Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики.djvu), страница 5

Обращаясь к рис. 1.7, мы видим, что минимумом квадратичной формы при ограничении„заданном этой единичной окружностью, будет такое значение г~, что соответствующие сечения квадратичной поверхности (1.2О) плос~Остью 3 ==- ~о при й„<'. ~, Оказываеотся точнО внутри цилиндра Х~е+ Х3 = 1. Максимумом будет такое значение г,„что при го > > г, сечения поверхности (1.2О) плоскостью г = г, будут содержать в себе соответствуеощие сечения цилиндра 4 + 4 = 1.

На рис. 1,7 мы видим, что малый эллипс, касающийся единичной окружности в крайних точках своей большой Оси, соответствует сечению г = г, Большой эллипс, касающийся единичной окружности в крайних точках своей малой оси, соответствует сечению г~= г,. Применяя метод множителей Лагранжа ", мы можем ввести постоянный множитель Х и записать: р= 2Х', +2Х, Х +ЭХ,' — Х(Х', +Х,' — 1). (1.21) Далее приравняем пулю частные производные «р относительно Х, и Х,: — =4Х,+ 2Х,— 2ХХ, ==0; (1.22) дХ~ ~ =2Х,+6Х., 2ХХ.,—.0 (1.23) дХ, и решим эти два уравнения при условии (1,24) Разделив уравнение (1.22) иа Х„получим: — Х вЂ” 2$ Х~ а разделив уравнение (1.23) на Х„мы найдем, что Х3 1 Х, Х вЂ” 3 Приравняв эти два выражения друг другу, получим многочлен У вЂ” 51+5=0 и найдем два его корня '~: 1тт = = 3,618634; 6+Ми 1.

=- = 1„381966. Запишем уравнения (1.22) и (1.23) в аиде 2Х, + Х, =- ХХ„. Х1 + ЗХ2 ~"Хта' Умножим первое уравнение на Х„второе уравнение — иа Х, и сложим полученные результаты (помня об ограничении Х, + Х3 =- 1): 2Х~~ + 2Х,Х, + ЗХ3 — --- Х. (1.25) Левая часть уравнения (1,25) представляет собой исходную квадратичную форму. Она достигает максимума, если Х эамепить ббльшим корнем Х„и минимума, если А заменить меньшим корнем Х~. Подставив большее значение корня в уравнение (1.22) Х~ = (1,618034) Х« «4 С««1щ; с 1Щ 'а реюенна еравненнн вида ада + ЬХ+ е = 0 аадаютен виравтеннен 'а = 1 — ь ~ 3/ьа — еасв2а. получим — 1,618034 1,0 1,0 — 0,618034 (А — Х 1) Х=- ит к системе уравнений — 1,618034Х, + Х = О; Хз — 0,618034 Х = О, Х, = 0,618034 Ха.

(1.29) ствует бесконечно много значений Х, н Х„удовлетворяющих ю (1.29). Этот вывод прямо следует из уравнения (1.27), так некоторый вектор Х удовлетворяе~ этому уравнению„то ему овлетворять и произведение этого вектора на произвольный Чтобы уменьшить эту неоднозначность 'а, потребуем дополни- чтобы Х Х = 1. Другими словами, мы требуем, чтобы сумма в элементов Х была равна 1. Это же ограничение было и в и наамваются также характеристическими чнсдадц или собскееннымн 1и. тающаяся при атом неоднозначность заключается в том, что если Х Рвет (1.27), то н ( — !)Х также удовлетворяет (1.27)„но для наши~ иео"РсАеленность несущественна (см. примечание ! 6). 'теперь с учетом (1.19) мы хотим решить уравнение — ~.=.

2АХ вЂ” 2АХ =- О. (1.26) дХ Уравнение (1.26) может быть записано следующим образом: (А — ХЦХ =- О (1.27) н оно имеет решения, отличные от нд.~я, в том и только в том случае, если матрица (А — Х1) вырожденная, т, е. тогда и только тогда, когда !А — М1=О. (1.28) Уравнение (1.28) представляет собой многочлен относительно Х. Назовем это уравнение характериетичеа~им уравнением матрицы А. Яы хотим найти значения Х вЂ” характеристические корни 1', при которых удовлетворяется уравнение (1.28), Для того чтобы сделать это, запишем многочлен, порождаемый (1.28), в явном виде: 1А — И ~ = =У вЂ” ЬХ+5=-0; 2 — Х 1 1 3 — Х решениями этого многочлена (они получены в предыдущем разделе) являются 3,618034 и 1,381966.

Как и в предыдущем разделе, обозначим больший пз этих корней через 3,„а меньший — через л,. Эти корни соответствуют множителям Лагранжа из предыдущего раздела. Каждому характеристическому корню соответствует характеристичеааш вектор, который представляет собой вектор Х из уравнения (1.27) для заданного значения Х.

