Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики.djvu), страница 3

Действительно, как показывают приводимые далее примеры, это в самом деле так. 1. Рагеналво. Матрица Х и матрица Т рааиытогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы, Следующие две матрицы равны: 2. Сложение. Матрицы складываются (вычитаются) путем сложения (вычитания) их соответствующих элементов: ' В атом примере векторы записаны по столбцам. Их можно было бы записать и но строкам, если бы ато оказалось более удобным. т Матрица размера 1 Х гп есть вектор-строка, а матрица размера л Х 1 есть вектор-столбец.

Таким образом, векторы могут рассматриваться как матрицы. 16 3. Умножение на скаляр. Чтобы умножить матрицу на скаляр, необходимо умножить каждый элемент матрицы на скаляр: Как и для векторов, йХ = Хй. Пользуясь языком математики, можно сказать, что умножение на скаляр коммутативно, т. е порядоксомножителей при умножении не имеет значения.

Далее мы увидим, что порядок сомножителей важен, когда две матрицы умножаются одна на другую. 4. Транспонирование, Транспонирование матрицы Х (обозначаемой Х') заключается в перестановке местами строк и столбцов матрицы Х; 123 147 Х,= 456; Х'=- 258 78 9 369 Прежде чем продолжить рассмотрение элементов матричной алгебры, остановимся на некоторых важных матрицах специального вида.

Единичная матрица — это квадратная матрица (т. е. с одинаковым числом строк и столбцов), в которой каждый элемент на главной диагонали (из левого верхнего угла в правый нижний угол) равен 1, а все остальные элементы равныО. Единичная матрица размера 3 х 3 имеет Вид: 100 1= 010 . 00 1 Единичная матрица представляет собой частный случай диагональной матрицы, в которой ненулевые элементы находятся только на главной диагонали. Например, 200 0= 004 — это диагональная матрица размера Зх3. Если матрица имеет ненулевые элементы только на своей главной диагонали и выше нее, то она называется верхнетреугояьнои. Если матрица имеет ненулевые элементы только на главной диагонали и ниже нее, то она называешься нимнетрвугольной.

Далее приведены верхне- треугольная матрица Х и нижнетреугольная матрица У: 123 30 О 045 1= 47 0 006 8911 Си~илюиц7ической называется матрица, которая остяегся неизменной при травспонировании. Другиии словами, элементы, расположенные ниже главной диагонали, являются зеркальным отображением элементов, расположенных выше главной диагонали. Поскольку для записанной магрицы Х имеет место тождество Х = Х', то она симметрическая: 123 Х= З67 Многие встречаюуиеся в статистике матрицы симметрические. Умножение матриц. Определим матрицу произведения А как А = Х'1', где Х и У вЂ” матрицы. Элемент ц матрицы А находится умножением каждого элемента ~-Й строки матрицы Х на соответствукхций элемент ~-го столбца матрицы т' и сложением получаемых произведений.

Для примера перемножим с 1 2 З 1(1)+2(6)+З(З) 1(4)+2(7)+З(2) 1 4 4 Б 6 4(1)+5(6)+б(З) 4(4)+5(7)+6(2) 67 Из этого примера должно быть ясно, что произведение ХМ может быть определено только в том случае, если число столбцов в Х равно числу строк в Т. Если это условие соблюдается, то матрицы Х и т' являются взаимно согласованными при желаемой последовател ьности умножения. Приведем пример умножения, которое не может быть выполнено, так как эти две матрицы взаимно не согласованы при желаемой последовательности умножения: 1 2] Однако если порядок умножения изменить, то матрицу произведения можно получить: 9 12 151 б 9 12~ "][ Из приведенных примеров очевидно, что произведение Х"т' ие всегда определепо и что в обще.и случае равенство Хт' = УХ не ижек месаи. Есть полезный способ для определения того, возможно ли произведение ХУ, и для указания размера результирующей матрицы„ если оно возможно.

Запишите размеры двух матриц в желаемой последовательности умножения. Для двух только что перемножавшихся матриц мы имеем (2Х2) и (2х 3). Если 'внутренние числа совпадают (в данном случае 2), то при желаемой последовательности умножения эти ~а~р~ц~ взаимно с~глас~ва~~, так как число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй. Внешние числа (в данном случае 2 и 3) показывают размер получаемой матрицы произведения. Читатель может проверить это правило на нескольких примерах с матрицами и убедиться в том„что умножение векторов также подчиняется этому правилу.

