1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (Детлаф А.А., Яворский Б.М. - Механика. Основы молекулярной физики и термодинамики (1973)u), страница 3

Материальной точкой называют тело, формой и размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Например, изучая движение Земли и других планет по орбитам вокруг Солнца, их рассматривают как материальные точки, так как линейные размеры планет пренебрежимо малы по сравнению с линейными размерами их орбит. В то же время Землю нельзя считать материальной точкой, например, в задачах о движении тел по ее поверхности. Движение корабля из одного порта в другой в первом приближении можно рассматривать как движение материальной точки. Однако если мы захотим учесть такую«деталь»этогодвижения, как качка корабля при волнении моря, то нам нужно будет принять во внимание взаимодействие волн с корпусом корабля, т.

е. придется рассматривать корабль как протяженное тело Понятием материальной точки, представляющим собой известное абстрагирование от реальных свойств движущихся тел, широко пользуются в механике, так как введение этого понятия вносит значительное упрощение в исследование движения тел Всякое тело можно мысленно разбить на большое число частей, сколь угодно малых по сравнению с размерами всего тела.

Каждую такую часть можно рассматривать как материальную точку, а само тело или любую систему тел — как систему материальных точек. Если деформации тела при его взаимодействии с другими телами в рассматриваемом процессе пренебрежимо малы, то удобно пользоваться моделью абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым телом называют тело, расстояния между любыми двумя точками которого в условиях данной задачи можно считать постоянными. Иначе говори, это тело, форма и размеры которого не изменяются при его движении. Абсолютно твердое тело обычно рассматривают как систему материальных точек, жестко связанных друг с другом.

3. Положение тела в пространстве можно определить только по отношению к другим телам. Абсолютно твердое тело, по отношению к которому рассматривают движение исследуемого тела, называют системой отсчета. С телом, выбранным в качестве системы отсчета, жестко связывают систему координат, так что положение каждой точки движущегося тела относительно системы отсчета однозначно определяется значениями трех координат этой точки. Наиболее часто пользуются прямоугольными декартовыми координатами х, у, г (ряс. 1.1). Система отсчета, кроме того, должна быть хронометризована, т.

е. снабжена часами, с помощью которых однозначно' определяют моменты ' С точностью Ло произвольного постоянного слагаемого, зависящего от выбора начала отсчета времени. времени, соответствующие различным положениям в пространстве движущихся тел. Положение точки М (см. рис. 1.1) относительно системы отсчета можно задать не только с помощью трех ее декартовых координат х, у, г, но также с помощью одной векторной величины г — радиуса- вектора точки М, проведенного в эту точку из начала О системы координат.

Если 1, 1 и 11 — единичные векторы' (орты) осей прямоугольной декартовой системы координат, то г = х! + у)+ г11. (1,2) ' В тексте векторные величины набраны жирным шрифтом, а на рисунках обозначены буквами со стрелкой наверху. — 13— Векторы х1, у1 и г)с представля- г ют собой составляющие (компонен- М ты) радиуса-вектора г вдоль соот- 1 ветствующих осей координат. Проекции г на оси координат соответ- 1г ственно равны х, д и г.

При движении материальной 0 точки М ее координаты х, д, г и 1 кх радиус-вектор г изменяются с тече- У нием времени 1. Поэтому для задания законадвижения материальной точки необходимо указать либо вид функциональной зависимости всех Рис 11 трех ее координат от времени: х = х(1), у = у11) и г =- г(1), либо зависимость от времени радиуса-вектора этой точки г= г(1) (1.2') Три скалярных уравнения (1.2) или эквивалентное им одно векторное уравнение (1.2') называют кинематическими уравнениями движения материальной точки. 4.

Траекторией материальной точки называют линию, описываемую в пространстве этой точкой при ее движении. Уравнения движения (1.2) задают траекторию точки в так называемой параметрической форме. Роль параметра играет время 1. Решая эти три уравнения совместно и исключая из них параметр 1, найдем уравнение траектории, указываюцее связь между тремя координатами любой точки траектории. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения точки.

