1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (Детлаф А.А., Яворский Б.М. - Механика. Основы молекулярной физики и термодинамики (1973)u), страница 12

ным и никак не характеризует количество выделившейся теплоты. 2. Единой мерой различных форм движения служит физическая величина, называемая энергией. Энергия механической системы количественно характеризует эту систему с точки зрения возможных в ней количественных и качественных превращений движения.

Эти превращения обусловлены взаимодействием тел системы как между собой, так и с внешними (по отношению к системе) телами. Движение является неотъемлемым свойством материи. Поэтому всякое тело обладает энергией или, как часто говорят, запасом энергии, являющейся мерой его движения. Для количественной характеристики качественно различных форм движения, изучаемых в физике„вводятся соответствующие им виды (формы) энергии — механическая, внутренняя (см.

$ 10.1), электромагнитная и т. д. В этой главе мы ограничимся рассмотрением механической энергии, соответствующей механическому движению тел и связанным с ним взаимодействиям. 3. Изменение механического движения и энергии тела происходит в процессе силового взаимодействия этого тела с другими телами. Для количественной характеристики этого процесса в механике вводят понятие работы, совершаемой силой. Если рассматриваемая сила Г постоянна, а тело, к которому она приложена, движется поступательно и прямолинейно, то, как известно из курса средней школы, работой, совершаемой силой Г при прохождении телом пути з, называют величину А = Ра соз а = Г,а, (3.1) где а — угол между силой Г и направлением движения тела, т. е.

точки приложения силы, а Р,= Г соз а — проекция силы Г на на правление вектора у скорости тела (рис. 3.1). В общем случае тело может дви- Е Е Л ! гаться произвольным, достаточно сложным образом, а сила à — изменяться, так что формулой (3.1) пользоваться нельзя. Однако рассматривая достаточно малое (элементарное) пе- ремещение тела, можно считать силу Г постоянной, а движение точки ее приложения — прямолинейным. ПоэРис.

ЗА тому элементарной работой, совершаемой произвольной силой Г при перемещении точки ее приложения на малое расстояние сЬ, называют ве- личину 6 А = Г соз а г(а = Г,тЬ. (3.1') Если г — радиус-вектор точки приложения силы, то г(з = (г(г) и Рсоа а сЪ = (Г, г(г) — скалярное произведение векторов силы Р и элементарного перемещения г(г точки ее приложения. Следовательно, формулу (3.1') можно также записать в виде 6 А = (Г, сУг) = (Р. ъМ(, (3.1") где у = г(гlЖ вЂ” скорость точки приложения силы. Нужно заметить, что в общем случае сила Г, действующая на материальную точку, изменяется вместе с изменением координат этой точки.

Иными словами, Г является функцией трех координат, а ее касательная составляющая Гт, кроме того, зависит от направления элементарного перемещения г!г. Поэтому, как показывается в математике, элементарная работа, равная (Г, ог), или Е соз а оз, вообще говоря, не является полным дифференциалом какой. либо функции координат.

Следовательно ее нельзя обозначать через пА, так как для функций многих переменных о — общепринятый в математике символ полного дифференциала На основании сказанного мы применяем для элементарной работы символ )А. А ~ Гсояпдз = ~ Г,Нз. в (3.2) — б7— 4. Работа, совершаемая силой Г на конечном пути з, равна сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути; эта сумма приводится к интегралу: Если величина Р„касательной составляющей силы Г задана как функция от длины пути 3 (рис. 3.2), то, как видно из уравнения (3.2), работа А, совершаемая силой Р на пути 3, измеряется площадью, заштрихованной на рнс.

3.2. Если Г, не зависит от 3 (Р,= сопз(), то Из уравнения (3.1') видно, что сила, действующая на тело, не совершает работы, если; а) точка приложения силы покоится (!(3 = О); б) сила перпендикулярна к направлению перемещения !(г точки ее приложения (а = 90'; Г,= О). Рнс, 3.2. Рнс. 3.3, В последнем случае сила лишь искривляет траекторию движущегося тела. Таково, например, действие центростремительной силы на материальную точку, равномерно движущуюся по окружности.

Если угол а ( 90', то работа силы Г положительна. В этом случае составляющая Г, силы совпадает по направлению с вектором ч скорости точки приложения силы. Поэтому силу Г называют движущей силой. Если угол н 90', то работа силы Р отрицательна. В этом случае Р, и т противоположны по направлению, поэтому силу Г называют силой сопротивления.

Примером силы сопротивления может служить сила трения скольжения. 5. Пусть на материальную точку одновременно действуют несколько сил ÄÄ..., Г„(на рис. 3.3 принято, что и = 2). Тогда алгебраическая сумма работ, совершаемых всеми этими силами на малом перемещении дг материальной точки, равна работе, совершаемой на том же перемещении результирующей силой Р = Х Г,! Л н н ~~)~~ 3А; = чз (Г!, !2г) = ~~)~~ Р; сов нп с!3 = Нз ~~~)~~~ Р! — — Р с(з.

