и малой осей. В разделе 1.6 мы назовем эти элементы 0 (Х, и Х~) харакхперигтическими корнями матрицы А. Векторы Р, и Р, мы назовем нормированными хараюперасшинеаажи векторами, принадлежащими этим характеристическим корпям. 1.6.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 3 этом разделе мы приведем некоторые результаты, касающиеся дифференцирования векторов и квадратичных форм матриц.. Предпо- лагая, что читатель обладает некоторыми познаниями в дифференци- альном исчислении, мы будем проводить параллели с обычным скаляр- ным исчислением, Определим скаляр У как У' = А'Х, где А и Х представляют собой и Х 1 векторы. Тогда вектор частных производных относительно Х будет: Например, функция может быть записана в виде Х1 У=12 3 51 Х, =А' Х, Х и вектор частных производных равен: =12 3 54'. дХ1 дХЗ дХЗ 1. Если У постоянна при всех значениях Х, то дУ вЂ” =О, дХ ~1.17) 3, Вектор частных производных квадратичной формы я =- Х'АХ задается следующим образам: (1„19) 11апример~ если "И (1,20) где 0 есть п М 1 вектор. Это в точности совпадает с аналогичным результатом в скалярном исчислении.

2. Если У не постоянна при всех значениях Х, то, как н в обычном исчислении, й ах, д~ дх 4Х, + 2Х~ 2Х,+ 6Х, А может быть единичной матрицей, н в этом случае г = Х'Х и дг,'дХ.=-.- = 2Х, Максимумы и минимумы. ВО мнОГих случаях вОзникает необходи масть максимизировать илн минимизировать функции, выраженные с помощью вектороее и матрегц. Как и в обычном исчислении, максимиза! Рис. 1.7. Максимум и минимум квадратичной формы $ ция или минимизация без ограничений выполняется при соответствуюецих условиях приравниванием первых частных производных нулю.

Вторые прОизвоДные ОпреДеляют, ДостиГла лее функция максимума или минимума. Очень часто мы будем сталкиваться с максимумами илн минимумами квадратичных форм при наличии ограничений. Предположим, что мы хотим максимизировать уравнение (1.2О) при ограничении, заданном условием Х1 + Х$ -=- 1 (сумма квадратов значений координат равна единице.) ~геометрически ограничение Хе~ + Х$ = 1 определяет окружность единичного радиуса (единичную окружность).