Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики.djvu), страница 6

Х, Хп л и Х,„Х.„... Х „ =~х, х,... х,1. (1.33) ~о Под простым мы понимаем среднее арифметическое при условии, что всем наблюдениям приписывается вес, равный 1. Общая формула для среднего арифметического записывается в виде „,~~ ~3Хь Х= '=' 'Я ФГ~ с 1 где Ф'; — веса паблкщеннй, ~' Х",, Х; часто записывается в виде ХХ, где пределы суммирования подразумеваются. Следующие свойства оператора суммирования Ж могут оказаться полезными: ).;~, Й=гй, где й — постоянная, в=1 2. БАХ - йХХ. 3. ХХ'=Х~а+ Х, *+... +Х~а 4.

(ХХР = (Х1+ Ха+ ... + Х„)~ 5. Х (Х+ У) '- ХХ'-;- Х У. 6. У,ХУ = Х1У'1 + Х~У~ + ... + Х„У'в. 7. ХХХ К = (Х Х) (Е У). Следует быть внимательным и ие путать свойства Э и 4 или 6 и 7. 1. Вслн Х имеет порядок 2 н Ъ' — размср 2Х10, то каков будет размер произведения Х7? Возможно ли произведение 1Хг 2. Пусть 24 — 1 200 Найдите ХУ. 3. Дайте алгебраическое доказательство тождества 1г (Хт) = $г (7Х). 4.

Пусть матрицы А, В и С имеют порядок и. Покажите„что имеют место следующие свойства: а) (АВ) С = А (ВС). б) А (В + С) = АВ+ АС. в) (А+ В) С = АС+ ВС. г) (А')' =' А. ' Я д) (А+ В)' = А'+ В'. е) (АВ)' = В'А'. Раздел 1.8 1. Проверьте, имеет ли, матрица 2131 0012 11ОО раиг 3* 2. Решите следующую систему уравнений с помощью обращения матрицы: — 05Х,— Х,+025Х,+Х, 0,5 Ха — Ха+ Х» = б", 0,5(Х +Ха)=6; 0,5 (Х, + Х,) = 7. Решите эту же систему посредством обрап»ения разбиением. 3, Проверьте следующие свойства с помощью числовых матриц порядка 2: а) (АВС)-'=С-~В-1А-', б) (А')"'=(А-')'. 4. Предположим, что А и  — две квадратные матрицы порядка и.

Можно показать, что определитель произведения этих матриц равен произведению их определителей, т, е, ~АВ~ = 1А1 !В~. Приведите чис.ченный пример этой теоремы. Приведите также численный пример к теореме ~А~ = 1Л'1. 1. Пусть г = Х~~ + 2Х~~+ 3 Х»а — 2 Ххх»+ 2Х|Хз — 4 Хэха. Напишите матричное представление этой квадратичной формы, подобное уравнению (1.12а). Покажите, что эта квадратичная форма является положительно определенной, 2. Пусть ~~'~') О3 Х Нарисуйте эллипс, получаемый при а = 1.

1. Напишите дг/дХ для квадратичных форм из задач 1 и 2 раздела 1,4. 2. Нарисуйте эллипс, о котором говорилось в конце раздела 1.5. 1, Найдите нормированные характеристические векторы и характеристические корни матрицы Если ата матрица представляет собой коэффициенты квадратичной формы а= Х'АХ, то найдите максимум квадратичной формы, ограничившись единичной окружностью. Найдите полудлипы большой и малой осей эллипса, получаемого в результате максимизации. 2. Поскольку проиаведепие характеристических корней симметрической матрицы равно определителю матрицы, то нсвырожденнан матрица порядка и не содержит характеристических корней„равных пулю. В ойцем случае если Матрица порядка л имеет А характеристических корней, равных нулю, то ранг этой матрицы не больше а — й.

Покажите, что матрица 1 — 20 — 2 40 0 03 имеет ранг 2. Раздел 1.7 1. Пусть Х будет лр,р матрица наблюдений. Найдите матрицу А, такую,- чтобы АХ давало 2Х р матрицу, содержащую только первое и последнее наблюдения для любой из переменных Х. ПРИЛОЖЕНИЕ Повсюду в этой книге в приложениях к главам даются программы для вычислительной машины, которые выполняют большую часть описываемых вычислений. Эти программы состоят из подпрограмм, решающих конкретные математические задачи, и основных программ, котоРые вызывают эти подпрограммы.

Все подпрограммы написаны с использованием стандартных операторов Фортрана и должны выполняться с минимальными изменениями ~если они вообще потребуются) почти на любой вычислительной машине, имекяцей транслятор с некоторого уровня Фортрана. Основные программы содержат все формулировки й ЕЛО и %Й1ТЕ. В этом приложении основные программы дают лишь простой способ использования двух приводимых подпрограмм, и их можно легко изменить в соответствии с потребностями пользователя. Две подпрограммы в этом приложении выполняют обращение матриц и вычисление характеристических корней и векторов.

