1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (Детлаф А.А., Яворский Б.М. - Механика. Основы молекулярной физики и термодинамики (1973)u), страница 9

8. Как мы уже отмечали, в ньютоновской механике считают, что масса материальной точки остается постоянной при любых изменениях состояния движения этой точки. Соответственно уравнения (2.3) и (2.6) представляют собой две совершенно эквивалентные формы записи второго закона динамики. Аддитивность и неизменность массы полностью согласовались с представлениями Ньютона о том, что масса.. тела определяется количеством вещества, содержащегося в этом теле. Однако в начале ХХ в. выяснилось, что такое истолкование массы неправильно. После открытия электрона (конец Х1Х в.) и проведения экспериментальных исследований движения электронов в электрических и магнитных полях было обнаружено, что закон (2.3) отнюдь не универсален.

Если скорость электрона близка по величине к скорости с света в вакууме (с = 3 16з м/с), то ускорение электрона не удовлетворяет уравнению (2.3). Оказывается, например, что ускорение электрона совпадает по направлению с вызывающей его силой Г только в двух частных случаях: если сила Р параллельна скорости электрона и или если она перпендикулярна к ч. Прн одних и тех численных значениях Р и 4 ч численные значения ускорения электрона оказываются неодинаковы- 0 ми в этих двух случаях. Все эти особенности поведения 2 электронов при очень больших скоро- стях движения нашли свое объясне- 1 ние в специальной теории относительности Эйнштейна, которую мы под- ,2 йв 00 й0 10 г робно рассмотрим в П1 томе.

Сейчас а же лишь укажем, что в теории отнорис. зл. сительности изменение движения ма- териальной точки под действием силы Р полностью описывается уравнением (2.6), причем масса и точки не постоянна, а зависит от скорости ч по следующему закону: где т,— масса покоя материальной точки, т, е. ее масса при скорости о = О. Из этой формулы видно, чтомассу движущегося тела нельзя отождествлять с количеством содержащегося в нем вещества. По мере увеличения скорости тела его масса возрастает, а количество вещества в теле, определяемое числом и составом содержащихся в нем атомов и молекул, не изменяется.

Согласно современным представлениям масса материальной точки одновременно является мерой ее инерционных и гравитационных свойств (см. 6 6.1). Зависимость массы от скорости становится заметной только при очень больших скоростях, соизмеримых со скоростью света в вакууме (рис. 2.1). Поэтому в классической механике Ньютона, изучающей движения тел со сравнительно малыми скоростями (о (( с), массы тел можно считать постоянными и равными их массам покоя.

9. Перепишем второй закон Ньютона (2.6) в следующем виде: (2.6') д(тч) = Г Ш вЂ” 42— Вектор Г й1 называют элементарным импульсом силы за малый промежуток времени ее действия йй Таким образом, изменение импульса материальной точки за малый промежуток времени й1 равна элементарному импульсу за тот же промежуток времени результирующей силы, действующей на материальную точку.

Соогветственио изменение импульса материальной точки за конечный промежуток времени от 1 до 1+Де равно с+ы Д(ту) = 1 Гй(, (2.6") с+ы где ) Г й( — импульс результирующей силы Г за рассматриваемый промежуток времени. Если иа материальную точку. действует постоянная сила (Г =* = сопз(), то импульс точки является линейной функцией времени: тч = ( Гаг+ тч, = Г~+ тээ (2.7) где э,— скорость материальной точки в момент начала отсчета времени (1 = 0).

В частности, если Г = О, то импульс точки не изменяется — 'она движется равномерно и прямолинейно в соответствии с первым законом Ньютона. Из (2.7) следует, что приращение импульса за конечный промежуток времени Д1 = 1~ — (, равно Д(тч) = тэ,— тэ,= Г(1,— 11) = ГДй (2.7') т. е. изменение импульса материальной точки под действием постоянной силы равно произведению силы на продолжительность промежутка времени, в течение которого произошло это изменение. Если сила Г переменная, то и тчх — тч1 = ~ Г й1 = Гср (сз (ь) Здесь Г,р — среднее значение переменной склы Г з интервале времени от 1, до („ьт. е.

такая постоянная сила, импульс которой за промежуток времени 1,— 1, равен импульсу переменной силы Г за тот же промежуток времени. (2.8) — 43— $2А. Третий закон Ньютона. Движение центра инерции 1. Наблюдения и опыты показывают, что механическое воздействие двух тел друг на друга всегда представляет собой их в з а и м о д е й с т в и е: если тело 1 действует на тело 2, то при этом тело 2 в свою очередь действует на тело 1. Так, например, Луна дви- (2.9) Здесь Гм — сила, действующая на первое тело со стороны второго, а Ä— сила, действующая на второе тело со стороны первого. Следует отметить, что силы Г„и Гм приложены к разным телам и потому не уравновешивают друг друга.

В дальнейшем мы будем пользоваться третьим законом Ньютона, сформулированным применительно к взаимодействию двух материальных точек: две материальные точки действуют друг на друга с силами, которые численно равны и направлены ео взаимно противоположные спюроны вдоль прямой, соединяющей ети точки. Третий закон Ньютона является существенным дополнением к его первому и второму законам, так как позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике произвольной системы материальных точек, т.

е. произвольной механической системы. 3. В динамике широко пользуются понятием центра инерции механической системы. Центром инерции, илн центром масс, системы материальных точек называют такую точку С, радиус-вектор ко- торой и 1~~1 = — ~т, г„ 1 1=1 гс- (2.10) где т~ и г,— масса и радиус-вектор (-й точки системы, т — общая масса всей системы, а и — число материальных точек, входящих в состав системы. Соответственно соотношения между декартовыми ко.

