1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (Детлаф А.А., Яворский Б.М. - Механика. Основы молекулярной физики и термодинамики (1973)u), страница 4

(!.о) 2. Вектор ч скорости материальной точки можно разложить на три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат: ч = ч„+ чч+ ч,=- о„!+ оч!+ о,к, (1.4') где о„, о„ и о, — проекции вектора скорости на оси координат. Подставив в (! 4) значение (1 1) для радиуса-вектора материальной точки и выполнив почлениое дифференцирование.

получим ь. ыи. ч = — 1 ч- — ! +- — к щ чЕ я( (1 4") — !б— Интегрируя по Г в пределах от Г до Г + ЛД найдем длину пути Ль, пройденного точкой за промежуток времени Лй сч-м Лз= ) ий Из сопоставления выражений (1.4') и (1.4) следует, что проекции скорости материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки: (1.7) Поэтому численное значение скорости 3. Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть направление векгора скорости р во время движения материальной точки не изменяется. Это означает, чтоточка движется по такой траектории, касательные к которой во всех ее точках имеют одно и то же направление. Таким свойством обладают только прямолинейные траектории. Значит, рассматриваемое движение — прямолинейное. В том случае, если направление вектора скорости р материальной точки изменяется с течением времени, точка обязательно описывает криволинейную траекторию. Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения неизменным, то такое движение называют равномерным. В этом случае величину о в уравнении (! 6) можно вынести извод знака интеграла.

!+Ы Л5= О ( пг== ОЬ Следовательно, прн равномерном движении за произвольные равные промежутки времени материальная точка проходиг пути равной длины Если же за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее мгновенной скорое. тн с течением времени изменяется Такое движение называют неравномерным. В этом случае часто пользуются скалярной величиной э,р, называемой средней путевой скоростью или просто средней скоростью неравномерногодвижения на данном участкеЛзтраекгорни. Она равна численному значению скорости такого равномерного дви кения, при котором на прохождение пути Лз затрачивается то же время Лд что и при заданном неравномерном движении. Лс О ср Л! Так как Лз = )д г) только в случае прямолинейного движения с неизменной по направлению скоростью, то в общем случае осрвь) асср! — 17— о ч=Ечп $4.3.

Ускорение 1. В движениях, с которыми чаще всего приходится иметь дело, вектор скорости изменяется как по численному значению (модуля), так и по направлению. Йля характеристики быстроты изменения скорости движения вводится понятие ускорения. Пусть за время Лг' движущаяся точка перешла из положения М в положение )Ч (см. рис. 1.5), и вектор ее скорости ч изменился на Лэ. Перенесем вектор ч + Лэ из точки Ф в точку М (МР). Очевидно, что вектор Лч = ВР.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале вре. мени от г до г + Л1 называют вектор а,р, равный отношению некто. ра Лч к промежутку времени Лй Ьо а, = —. ы' Очевидно, что вектор а,р совпадает по направлению с вектором изменения скорости Лэ. Ускорением, или мгновенным ускорением, точки в момент времени г называют векторную величину а„равную пределу, к которому стремится среднее ускорение этой точки в промежутке времени от Г до Г+ ЛГ при неограниченном уменьшении Лй з» оо а =!пп а,р —— 1ип — = —.

ыо'~ иоЫ пг (1.8) Из (1.4) следует, что оог а= —. ш' (1.8') Таким образом, ускорение точки равно первой производной от ее скорости э или, что то же самое, второй производной от ее радиуса- вектора г по времени. 2. Вектор а ускорения материальной точки можно разложить на — 18— 4. Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то ее результирующее элементарное перемещение лг, в соответствии с законом независимости движений, равно сумме элементарных перемещений, обусловленных каждым из этих движений в отдельности. Поэтому скорость э результирующего движения может быть найдена по обычному правилу сложения векторов. Она равна геометрической сумме скоростей э, всех тех (л) движений, в которых участвует материальная точка(закон сложения скоростей): три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат: а = а, + а„+ а, = а„! + а„! + аг(г, (1.9) где а„, а и а, — проекции вектора ускорения на оси координат.

Из (1.9), (1 4') и (1.4") видно, что с!о с!о„. с!о сГсх сГсо сггг а = — 1 + —" ) + — 'й = — ! + — ! + — (г. (1,9') и лс лс = асс л!г лн с!о сГсд ссо оог а = — '= и а,= * (110) г л! с!со с!С ссс'г ' Численное значение ускорения (!.19') 3. Вектор а ускорения материальной точки характеризует быстроту изменения ее скорости ч как по численному значению, так и по направлению.

Оказывается, что вектор а можно разложить на две составляющие так, чтобы одна из них характеризовала быстроту изменения только численного значения (модуля) скорости, а вторая— только направления скорости. Такое разложение возможно при любом виде движения точки. Ради простоты мы докажем его справедливость на примере плоского движения материальной точки вдоль участка Мсх' ее траектории (см. рис. 1.5). Ускорение в точке М Лг . ВВ а =!нп — = 1пп —. ыо ас дсо ас Отложим на прямой МР отрезок МС, равный МВ. Тогда В0 = =ВС+СВ и а = 1ип ВС+С0 .

ВС . СО = !пп — + 1пп —. мо ас осогсс ыо ас (1.1 1) Проведем в точке М два взаимно перпендикулярных единичных вектора ч и и, лежащих в плоскости траектории (см. рис. 1,5). Вектор ч направлен по касательной к траектории в сторону движения материальной точки, т. е. в направлении ее скорости и. Вектор п проведен в сторону вогнутости траектории.

