Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики.djvu), страница 2

На рис 1,1 дано геометрическое представление этих уравнений для положительных значений Р и Я. Пользуясь таким представлением, можно легко найти решение, удовлетворяющее обоим уравнениям. Им является пересечение двух прямых линий, т. е. точка, где Я = 2,0 и Р = З,О. Разумеется, решение может быть получено и непосредс~венно из УРавнений. Вычитание второго уравнения из первого дает О = — 30+ 1,5Я, откуда 9 = 2,О.

Подстановка (~ = 2,0 в любое из исходных уравнений дает Р = З,О. Для удобства мы можем записать решение уравнений как точку (2,3). Обозначим направленный отрезок прямой из начала координат в тачку (2,3) как Х = ~ ~, где первый элемент представляет собой число на Г21 горизонтальной оси, а второй элемент — число на вертикальной оси. Тогда Х можно назвать вектором„он изображен на рис. 1.2. Числа 2 и 3 называются юмлонентами вектора Х. Заметим, что далее в этой книге мы будем пользоваться прямым жирным шрифтом для обозна- Рис.

1.1. Геометрическое представле- ние уравнений (1.1) и их решения Рис. 1.2. Геометрическое представление вектора Х= 1Я Заслуживают упоминания еще три важных для нашей координатной системы вектора. Во-первых, нулевой вектор, который задает начало системы координат: О" = ~0 О). Во-вторых, два единжных вектора 1) — -- ~1 К; 1а —— 1О 1), которые важны потому, что любая точка двумерного пространства может быть представлена линейной комбинацией этих двух векторов'. Таким образом, точку (2,3) можно представить вектором ' Это относится и к матрицам, которие рассматривмотся в следующих раэделах и Строго говоря, это два воамо*киых багамских мктора дляданной системы координат.

10 чения вектора в отличие от курсива для обозначения отдельного числа (скаляра), а также заключать компоненты вектора в скобки т. Если компоненты вектора записаны одна под другой, то такой вектор называется вектором-сгполбиом. Векгпор-оирока есть результат транспонироаания вектора-столбца; операция транспонирования обозначается штрихом, таким образом, Х' = 123) есть вектор-строка. Вектор-строка и вектор-столбец имеют одно и то же геометрическое представление. Вектор-строка обладает тем преимуществом„что в печатном тексте оиа запимает меньше ме та. Приведенное уравнение иллюстрирует два понятия векторной алгеб- ры. Первым является у®ношение яа скаляр или умножение вектора на действительное число.

Для произвольного вектора А с компонентами А, и А, и произвольного скаляра А '1 А+ В=. лир; едожеиие и вычитаиие нек~орои Геометрически сумму А + В можно представить диагональю, параллелограмма со сторонами А и В, как показано па рис. 1.3. Вычитание векторов можно свести к сложению, заменив А — В на А + ( — 1)В. Таким образом, А — В=А+( — 1) В= Заменив А — В на А + ( — 1) В, мы получаем сумму двух векторов. и в~ктор А — В геометрически представляется диагональю параллелограмма со сторонами А и ( — 1) В (см. рис. 1.3).

Для построения алгебраической системы необходимо еще одно правило: оно касается равенства векторов. Два вектора равны тогда и только тОгда, когда равны все нх соответствующие компоненты. Естесг- Другими словами, каждая из компонент А умножается на эту скалярную величину, и уиноженае А на й слева (т. е, йА) это то же самое, что умножение А на к справа (т. е. Ай).

Приведем два примера. Пусть А' =1121 и В' = 1 — 2 11, тогда 2А' = ~2 41 и ( — 1) В' = 12 — 11. Геометрически умножение па 4 РЯ скаляр можно представить следую- Фй у щим образом: первоначальная длина вектора увеличивается в А раз Уд и в том же направлении, если й положительно. Если А отрицатель- д Я-Ю по„ то первоначальная длина вектора увеличивается в й раз в противоположном направлении. Векто- l ры А, В, 2А и ( — 1) В показаны иа ( у~я рис. 1.3. Вторым рассматриваемым здесь понятием векторной алгебры является мкиюрное е южение.