Если все участки траектории точки лежат в одной плоскости, то движение точки называют плоским. Из самого определения механического движения следует, что это движение о т н о с и т е л ь н о. Характер механического движения данного тела, в частности форма траекторий точек тела, зависит от выбора системы отсчета. Пусть, например, материальная точка М равномерно движется по диску вдоль его радиуса от центра, а диск в свою очередь равномерно вращается вокруг оси оимметрни О, перпендикулярной к его плоскости (рис.

1.2). Тогда по отношению к системе отсчета, связанной с диском, точка М движется равномерно и прямолинейно вдоль оси ОХ, а по отношению к системе отсчета, связанной с осью вращения, точка М движется вдоль плоской раскручивающейся спирали, называемой спиралью Архимеда (рис. 1.3). Рнс. 1.2. Рнс. ЬЗ. 5. Длиной пути з материальной точки называют сумму длин всех участков траектории, пройденных точкои за рассматриваемый промежуток времени.

Очевидно, что длина пути з не может быть отрицатель- ной. Пусть материальная У точка движется вдоль про- 8 извольной криволинейной траектории АМ (рис. 1.4), причем А — положение мав териальной точии в момент А начала отсчета времени г (г' = 0), а М вЂ” ее положение в произвольный момент й Если в промежутке времени от 0 до Г движение точки по траектории происходит в одном и том же х направлении от А к М, то путь, пройденный точкой за это время, з = АМ.

В Рнс. Ь4. общем случае материальная точка может двигаться по траектории более сложным образом. Например, пустьза время от 0 до ('( Г она перемещается из А в В, а затем возвращается по той же траектории назад н к моменту ~ попадает в точку М. В этом слу- чае путь, пройденный точкой за время от 0 до й з ° ( АВ+ ВМ)) > АМ. 6. Вектором перемещения материальной точки за время от до С, называют вектор, проведенный нз положения этой точки в мо. мент 1, в ее положение в момент Гм т.

е. приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени: гь — г, г ((Ы' — г (сь). На рнс. 1А показан вектор перемещения точки за время от 0 до С равный г — г,=г(1) — г (О). При прямолинейномдвижении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории, Из того что перемещение — вектор, следует подтверждающийся на опыте закон независимости движений: если точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совериаеличк ею за то же время в каждом из движений порознь. 7.

Для измерения длины пути, перемещения и других расстояний служатмерыдлнны. Заосновнуюмерудлины принимается м е т р (м). Из определения механического движения следует, что, изучая движение, необходимо намерять и время. За единицу времени принимается с е к у н д а (с). Определения метра и секунды приведены в Приложении 5 2). $1.2. Скорость 1.

Для характеристики движения материальной точки вводят векторную физическую величину — скорость, определяющую как быстроту движения, так и направление движения в данный момент времени. Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории М й( (рис. ! .5) так, что в момент времени Г она находится в точке М, Рзс. ыз. а в момент времени г + Ьг — в точке Х Радиусы-векторы точек М и )ч' соответственно равны г н г + Ьг, а длина дуги МУ равна лв. Вектором средней скорости ч,р точки в интервале времени от Г до г + Лг называют отнопгение приращения Лг радиуса-вектора точ- ки за этот интервал времени к его величине Лй аг чс аг (1.3) Вектор ч,р направлен так же, как Лг, т.

е. вдоль хорды МЛ'. Если в выражении (1.3) перейти к пределу, устремляя ЛГ к нулю, то мы получим выражение для скорости (ее часто называют мгновенной скоростью) материальной точки в момент Г прохождении ее ~ерез точку М траектории: Лг Дг ч = — 1пп — =— м-э Л~ Ш (!.4) В процессе уменьшения величины ЛГ точка Л' неограниченно при.

ближается к точке М, и хорда МУ, поворачиваясь вокруг точки М, в пределе совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М. Поэтому вектор пг и скорость ч движущейся точки направлены по касательной к траектории в сторону движения. Из математики известно, что предел отношения длины Лз дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице при Лз — О Поэтому модуль малого (элементарного) приращения дг радиуса-вектора г равен длине Ж соответствующей ему дуги траектории (Фг( =- дз. Из этого соотношения и уравнения (1.4) следует, что численное значение скорости материальной точки равно первой производной от длины ее пути по времени.