Существуют, "о-видимому, сотни программ для таких вычислений, и выбранные нами методы совсем не обязательно являются самыми эффективными. пр граммы были выбраны в основном потому, что их легко освоить человеку, заинтересованному в проверке приводимых данных. КРоме ~го, эти программы кратки, просты в обращении и, судя по опыту авторов дают хорошие результаты. Эти программы ие предназиачень~ для серьезной научной работы, а задуманы скорее как учебное пособие. Тем не менее оказалось, что при принятии двойной точности эти программы хорошо работают и с типовыми задачами, встречающимися в экономике.

ЛЛЛ. Подпрограмма! МУЗ А. Описание. Эта подпрограммэ обращает матрицу по методу 8веерЫК ~. Обращаемая матрица может не бьдь симметрической, ио, конечно, она должна быть квадратной. Б. Ограничения. Обращаемая матрица должна быть не вырожденной и не иметь ни одного нуля на главной диагонали. После обращения матрица разрушается. Поэтому если требуется сохранить исходную мат. рицу, то она должна быть записана в память перед вызовом подпрограммы 1ХЧЗ.

Максимальный порядок обращаемой матрицы равен 10. Этот порядок можно увеличить или уменьшить изменением оператора 01ИЕИЯОИ в подпрограмме. В. Примеиение. Пусть в память машины введены матрица А и число М, оператор СА1 1. 1ИЪЗ (А, М) в основной программе задает вход в подпрограмму. А — это матрица, подлежащая обращению в подпрограмме, выходом из подпрограммы является матрица, обратная к А. М вЂ” это число строк в А (или столбцов, так как А должна быть квадратной). Основная программа, описываемая в П.1.2, содержит подробности пользования подпрограммой 1ЬЖЗ.

Я~ЕКОЕТ1ИЕ 1ИЛ (А,М) 01МЕИ$1ОИ А (10, 10) ВО 20 К=1,М А (К,К) = — 1./А (К,К) ОО 5 1=1,М П' (1 — К) З', 5, З 3 А (1,К) — А (1,К)аА(К,К) 5 СОИ Т1И15Е ОО 10 1=1,М 00 10 3=1,М 1Р ((1 — К)в(Ю вЂ” К)) 9,10,9 9 А (1,Л) =А (1„Ц вЂ” А (1,К)~А (К,Д 10 СОИ Т1ИБЕ 00 20 3=1,М 1Р (Л вЂ” К) 18,20, 18 18 А(К,Я) = — А(К,Л)~А (К, К) 20 СОИТ1И13Е. ЮО 25 1=1,М ЕЮ 25 3=1,М 26 А (1,Л) = — Л (1.Л) КЕТИ~И ЕИ0 ~ Объяснение этого метода еи, в Р2, с 62 †'651. П.1.р. Основная программа для МЧУСЬ Первая перфокарта данных, прилагаемых к этой вызывающей прей грамме, содержит численное значение М, набитое в колонках 1 — 3. Это значение должно быть набито без десятичной точки и расположено как можно правее в этом поле '.

Если М = 2, набейте 2 в колонке 3. Если М = 10, набейте 10 в колонках 2 и 3. Остальные карты с данными содержат матрицу А, записанную построчно. Элементы А вместе с десятичной точкой набиваются в восьми полях шириной 10, т. е. в колонках 1 — 10, 11 — 20, 21 — 30,..., 71 — 80. Если размер А меньше, чем 9 Х 9, то первая кар~а содержит первую строку А, вторая карта — вторую строку ит.д. Однако если А имеет размер 10х10, то первая карта содержит элементы с А„до А,, вторая карта — элементы с А,~ до А1 1О и т.д. Следующие две карты содержат вторую строку А и т. д. Далее приводится пример расположения данных, соответствующих матрице (1.1а), за которым следует сама основная программа.

Иы еще раз предупреждаем читателя о том, что, хотя зта программа хорошо работает с небольшими матрицами, которые не являются плохо обусловленными, может оказаться, что трудностям какой-либо практической исследовательской задачи она не удовлетворяет. Кроме того, рекомендуется проверять точность обращенной матрицы. Рис. П. 1.1 С 1Х7$ ИЕЕОЕВ 01МЕИ81ОК А (10, 10) КЕАО (5, 10) М 10 РОКМАТ (И) ВО 20 1=1,М 20 КЕАВ (5,26) (А (1,Л),1 = 1,И) 25 1.-ОКМАТ (6Р10Я) СА1Л- 1МЪ'8 (А,М) 1;тО 30 1=1,М ЗО %'К1ТЕ (6,40) (А (1,1),1,),3 =1,М) 40 ГОВМАТ (4(ЕПЛ," (",212.') ')) БТОР ЕКО Результаты работы этой программы приводятся далее.

Обратите внимание, что алименты обратной матрицы дани в анспоненциальной ° Переиениее ее целая. 41 форме э и что справа от каждого элемента обратной матрицы в скобках указаны номера строки и столбца, в которых он находится: —.6666670Е+00 (1 1) .6666666Е+00 (1 2) .6666666Е+00 (2 1) .3333333Е +00 (2 2) П.).3. Подпрограмма СНМ А. Описание. Эта подпрограмма вычисляет все характеристические корни и соответствующие им характеристические векторы для матрицы '. Матрица, по которой вычисляются корни и векторы, обозначается через К Вектор'ГРООТ содержит характеристические корни.