Сложение двух векторов заключается -4 в сложении их соответствующих компонент. Так, Рис. 1.3. Умножение иектора иа еиа- венность етого определения демонстрируется нашей геометрической интерпретацией векторов а. Линейная независимость. В обычной алгебре в линейном уравнении (1.2) при А,;-Ь О переменную Х можно считать линейной функцией пере- менной Ут так как 4 Х= ' У. А, С другой стороны, если уравнение (1,2) имеет решение только при А, = = Йя = О, то нельзя сказать, что переменная Х может быть выражена линейной функцией переменной У, или наоборот. В этом случае мы говорим, что данные две переменные линейно-независимы.

Понятие линейной независимости можно распространить и на векторы. Векторы Х и У линейно-независимы, если не существует скаляров Й1 и Йз, таких, что при условии, что и й„и й, не равны нулю. Очевидно, что 1, и 1, ли- нейно-независимы, так как условие '1 й,[ +й,~ 1'1 может быть выполнено только в том случае, когда А, и А, оба равны нулю. Если найти такие отличные от нуля А, поили Й„при которых справедливо уравнение (1.2а), невозможно, то данные векторы линейно-независимы. Читателю предлагается проверить, что векторы 12 31 и ~4 6) линейно-зависимы„так как (1.2а) выполняется при А, = 2 и Йе =-.

— 1. Все рассмотренные векторы были двумерными (т. е. содержали только по две компоненты), В общем случае а-мерный вектор содержит а компонент. Примером такого вектора является '. А' = 1А, А.. А„1. Произведение векторов. Скалярное произведение двух векторов В, В, я В„ А= э Формально действительное векторное пространство определяется в терминах множества векторов, подчинякушнхся некоторым правилам равенства, сложения и скалярного умножения (см. 1701). 4 Конечно, можно поступить наоборот и сказать, что У есть линейная функция Х, если 'кй + О, Мы'предполагаем, что переменные Г(или векторы) не являзотся нулевнми. определяется как = А181+ Ав Вв+ + +А В = Ъ1АВ (1.З) »=$ Например„если А' =11 Яи В" =-1 — 1 31,тоА'В == 1 ( — 1) + 2(3)= =- 5.

Заметим, что это определение распространяется и на векторы с произвольным числом компонент и что это же самое скалярное лроиз- Рнс, 1.4, Длина и внутреннее пронвведение векторов: и),юлина $А1, 6) внутреннее вроизведение вА1ДВ11сов О ведение, представляющее собой число„может быть получено умножением В'А. Таким образом, скалярное произведение двух векторов— это сумма произведений соответствующих компонент этих векторов. Очевидно, что скалярное произведение вектора самого на ссбя есть сумма квадратов компонент этого вектора'. Л'А =А~~+А3+...+А,'= Ъ, Л~. (1.4) 1=1 Геометрическая интерпретация скалярного произведения для вектоРов с двумя компонентами показана на рис, 1.4. Из элементарной геомстрии известно, что длина вектора А (она обозначается 1 А ~ и также показана па рис.

1.4, а) определяется следующим образом: ~~А~~ — ~' А~ + А3 =(Л~~+ А~2)'»2 =(А' А)~»~. (1.5) Итак, длина вектора равна квадратному корню из скалярного произведения вектора самого на себя, В общем случае ~1 А 1 = (А,' + А- ;+ + ..+А„')'»1 = (А'А)'».. На Рис. 1.4, б показаны векторы А и В и угол О между ними, отсчитываемый против часовой стрелки. Проекция А на В имеет длину И1 соя О, и читателю предлагается доказать, что А' 6 =- ~~А~~ ~~В1~ сов О. 11 1[ 1 =Х~$, +Х Ц 2 '1 Огиосительно Р, и Р, вектор Х имеет координаты $', и У„пока нам неизвестные. Для нахождения этих координат необходимо определить Х = У,Р1+ У~Р~.

Умножим обе части этого выражения слева па Р~.. Р1 Х = — У, Р ~ Р1+ У, Р~ Р . Но Р1Р, = 1 и Р~Р, = 0 ввиду того„что Р, и Р, ортонормированы. Следовательно, Р1Х = У, или Таким образом, скалярное произведение — это произведение длин двух векторов и косинуса угла между ними. Предположим, что два вектора перпендикулярны один другому (такие векторы принято называть о~шагональными). Тогда скалярное произведение этих векторов будет равно нулю. И наоборот, скалярно~ произведение будет равно нулю только и случае Ортогоиа.~ьйости пере- ц~Л') множаемых векторов.

