Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (1185342), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Матрица ЧЕС содержит1нормированные характеристические векторы, за. писанные по столбцам, т. е. первый столбец УЕС содержит характе. ристический вектор, принадлежащий первому корню, второй столбец. содержит вектор, нринадлежащий второму корню, и т. д. Корни не обязательно располагаются в порядке возрастания или убывания их . величины. Б.
Ограничения. Матрица К долинина бьат симл~етрической. В хо-де выполнения подпрограммы она разрушается. Максимальный размер К 1Ох10, но его можно изменить путем изменения оператора ШМЕМБ1ОЫ. В. Использование. Пусть матрица К и число М введены в память машины; оператор САП. СНАМ (К, и, ЧЕС, КООт~ организует вход в подпрограмму.
Матрица 7ЕС и вектор ГРООТ возвращаются в основную программу и могут быть выведены на печать. М вЂ” это число строк в К Далее приводится текст подпрограммы. ЯЗВКО15Т11чЕ СИЛК (К,М,ЧЕС,КООТ) 01МЕИЯОЫ й (10, 10),УЕС(10„10) „КООТ (10) ВО 10 1"-1,М ВО Ь я=1,М 5 Ч:С(1,З) =0.0 10 Ч:-.С (1,Ц =1.0 ЬИ =М вЂ” 1 э Две цифры, следующие за буквой Е, указывают, куда нужно поставить десятичную точку. Так, запись .6666667Е + 02 означает„что десятичную точку следует пер~нести на два разряда апра~о, что дает число 66.66667.
Запись .6666667Š— 02, означает, что десятичную точку следует перенести на два разряда влево, что дает число .006666667. Если обе счедующне за Е цифры равны нулю (как в данном примере), то десятичная точка стоит правильно. Знак минус, предшествующий всему числу, показывает, что это число отрицательно. ~ Объяснение этого метода, называемого методом Якоби, см. в 132, с. 89 и последующие1. Однако в приведенном там на с. 102 примере имеютсн явные ошибки. В 161 описывается другой метод. При реализации на вычислительной машнпе этот последний метод, как установили авторы, дает существенные ошибки округлении.
Однако он вполне пригодец в случае вычисления только максимального корня несимметрической матрицы. 30 40 !4 15 !7 25 55 60 70 80 РО 40 1-'=-- 1,М! 11 1+1 РО 40 Л вЂ”:--11,М 1Г (АВБ (К (1, Л)) — О, ООООО!) 40„40, 13 Х' = — К(1,Л) ХМ =0.5е(К (!,1) — й (Л,Л)) ХО = Х1 /Б(;)КТ (Х1.еХ1. +ХОХМ) 1Г (ХМ) 14, 15, 15 ХО ==- — ХО БТ = ХОДЯ~КТ (2.0э(1.0+9)КТ (! .0-ХОеХО)))) СТ =- Я~КТ (1.0 — БТ.БТ) РО !7 КК=1,М КООТ (КК) =-=: СТО'ЕС (КК, 1) — БТе'УЕС (КК, Л) Ъ'ЕС (КК, Л) =- БТеЪ'ЕС (КК „1) +СТе7ЕС (КК, Л) Ъ"ЕС (КК, 1) = КООТ (КК) КООТ (1) = К (1 „Л) йООТ (2) =- К (1,1) К (1, 3) —" — (К (1, 1) — К (Л, Л))еБТ*СТ+КООТ (!)е(СТЕТ вЂ” БТэБТ) К (Л,1) =К (1„Л) К (1,1) =-СТ~СТейООТ (2) — 2.0еСТеБТеКООТ (1) +БТеБТ~К (Л,Л) К (Л,Л) =БТ*БТ*КООТ (2)+СТ*СТей (Л,Л)+2.0еСТвБТеКООТ (1) РО ЗО К=1,М 1Р ((1 — К)~(Л вЂ” К)) 25,30,25 КООТ (!) =й (!,К) й (1, К) = СТ~К (! „К) — БТ~К (Л,К) К(Л,К)=БТ КООТ(Ц+СТ й(Л,К) й (К,Л) -'*К(Л,К) К(К,1)=К(1,К) СОИТ1ЬШЕ СОИТ1И!1Е КО(3ИТ = О РО 60 1=1„М1 11=1+1 РО 60 Л=-11„М 1Г (АВБ (й (1,Л)) — 0.~001) 60.60,55 КО! 1ИТ = КОЦИТ+! СОИТ1МЗЕ 1Р (КОЖИТ) 70,70,12 РО 80 1=1„М КООТ (1) = К (1, 1) КЕТ11КИ ЕИР П.1.4.
