1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (Детлаф А.А., Яворский Б.М. - Механика. Основы молекулярной физики и термодинамики (1973)u), страница 5

18') В качестве примера прямолинейного равноускоренного движения укажем на свободное падение тел без начальной скорости. Опыты Г. Галилея (Х'т'! в.), а также все последующие более точные опыты показали, что численное значение и ускорения при свободном падении одинаково для всех тел и зависит только от высоты над уровнем моря и географической широты места проведения опыта. На широте Москвы и уровне моря д = 9,8!66 м/с». 3. Наиболее простой вид криволинейного движения — равномерное движение материальной точки по окружности. Численное значение вектора скорости в этом движении остается неизменным (а,= О), но направление его все время изменяется (а,~ 0), причем по уравнению (1.13") ы а = — = сопз1.

Л й В 4.5. Кинематика абсолютно твердого тела 1. В этом параграфе мы рассмотрим кинематические характеристики двух простейших типов движения абсолютно твердого тела †поступательно и вращательного. Движение твердого тела называют поступательным, если любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной ее первоначальному направленню (рнс. 1.?). Поступательно движутся относительно земли, например, кабина лифта, резец токарного станка, пассажирские кабины «колеса обозрения»„ стрелка компаса прн любом перемещении его корпуса в горизонтальной плоскОсти и т.

д. в' Прн поступательном движении тела траектории АА' н ВВ' любых двух его точек А н В (рис. 1.7) совершенно идентичны: их можно полностью совместить путем параллельного переноса вдоль прямой АВ. Поэтому приращения радиусов-векторов всех точек тела за любой произвольно выбранный промежуток времени одинаковы. Следовательно, в любой момент времени все точки тела имеют одинаковые скорости и ускорения, а кннематнческое рассмотрение поступательного движения абсолютно твердого тела сводится к изучению,движения любой из его точек. 2. Если в процессе движения твердого тела (рис. 1.8) две его точки А и В остаютси неподвижными, то н любая точка С тела„находящаяся на прямой АВ, также должна оставаться неподвижной.

В противном случае расстояния АС и ВС должны были бы изменяться, что противоречило бы предположению об з абсолютной твердости тела. Поэтому движение и твердого тела, при котором две его точки А и В р остаются неподвижными, называют вращением тела вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую АВ называют осью вращения тела. Рассмотрим произвольную точку М тела, ие лежащую на оси вращения АВ. При вращении А твердого тела расстояния МА, МВ и расстояние р от точки М до оси вращения должны оставаться неизменными. Таким образом, все точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, описывари ! 3 ют окружности, центры котовых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны к этой оси.

Вращение вокруг неподвижной оси совершают, например, роторы турбин, электрических двигателей и генераторов, коленчатые валы двигателей внутреннего сгорания и т. д. Движение абсолютно твердого ~ела, закрепленного в одной неподвижной точке, называют вращением зела вокруг неподвижной ~очки — центра вращения. Такое движение абсолютно твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через центр вращения и называемой мгновенной осью вращения тела.

Положение мгновенной оси относительно неподвижной системы отсчета и самого тела с течением времеви может изменяться. 3. При вращательном движении, в отличие от поступательного, скорости к разных точек тела неодинаковы. Поэтому скорость и какой-либо точки вращающегося тела не может служить кинематической характеристикой движения всего тела. Пусть 0 — центр вращения тела, а 00' — неподвигкная 1или мгновенная) ось вращения. Положенйе произвольной точки М тела ,рнс. 1.9) будем задавать с помощью радиуса-вектора г, проведенного из центра О. Из рнс. 1.9 видно, что г--р+00', 1'1.

19) где р = 0 М вЂ” радиус-вектор, проведенный в точку М из центра О' дуги окружности, по которой движется точка М. За малое время «1«вектор р поворачивается в олоскости, перпендикулярной оси 00', нз малый угол «(«р. На такой же угол поворачивается за время «(1 радиус-вектор любой другой точки тела, так как в противном случае расстояния между этими точками должны были бы изменяться. Таким образом, угол поворота «(«Р характеризует перемещение всего вращающегося тела за малый промежуток времени. Удобно ввести вектор «««Р элементарного (малого) поворота тела, численно равный «[«Р и направленный вдоль оси вращения 00' так, чтобы из его конца поворот тела был виден происходящим против часовой стрелки (см. рис.

1.9). Направление этого вектора совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом, т. е. подчиняется правилу буравчика. Можно показать, что при совершении телом последовательно двух элементарных поворотов («(у„а затем «(н,) результирующее перемещение тела эквива- « 3 лентно одному повороту «(«Р = «(«р«+ «(в,. Таким образом, элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов, т.

е. их действительно можно рассматривать как векторы. Р 4. Угловой скоростью тела называют Рвс. 1.Э. вектор м, численно равный первой производной от угла поворота «Р по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу буравчика, т. е. так же как вектор элементарного поворота «««Р: дз ««ч м= — и м —. ы Д« (! .20) "= Р =Р"' ««« (1. 21) Из рис. 1.9 видно, что вектор ч направлен перпендикулярно и к ю и к р в ту же сторону, что и векторное произведение! «э, р[. Так как, кроме того, векторы «з и р взаимно перпендикулярны, то )[м, р1! = = РО1 = О.