Подставив Х, = 3,618034 в (1.27), предыдущем разделе. Вектор, удовлетворяющий уравнению (1.27) и Ограничению Х'Х = 1, (1.30) называется нормированным характериппичеыим вектором. Действуя так же, как было объяснено в предыдущем разделе, мы найдем нормированный характеристический вектор, соответствующий Х,: Р1 = [Х Х ) = В,52573 О,85065). Аналогично найдем нормированный характеристический вектор, соответствующий Х~.. Р' = [Х, Х,) =- [0,85065 — О,52573). Конечно, эти результаты согласуются с результатами, полученными в предыдущем разделе.

Характеристические векторы образуют ортонормированное мнОжество, и мяксимизация или минимизация Выражения (1.2О) может быть выполнена при помощи характеристических корней и векторов. Соотношение между координатными системами Х и К, рассмотренное в предыдущих разделах, также можно обобщить. На основании уравнения (1.16) мы можем сказать, что в общем случае ~ = [Р, Р,) У = Р'1 где О 3,1 Р=-Р'АР = (1,31) 19 Это следует из теоремы, впервые строго доказанной Нильсом Абелем, которая утверждает, что многочлены степени выше четвертой, в обшем случае невозможно разрешить алгебраическим нуйем, Таким образом, в общем случае Р— это матрица характеристических векторов, соответствующих характеристическим корням, я 0— диагональная матрица с характеристическими корнями на главной диагонали.

В нашем примере мы можем выразить г через Х: г =- 2Х1~ + + 2Х,Х. + ЗХ3 или через У: г = 3,618034У1+ 1,381966$",. Матрица порядка 3 имеет три характеристических корня, матрица порядка 4 имеет четыре характеристических корня и т. д. Для матриц порядка более 4 вычислить корни за конечное число шагов в общем случае нельзя и поэтому приходится искать их приближенные значения ". Программа для вычислительной машины, приводимая в приложении к этой главе, выполняет такие вычисления для тех видов матриц, которые рассматриваются в этой книге. Для на~ыей дальнейшей работы важное значение имеют следующие четыре свойства характеристических корней. Читатель может проверить эти свойства„пользуясь только что рассмотренными примерами.

1. Все характеристические корни положительно определенной симметрической матрицы положительны. В предыдущем примере 1., и положительнь1, 'гак как А положительно ойределеиа. Отсюда грай. „ые миноры А положительны: 2. Произведение характеристических корней симметрической матрицы равно определителю этой матрицы.

Из (1.31) 1 0 ~ =" ~ Р' АР ~ .=-1 Р' Р ~ ~ А ~ =- ~ А ~, так как Р'Р = 1. 3. Сумма характеристических корней симметрической матрицы равна следу матрицы. Также из уравнения (1.31) $Г В = $г (Р' АР) = 1Г (Р'РА) = 1Г А, так как Р'Р = 1. 4. Для любой положительно определенной симметрической матрицы А характеристические корни матрицы А-' обратны характеристическим корням А. Нормированные характеристические векторы А и А-' идентичны.

С помощью уравнения (1.27), где Х вЂ” характеристический корень и Х вЂ” соответствующий характеристический вектор, имеем АХ = ХХ. Умножим обе части слева на А-'. Х образом, если Х есть характеристический корень А, то 1%в тствующий характеристический корень А '.

Вектор Х остается иным. Это замечание существенно, потому что в некоторых слуля вычисления характеристических корней квадратичной фор= Х'АХ мы будем пользоваться А ' вместо А. КотоРЫЕ СтЛтИСТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ РИЧНОИ ФОРМЕ к мы уже отмечали, одна из основных причин~ по котор я алгебра так важна в статистике, заключается в том тавляет очень удоб ую систе у об значений.

Приведенные даимеры подтверждают зто. Средние арифметические. Простое '~ среднее арифметическое ряда из а наблюдений переменной Х определяется формулой " (1.32) У= 1 Если мы определим А как а Х 1 вектор, состоящий только из,единиц, а Х как и ~ 1 вектор наблюдений, то Х„ Очень часто у нас будет р переменных и мы захотим вычислип значение каждой из них. Определим А как а х 1 вектор, состоящий только из единиц, а Х как а Х р матрицу наблюдений, каждый столбец которой представляет собой наблюдения по одной переменной. Эта условность приведет к незначительным изменениям в наших обозначениях, так как первый индекс Х будет теперь обозначать номер переменной, а второй индекс — номер наблюдения по зтой переменной, Вектор средннх значении записывается в виде Х, 1, 1 Х,.