Основная программа для подпрограммы СНАМ Следующая основная программа считывает значение М и матрицу й точно так же, как основная программа для подпрограммы 1ЬИБ считывала М и А. Вслед за текстом программы приводятся. результаты вычислений для матрицы из уравнения (1.20). 2 ® НОРМАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИЧЕСКИИ ВЫВОД Статистический вывод касается принятия решений относительно генеральных совокупностей-на основе информации, получаемой по выборке из этой совокупности.
Эти решения основаны как на информации, полученной из выборки, так и на предположениях относительно закона распределения вероятностей исследуемых данных (например, о виде плотности вероятности). В этой главе мы рассматриваем некоторые свойства нормальной плотности, которая представляет собой одну из наиболее важных функций плотности вероятности в прикладной статистике. Затем мы обсудим двумерную нормальную плотность и, наконец, многомерную нормальную плотность, В заключение мы рассмотрим оценивание параметров этих плотностей и сделаем обзор некоторых элементов статистического вывода.
2.!. ОДНОМЕРНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ Одномерная нормальная плотность вероятности имеет фундаментальное значение для статистического вывода по нескольким взаимосвязанным причинам. Во-первых, она является представителем класса плотностей вероятности, которые зависят только от двух параметров — среднего значения и дисперсии.
Следовательно, с этой плотностью можно относительно просто работать аналитически. Во-вторых, обнаружено, что нормальная плотность довольно точно отображает широкий круг случайных явлений. По этой причине ее применение оправдано соображениями практики. В-третьих„нормальная плотность связана с центральной предельной теоремой. Эта теорема утверждает, в частности, что распределение выборочных средних значений, случайно отобранных из генеральной совокупности с известной конечной'дисперсией, асимптотически приближается к нормальному по мере увеличения объема выборки, Поэтому нормальная плотность широко используется при анализе выборочных средних значений.
Функцию нормальной плотности вероятности случайной величины Х можно записать в виде 1 1 Функция плотности вероятности дает среднее значение вероятности на единицу длины интервала ЬХ. Значения этой функции не являются непосредственно вероятностями, хотя и задают закон распределения вероятностей. На; помним также, что ехр (у) =е1'.
Рис. 2.1. Трн нормальные плотности вероятности с одинаковой дисперсией, но рваными средними Ь <и<ад Рис, 2.2. Три нормальные плотности вероятности с одинаковым средним, но рваными дисперсиями (ой ~ой - ой) мы не будем различать термины случайная величина, случайная пережнная й переданная. В прикладном статистическом анализе на том уровне„на каком он представлен в этой книге, отсутствие этих различий не приводит к какой бы то ни было путанице. Дисперсия <Р (или квадратный корень из аа — среднее квадратическое отклонение о) дает меру рассеяния плотности вероятности. Дисперсия имеет минимальное значение, равное нулю, но может иметь и сколь угодно большое значение. На рис.
2.2 показаны три йормальные плотности с одинаковым средним значением, но с различными дисперсиями. Заметим, что на обоих предыдущих рисунках кривая плотности не касается. горизонтальной оси. Нормальная плотность аснмптотически приближается к оси Х; она никогда не равна нулю„независимо от того, сколь мало или велико становится значение Х. Очевидно, что существует бесконечно много нормальных плотностей вероятности, зависящих от различных комбинаций р и о'. К сча-' стью, мы можем выразить нормальную плотность в стандартной форме, записав ее как функцию стандартизованной переменной г, а не Х.