Следовательно, (1.22) ч=[м, Р). — 25— Угловая скорость м характеризует направление и быстроту вращения тела вокруг оси. Если м = сопз(, то движение тела называют равномерным вращением вокруг неподвижной оси. Скорость ч произвольной точки М тела, вращающегося с угловой скоростью м, часто называют линейной скоростью этой точки.

За время «(«' точка М проходит по дуге окружности радиуса р путь ««з = о ««« = = р«(«р, так что Подставляя значение р из (!.19) и учитывая, что векторное произведение коллинеарных векторов м и ОО' равно нулю, получим ч =(ы, г1. (1.22') чение которого тело, равномерно вращаясь с угловой скоростью о1, совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 1р = 2п. Частотой вращения п называют число оборотов, совершаемых телом за 1 с при равномерном вращении с угловой скоростью о!. Связь между со, Т н п имеет внд 2в и = — ' = 2ни (1.23) т — >О ИЕ1 йг — <О йн не Э 1 1 1 т 8 н 1 ! / н О ! Рнс.

1.$0. б. Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения. Угловым ускорением называют вектор в, равный первой производной по времени от угловой скорости: (1.24) В случае вращения тела вокруг не и од в и ж н о й осн изменение вектора м обусловлено только изменением его численного значения. При атом вектор е направлен вдоль оси вращения (рис.

1.10) в ту же сторону, что и м, при ускоренном вращении (~'" ) О) и в ,и противоположную сторону — при замедленном вращении (~" ~ О). 1,Ф Направим ось ОЕ вдоль неподвижной оси вращения, тогда проекция вектора е на эту ось о~в е,= —. ж (1.24') Есле еднннчный вектор в осн 02 направлен в ту же сторону, что н вектор е1, то оа )м) 1о н йо ва = От Очевидно, что в случае вращения тела вокруг неподвижной осн за начало координат, из которого проводят радиусы-векторы г, можно выбрать любую точку оси вращения.

5. Наряду с угловой скоростью вращения тела пользуются понятиями периода и частоты вращения. Периодом вращения Т называют промежуток времени, в те- Часто, ради упрощения, зту формулу записывают а виде Ди е= —, о1 (1. 24") Здесь а не модуль вектора а, а а л ге а р а и ее с к а я аеличина: прн ускоренном вращении е = 1з1> О, а прн замедленном аращении а = — 1а1сО.

7, Выразим тангенцнальное н нормальное ускорения произвольной точки М тела, вращающегося вокруг неподвижной осн, через угловую скорость н угловое ускорение тела: по о ом а,= — = — (мр) =р — =рз; пт пт ~Ф и„= — = озз р = — р = 4я л р, оз з 4яз Р Т' Из рнс. 1.11 н уравнения (1.25) следует, что вектор тангенцнального ускорения а, равен векторному произведению вектора углового ускорения а на радиус-вектор р нлн на радиус- вектор г, соединяющий произвольную точку,' на осн вращения с точкой М: $ ! а, = (а, р) = (е, г). (1.27) (1.26) Вектор а„ нормального ускорення направлен к осн вращения, т. е.

в сторону, протнвоположную р: оз Р оз а„= — — — = — — р. Р Р Рз Рнс. 1.11 (1.28) 8. В заключение рассмотрим формулы для простейших случаев вращения тела вокруг неподвижной осн: а) равномерное вращение: з =О, со=сопз1, ~р=оз1; б) равнопеременное вращение вокруг осн ОЯ: аа соп$1р м ю + а 1~ ф ш л 1 + з Гз а = ог т где мог — проекция на ось ОЯ начальной угловой скорости тела м. 9. Поступательное н вращательное движения твердого тела являются лишь простейшими тнпамн его движения.

В общем случае твердое тело может двигаться весьма сложным образом. Сложными являются, например, движения шатуна в двигателе внутреннего сгорания, самолета, выполняющего фигуры высшего пилотажа н др. Однако в теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного н вращательного движений. — 27— Понятия поступательного н вращательного движений, как видно из их опре делений, неприменимы к материальной точке. Действительно, точка не имеет разчеров, так что говорить о ее вращении просто бессмысленно. Поэтому представление реального тела в виде материальной точки возможно только в тех случаях, когда вращение тела не играет сколько-либо существенной роли, Ц частности, это условие выполняется для твердого тела, движущегося посту- пательно Вопросы для повторении 1 Перечислите основные кинематическне характеристики движения точки, а также поступательного и вращательного движений твердого тела и дайте их определения укажите связи между кими ~Ь Лзз 2 Почему в общем случае нельзя написать; а = — или а — ? /)ля нг нг' какого движения зта запись справедлива? 3 Какое движение называю~ равнопеременным? 4 Каков.