В дальнейшем мы будем опираться на тот факт, что умножение с участием единичной матрицы коммутативно и умножение на единичную матрицу не изменяет умножаемую матрицу. Таким образом, 1Х=Х1=Х, где 1 и Х вЂ” матрицы одного порядка. След матрицы. Сумма элементов, расположенных на главной диагонали квадратной матрицы, называется следом матрицы. Итак, для матрицы Х размера и х и 1гХ= — Х„+Х~,+...+Л'„, = '~„" Хц, ю=з где 1г Х обозначает след Х.

В наших дальнейших рассуждениях мы будем пользоваться следующими свойствами Для следа матрицы, которые читатель может проверить самостоятельно: $г (Х+ 7) =- 1г Х+ 1Г т'; 1г (ХУ) = $г (УХ); 1г (Х') = 1г (Х). 1.3. ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ вЂ” 0,5 1,0 1,0 1,0 Если обозначить 2Х2 матрицу постоянных коэффициентов через А, 2х1 вектор неизвестных — через Х и 2х1 вектор постоянных— через С, то эту систему уравнений можно записать в виде АХ = С. (1.16) Подобно векторам„матрицы дают огромную экономию в обозначениях. Уравнение (1.16) с равным успехом могло бы представлять систему не из двух, а из нескольких тысяч линейных уравнений.

Если бы А, Х и С были скалярами, то мы имели бы обычное алгебраическое уравнение АХ = С и могли бы решить его относительно Л, вычислив Воспользовавшись уже известными нам понятиями матричной ал* гебры, мы можем записать систему уравнений (1.1) следующим образом: при условии, что А не равно нулю. В матричной алгебре мы решаем уравнение относительно вектора-столбца Х, вычисляя Х=(А ')С при условии, что матрица А невырожденная (вскоре мы объясним значение слова ~иевырожденная»). Матрица А ' является обраиной для матрицы А.

Видно, что понятие обратной матрицы в матричной алгебре сходно с понятием деления в обычной алгебре. Так же как АА — 1= 1 в обычной алгебре, так и АА-1=1, т. е. единичной матрице того же порядка, что и А, в матричной алгебре. Действительно„ обратная матрица А-' определяется как такая матрица, для которой АА ' = 1. Решением нашей Жстемы уравнений является =(А ')С= 5,0 З,О 3 3 что совпадает с результатом„полученным методами обычной алгебры.

Перейдем теперь к способу нахождения обратной матрицы и предоставим читателю проверить, что в предыдущем примере АА ' = $. Существует много способов обращения матриц 8. Мы расскажем об одном способе, которым удобно пользоваться при работе с настольной вычислигельной машиной и который познакомит иас еще с некоторыми понятиями матричной алгебры, необходимыми нам в дальнейшем. Метод обращения, пригодный для применения на цифровой вычислительной машине, будет изложен в приложении к этой главе.

Однако прежде чем приступить к объяснению способа обращения, мы введем одну функцию квадратной матрицы, которая называется определителем. Определитель. Для каждой квадратной матрицы (т. е. матрицы с одинаковым числом строк и столбцов) существует число, называемое определителем этой матрицы. Например, матрица П имеет определитель, равный ! 46 =4(2) — 1(б) =2. 12 Мы заключаем определитель в вертикальныв линии (а не в скобки), чтобы не принимать его за матрицу, Для матрицы размера 2М2 определитель равен произведению элементов на главной диагонали минус произведение элементов на вЫрой диагонали.

Таким образом, матрица Лп Аз имеет определитель, равный А21 АВ Я$1 Ая$ Л АФ2 Л Л21' ~ А1= Задача нахождения определителей матриц более высокого порядка может быть сведена к нахождению определителя последовательности 2Х2 матриц при помощи миноров.

Рассмотрим определитель размера ЗхЗ:. А„А,, Л,, 135 А.,А.„Л„= 246 Если минору присваивается знак минус нли плюс, то он называется алгебриическйм дополнением, обозначается через С;~ и определяется след~ ~ющим образом ' С;; = ( — 1)'+ ' М;;. Следовательно, если сумма индексов нечетиа, то алгебраическое дополнение — это минор со знаком минус. Если же сумма индексов четна, то алгебраическое дополнение равна минору.

В нашем примере С„=- ( — 1)~ Ми =-=!М„=- 2; 1)з М М 44. С~з =- ( — 1) 'М1з = М~э = — ЗО, С учетом понятий о мииоре и об алгебраическом дополнении можно легко найти разложение определители размера ЗМ 3. Выберем произвольную строку, например первую строку матрицы А, и назовем ес широкой ризлохенил. Определитель А равен сумме произведений элементов строки разложения и соответствующих им алгебраических дополнений.