Его называют единичным вектором главной нормали к траектории в точке М. — !9— Следовательно, проекции ускорения материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости этой точки или, что то же самое, вторым производным по времени от соответствующих координат точки: сГсх с!С ссго Из рнс. 1.5 видно, что модули векторов ВС и СР и их проекции на касательную и главную нормаль соответственно равны: ~ВС~ = ВС =2о з«п — ', ~СР~ =- СР =Ли, 2 г«о .. Ьа Ьо ВС = ВСзйп — =2оз!по —, ВС =ВСсоз — = оз!пЛи, о 2 СР, = СР сов Ли = Ло сов Ли, СР„= СР з!п Ли = Ло жп Ли.

Поэтому Ла ВС = ч2о з!по — -!-п ожпЛи, 2 СР = чЛо созЛи+ пЛо з(пЛи. При вычислении пределов в выражении (1.11) точка М предполагается фиксированной на траектории, так что значения и, ч и п при Л! — «-О остаются постоянными. С другой стороны, если Л! О, то Ло -«.О и Ла — О. Поэтому ВС мо Ьо Ь«сЬ (цп — = по!цп — = пи(пп — = о — п, ьо о Л« о« о А« о« о З! о« !нп — = ч1!и« вЂ” 1пп сов Ли = — ч.

С!« . Ьо ео о«о й«ь«оа!ь о о« Таким образом, (1. 11') а=а, +а„, где а, и а„— касательная и нормальная составляющие вектора ускорения: (1.12) е» а„= о — п, ж (1.13) (1.12') При равномерном движении а,=- О. Если а, )О, то движение называют ускоренным, если а, ( Π— замедленйым. Наконец, если а,= сопз1 эь О, то движение называют равиопеременнымо ва равные называемые соответственно тангенциальиым (касательным) и нормальным ускорениями материальной точки 4. Из выражения (1.12) следует, что тангенииальнае ускорение характеризует быстроту изменения численного значения скорости материальной точки.

Проекция вектора а, на направление скорости движения точки промежутки времени численное значение скорости изменяется на одну и ту же величину. Производная аа/~К входящая в выражение (1,13) для а„, выражает быстроту изменения направления движения материальной точки. Поэтому нормальное ускорение карактеризуегп быстроту изменения направления вектора скорости магпериальяой точки. Если движение прямолинейное, то а„= О За малое время а( материальная точка перемещается из точки М вдоль траектории на расстояние е(з. Малый участок траектории аз можно рассматривать как малую дугу окружности радиуса К, соответствующую центральному углу йа.

Эту окружность называют соег прикасающейся. Она представляет 1 собой предельное положение окружности, проведенной через три 1 1 точки траектории М„М и М, (точкв М, и М, лежат по разные стороны от М), когда М,-»-М и Вне. 1.В. М, -М. Ее радиус Р и центр называют соответственно радиусом кривизны и центром кривизны траектории в точке М. Центр кривизны лежит на главной нормали, проведенной в точке М, причем единичный вектор и главной нормали направлен от точки М к центру кривизны д» ! л»»» Так как йз = !»» йп, то — = — — = — и Л1»» Ю»» е» а = — и.

Проекция а„ на направление п е» а =— »» й ° (1 13") Направление ускорения определяется углом»е между векторами ч и а. Из рис. 1.6 видно, что о соз»р =— а (!.14') — 2!в т. е. проекция не может быть отрицательной Следовательно, вектор нормального ускорения направлен по главной нормали к центру кривизны траектории. Поэтому нормальное ускорение часто называют также центростремительным ускорением.

Векторы а, и а„взаимно перпендикулярны (рис. 1.6), так что модуль ускорения а материальной точки равен $ т.4. Простейшие виды движении материальной точки 1. В случае равномерного прямолинейного движения материальной точки вдоль положительного направления оси ОХ а, = а„ = 0 и т = о„1 = сопз1, причем о„ = 1т'1 = о~О. Зависимость координаты х точки от времени у имеет вид х = ) о„Ж+ хо = о/+хо, (1.15) о где х,— значение х в момент начала отсчета времени.

Длина пути з, пройденного точкой за промежуток времени от 0 до 1, з = х — хо= ог. (1.15') 2. В качестве второго примера прямолинейного движения мате- риальной точки рассмотрим равнопеременное прямолинейное движе- ние. В этом случае а„= 0 и а, = сопз1. Если а, э. О, то движение назы- вают равноускореннйм, а если а,~ 0 — равнозамедленным. Так как а, = Но/й, то зависимость численного значения скорости точки от времени имеет вид о= ) а„й+ о,= о,+а,1, о (1.16) (1.18) где о, — начальная скорость, т. е.

скорость материальной точки в момент / = О. Если движение происходит вдоль положительного направления осн ОХ, то о = о„= ЫхЯ/ и координата х материальной точки зависит от / по следующему закону: а,н Х = 1 О6/ + Х, = Х, + Оо/ -1- —. (1.17) о где хо — значение х при г = О. Соответственно длина пути, пройденного точкой с момента начала отсчета времени, а,д з=х — х =о/-~- — ' о— Численное значение скорости не может быть отрицательным: о =1т~)~0.

Следовательно, в случае равнозамедленного движения соотношения (1.16) — (1,18) справедливы только при г( — (о,/а,). Часто ради простоты в формулах (1.16) — (1.18) вместо а, пишут просто а: о = оо+ аг, (1. 16') ар х = хо + оо~ + (1. 17') 2 ар з = оо(+ (1. 18') 2 Пользуясь этими формулами, нужно помнить, что в них а — не модуль вектора а, а а л г еб р а и ч'е с к а я величина ускорения: прн равноускоренном движении а = (а) О, а при равноэамедленном движении а = — ( а (( О. Если о, = О, то„как видно из (1.16') н (1.18'), скорость материальной точки после прохождения пути з в равноускоренном прямолинейном движении (1.