ординатами центра инерции и всех точек системы имеют вид л 4 а ! %~ хс = — тахо уо — т,у, и ео = — т,го (2.10') жется по своей орбите под влиянием тяготения к Земле. В то же самое время на Землю действует тяготение Луны, которое вызывает, в частности, периодически повторяющиеся морские приливы и отливы. Человек, прыгая с лодки на берег, отталкивает лодку назад, а на него со стороны лодки действует сила, направленная вперед. Поэтому че.

ловек и лодка движутся в прямо противоположных направлениях. При столкновении двух биллиардных шаров одновременно изменяются скорости обоих шаров, т. е. каждый из них действует на другой. На ведущие колеса электровоза действуют со стороны рельс силы трения покоя, направленные в сторону движения электровоза и обусловливающие его силу тяги. В свою очередь ведущие колеса действуют на рельсы с силами трения покоя, имеющими прямо противоположное направление. 2. На основе количественного анализа механического взаимодействия тел Ньютон установил свой третий закон динамики, который можно сформулировать следующим образом: действия двух тел друг на друга всегда ровны и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т.

е. Как известно из курса физики средней школы„центром тяжести системы называют точку приложения равнодействующей параллельных сил тяжести всех частей системы, Радиус-вектор центра тяжести равен л 1 '%' ! г„, = — ~~у Р,го Р Д~ ! где Р,— численное значение силы тяжести»-й материальной точки, п Р Е Ро Так как Р,= т»й и Р = тя, где я — численное значение »» ускорения свободно падающих тел, то центр тяжести системы совпадает с ее центром инерции: ! %( 1 ч.-чч г = — '~ т»яг» = '~ т»г» = г и.т Д~ щ ~~ с.

( ! г ! В этом выводе мы предполагали, что величина й» одинакова во всех точках системы. Такое допущение справедливо, если линейные размеры системы во много раз меньше радиуса Земли. 4. Скорость центра инерции системы л и "с = = — т» —" = — ~~ т»т», (2,11) !»г» 1 к» Д,я,Д~ ! где т» — скорость»'-й материальной точки.

Геометрическую сумму импульсов всех материальных точек системы называют импульсом системы К: К = ~~~ т»ч». Таким образом, из (2.11) следует, что импульс системы равен произведению массы всей системы иа скорость ее центра инерции: К =тес. (2.12) 5. Тела, не входящие в состав рассматриваемой механической системы, называют внешними телами, а силы, действующие на систему со стороны этих тел,— внешними силами. Соответственно, силы взаимодействия между материальными точками, принадлежащими рассматриваемой системе, называют внутренними силами.

Если р»„— сила, действующая на »-ю точку системы со стороны Ьй, то результирующая всех внутренних сил, приложенных к »-й точке, равна П Р",.' =~Р,=Г„+Р»з+...+Р...+Г..+.+...+Ры. (2.1З) з ! »ь»-»! В сумме, стоящей справа, индекс й пробегает все значения от 1 до л, кроме 1, так как !-я точка не может действовать сама на себя. Обозначим через Г!" результирующую всех внешних сил, приложенных к !'-й точке системы. Тогда по второму закону Ньютона можно написать следующую систему уравнений движения всех материальных точек системы: — (и, т!) — Г, + Г!э -+ Г, + ° ° ° + Г „, (!пзтз) Г +Г$1+ГФ+ ' ' +Г (2.14) — (л!пти) = Гл' -!- ГпЗ+Гиз+" +Г» в-!. !и Складывая почвенно эти уравнения и группируя попарно силы Г,„и Г„„находим й л (!и! «!) = ~~ Г~ + (Гзз+ Гм) + (Гм + Гм) + ! ! + + ( «-!,а+ !!, а-!)' Согласно третьему закону Ньютона Г„, = — Г„ь поэтому все скобки в правой части этого уравнения равны нулю: и 4 — (!и! т!) = ~~ ~~ Г, ' ! ! Так как производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых, то где К вЂ” импульс системы.

Силу Г, равную сумме всех внешних снл, приложенных к системе: Г=~Г, ! называют главным вектором внешних сил, Таким образом, оконча- тельно можно написать Это уравнение, полученное нами с помощью второго и третьего законов Ньютона, является обобщением уравнения (2.6) на произвольную механическую систему, так как ее всегда можно мысленно представить в виде системы материальных точек, взаимодействующих друг с другом и с внешними телами. Оно показывает, что скорость изменения импульса механической системы ровна главному вектору всех внешних сил, действуюи(их на зту систему. В проекциях на оси декартовой системы координат векторное уравнение (2.15) эквивалентно системе трех уравнений: причем и п и К„= т,ово К = ~~~~ т,о,.„и К,= ~ т,оео 1 ьм ом 6, С помощью формулы (2.12) можно переписать уравнение (2,15) в форме — (тчс) = г, илн та.

р, (2.16) Д7 ечс где ас = е1 ускорение центра инерции системы, а т — масса всей системы, Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка, масса которой ровна массе всей системы и на которую действует сила, ровная главному вектору внешних сил, приложенных к системе. В общем случае движение твердого тела можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного со скоростью ч, равной скорости чс центра инерции тела, и вращения вокруг центра инерции. Поэтому уравнение (2,16) часто называют основным уравнением динамики поступательного движения твердого тела.