Читателю предлагается построить несколько примеров, чтобы доказать, что все ортого+ нальные векторы линейно-независим~ — — — -- Х" у"~ мы, Типичный пример: А' = [1 21 и В' =- [ — 2 И. Однако яе все линейно-независимые векторы ортогональх,=~ щл. Например, пара векторов А' = = [1 2) и В' — - — [1 11. Множество ортогональных векторов называется ортонормированным множеством, если каждый вектор имеет единичную длину. Примером ортонормированного множества служат векторы 3~ = [1 01 и 1' = = [О 11. Другое ортопормированное Рис.

1.6< Два артонармярованиых множества и вектор Х множество: Р~ = [1/~» 2 111Г21 и Р; = [1~~ 2 — 1Е'Я. Э д" .-- жества векторов вместе с вектором Х показаны на рис. 1.5. Пусть вектор Х имсст координаты Х, = 1~2 н Х, = 1/4 относительно 1, и $,. Тогда Аналогичнымобразом„умпожив Х слева на Р~, мы находим, 1 т4)г 2 Любое из этих ортонормированных множеств векторов для описания Х в том смысле, что мы можем перейти от ординатной системы к другой. Так„ что $',= пригодно одной ко- Поэтому можно записать Х вЂ” '- У,Р, + У',Р,.

Х' =-~1 231, Очевидно, что Х' может представлять любое число наблюдений. Эта возможность экономии обозначений — одно из наиболее привлекатеп нных свойств векторов. е Этот вектор можно нредстевкть себе кок ннпревпеннмй отрекся прямой ~ тРехмерном пространстве. Более того, пользуясь определением скалярного умножения векторов, можно найти угол между Р, и 1,: созВ= 11 ~й 3 11 Р1 1 Читатель может проверить, что соз В = 1/3~2 и, следовательно, В = 45'. Мы обобщим эти понятия в следующих разделах. Переход от одной координатной системы к другой важен для наших дальнейших рассуждений, и им следует хорошо овладеть.

Мы попыгались показать, что нет ничего таинственного в использовании координатной системы с базисными векторами 1~ — — И 01 и $~ =- ~0 11. С этой системой мы уже привыкли работать, но в некоторых случаях другие координатные системы будут не только более удобными, но и более содержательными. Тем не менее, поскольку координатная система с базисными векторами 1, и $, так укоренилась в нашем мышлении„приятно сознаватьв что от любой ортонормированйой координатной системы мы можем вернуться к системе с базнсными векторами 3, и 1,. Конечно, полезно придать векторам некоторый геометрический смысл, однако вектор можно представить себе просто как упорядоченный набор чисел.

Именно этим представлением мы и будем чаще всего пользоваться в дальнейшем. Если на основании наблюдений установлено, что рыночная цена некоторого товара в течение трех периодов времени составляет 1, 2 н 3 доллара соответственпо, то можно объединить эти данные с помощью вектора ' 1,2. НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ 1~~, э Б предыдущем разделе мы отметили, что значения Я и Р, составлйккиие реп|ения уравнения (1.1), можно представить вектором Х~ =-- =- [2 31. Предположим, что есть две другие системы уравнений, решения которых заданы векторами Х~ — — [1 21 и Ха = [2 Ц. Яы можем записать все эти векторы в следующей таблице, которая называется мйщзицл4 [Х1Х, Ха1 —.

2™ . Точно так же, как вектор есть упорядоченный набор чисел, так и матрица представляет собой упорядоченный набор векторов. Матрица размера и х и (и'па и) имеет и строк и и столбцов. Произвольную матрицу Х можно записать в виде т Х11Х ° ... Х Х,1 Хая... Х Х„,Х„,... Х„ Первый индекс любого элемента Х ука~ы~ае~ номе~ сироти, в которой находится этот элемент. Второй индекс любого элемента Х указывает яомер столбцп, в котором находится этот элемент. Таким образом, Х„находится во второй строке и' первом столбце матрицы Х. Поскольку матрица — это набор векторов, мы можем ожидать, что правила равенства, сложения, умножения на скаляр и транспоиировалия векторной алгебры будут справедливы и для матричной алгебры.