— 58— В случае протяженного тела силы ЄЄ..„Р„могут быть приложены в равных точках тела, перемещения которых ва одно и то же малое время йг также могут быть неодинаковы. Поэтому с с ~~)' ~А, = '~~~ (Ро йг,), с ! =! где йг,— перемещение ва рассматриваемое время й1точки приложения силы Р,. Если тело можно считать твердым и оно движется п о с т уи а т е л ь н о, то перемещения всех его точек за время йг одинаковы: йг,= йг = йг и а лг' 6А, = (Р, йг), ~=1 где Р = Х Р,— главный вектор внешних 1 г г=! сил, приложенных к телу.

б. Силу Р, действующую иа материальную точку, называют консервативной, или потенциальной, если работа А~ ь совер- Рнс. В.4. шаемая этой силой при перемещении точки ив одного произвольного положения (1) в другое (2), не зависит от того, по какой траектории зто перемещение произошло: А...= А...=А, „ гле А1 в — работа при перемещении точки из положения 1 в 2 по траектории 1 — а — 2 (рис. 3.4), А~ ь з — вдоль траектории 1 — Ь вЂ” 2, Изменение направления движения точки вдоль траектории на противоположное вызывает изменение знака работы консервативной силы, так как величина Р„в выражении (3.2) меняет свой знак.

Поэтому при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории 1., например 1 — а — 2 — о — 1, работа консервативной силы пюждественно равна нулю: ф (Р, йг) = А...+Аь.ь,=-О. (3.2') ии Примерами коясервативных сил могут служить силы всемирного тяготения (см. гл. Н), силы упругости (см. гл. 11), силы электростатического взаимодействия между заряженными телами. Из тождества (3.2') следует, как доказывается в математике, что подынтегральное выражение (Р, с(г), т, е. элементарная работа консервативных сил, представляет собой полный дифференциал функции координат, Все силы, не удовлетворяющие условию (3.2'), называются неконсервативиыми. Характерным примером таких сил являются силы трения скольжения. Сила трения скольжения всегда направлена в — 59— (3.3) Подставляя в эту формулу выражение (3.1) для злементарной работы, получим Ф = Р соз с — = Ро соха = Р, о (г, «), ~й Ш (3.4) где т — скорость точки приложения силы.

Следовательно, мощность (или мгновенная мощность) силы равна произведению численных значений касательной составляющей силы и скорости движения, т. е. скалярному произведению векторов силы и скорости. Если йг чь сопз1, то часто пользуготся средней мощностью йГ„за некоторый конечный промежуток времени 1, в течение которого сила совершила работу А: А Ж ср ! (3.4') $3.2.

Энергия кинетическая и потенциальная 1 В механике различают два вида энергии. кинетическую и потенциальную Кинетической энергией тела называют энергию йГ„, являющуюся мерой его механического движения и измеряемую той работой, которую может совершить тело при его торможении до полной остановки. Найдем выражение для кинетической энергии твердого тела В, имеющего массу и и движущегося поступательно со скоростью т. Пусть тело В тормозится, наталкиваясь па неподвижно закрепленное тело С и деформируя его.

При этом тело В действует на тело С с некоторой силой Р (в общем случае переменной) н на малом участке пути гй совершает элементарную работу 6А = Р,бз По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила — г, касательная составляющая которой — Р, вызывает изменение численного аначения скорости тела. По второму закону Ньютона сторону, противоположную направлению движения, так что соз а = = — — 1.

Поэтому работа силы трения скольжения при перемещении точки ее приложения вдоль замкнутой траектории всегда отрицательна и никогда не равна нулю. ?. Для характеристики скорости совершения работы силой вводится понятие мощности. Мощностью Фсилы Р называется физическая ве личина, численно равная работе, совершаемой втой силой за единицу времени: Следовательно, ее де 6А = — т — дэ = — т — с(о, Ф ег или 6 А — тЫо. (3 5) Работа, совершаемая телом В до полной его остановки, о А= — ~ тодо=— вия з а Из формулы (3.6) видно, что кинетическая энергия тела не может быть отрицательной (МГ, >0). Формула (3.6) справедлива, в частности, для кинетической энергии материальной точки.

Любую механическую систему можно рассматривать как систему материальных точек. Поэтому кинетическая энергия Ф', механической системы равна сумме кинетических энергий всех л материальных точек, образующих эту систему: л (3.7) где т, и о,— масса и скорость (-й материальной точки. Таким образом, кинетическая энергия системы полностью определяется величинами масс и скоростей движения входящих в нее материальных точек. Она не зависит от того, каким образом части рассматриваемой системы приобрели данные значения скоростей. Кратко этот важный вывод можносформулироватьследующнм образом: кинетическая энергия система есть функция состояния ее движения. 2.

Скорости ч, существенным образом зависят от выбора системы отсчета. При выводе формул (3.6) и (3,7) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как ияаче нельзя было бы пользоваться законами Ньютона. Однако в разных ннерпнальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, значения скорости ч~ (-й материальной точки системы, а следовательно, ее кинетическая энергия и кинетическая энергия всей системы неодинаковы. Иными словами, значение кинетической энергии системы зависит от выбора системы отсчета, т. е.