а Мода — 'ато то аначеиие Х а, котоРое доставлиет максимУм 7(Х). Медиана — это аиаченне Х ~, при котором прямая Х = Х, делит площадь, заключенную под кривой плотности, на две ранние часты. 46 $„ За исключением входящих в выражение (2.1) констант я ~ 3,1416 и е -~ 2,7183, функция зависит только от среднего значения р и дисаврсии а'. Среднее значение определяет меру расположения плотности, н так как плотность (2.1) симметрична относительно эгой точки, среднее значение есть также медиана и мода плотности '. На рис.
2.1 показаны три нормальные плотности вероятности с одной и той же дисперсией, но с различными средними значениями. Здесь мы должны огметить„что некоторые авторы заглавными буквами обозначают случайную величину, а строчными буквами — значения случайной величины. Стремясь сохранить максимально простые обозначения, мы не придерживаемся этого правила. Кроме того, Эта стаидартйзова11ная не~емен11ая определяется как Х вЂ” ~$ а и мы можем теперь записать нормальную функцию плотности в стаидартиой Форме в виде а 1 ~(г) =,, ехр функция ~ (г) называется стандартизованной (нли просто плпядартной) норльально~ функциеД плотности верояткости. При записи в этой форме плотность имеет среднее значение, равное нулю, и дисперсию, равную 1.
Таким образом, в этой форме функция плотности единственна, что дает возможность составить единую таблицу площадей (вероятностей), задаваемых этой плотностью. Такая таблица приведена в конце книги в приложении (см. габл. 1)„ и она относится к прйдому ~хбостув стан- О г дартной ыормальиой ф) нкции Рис. 2.3. Нормальная плотность плотности. Для закрепления этого материала может быть полезен числовой пример применения этой таблицы.
Предположим, что относительно величины Х известно, что она распределена нормально, со средним значением, равным 10 единицам, и дисперсией, равной 4 еДиницам е (средиее квадратическое отклонение равно 2). Какова вероятность того, что случайное наблюдение, извлеченное из зтой генеральной совокупности, даст значение Х, равное или большее 121 На рис. 2.3. показана соответствующая плотность вероятности, выраженная как функция г, а заштрихованная площадь и есть искомая вероятность.
В стандартной шкале искомое значение Х„ как видно из рис. 2.3 равно: Х вЂ” 1), 12 — 1О г= =-1 ° а 2 В левой верхней части табл. 1 приложения находим значение г = =- 1,ОО, а в самой таблице мы видим число 0,15866, или 15,866%. Вероятность того, что Х будет болев~а )л, равна 0,)58бб, а вероятность е Может еокееетьее ечеенаннн, что еекееетель етеиенн арн е е Га.а) ранан — аЧ2 в силу того, что втот показатель в (2.1) равен — гФЧ2. Однако совсем не .очевидно, почему а исчезает из знаменателя выражения (2.1). В действительности формальное соотноиение между ~ (Х) и ~ (а) имеет вид.
~ (а) = 1р (Х) а, где а есть абсолютное значение якобиана дХЫт. в' Распространенным (н удобным) понятием в статистике является понятие еенерольной соеокупносп1и„которое определяется как совокупность всех мыслитмых кабдродени))1 (но ие значений), которые могли бы быть сделаны при данном Реальном комплексе условий. В свою очередь реальный комплекс условий математически полностью определяется законом распределения вероятностей, и в частности функцией плотности вероятности.
— Примеч. ред. того, что Х будет меньше 12, равна: 1,0 — От,'15866=0,84134, так как общая площадь под кривой равна единице,''Имея в виду, что плотность симметрична, вероятность получения значения Х, равного или меньшего 8 (т. е.
г = — 1,0), также будет составлять 0,15866. 2.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ До сих пор мы рассматривали среднее значение и дисперсию как параметры нормальной функции плотности. Здесь мы дадим более общее определение этих статистических величин. Математическое ожидание. Если Х есть непрерывная случайная величина* и если, записанный ниже интеграл сходится, то матема- тическое ожидание Х определяегся УМ следующим образом: е(хг — 1 х~(х)ых, (2.4г ) Р где ~ (Х) — функция плотности ве- 3 роятности Х. Если величина Х диск- ретна *~, тогда ~ (Х) представляет Э собой вероятность„и если суммы сходятся, то '3 о ~ ~ г * Е(Х) =- = ~Ж(ХИ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
