УМФ Тихонов (А.Н. Тихонов - Уравнения математической физики)

УЛК 517.95 Т46 ББК 22.161.6 Тихонов А. Н., Самарский А. А. Т46 Уравнения математической физики: Учеб. пособие. — — 6-е изд., испр, и доп. Мх Изд-во МГУ, 1999. 1БВХ 5 †211 †04138. В книге (5-е изд. - 1977 г.) рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих х уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание уделяется математической постановке задач, строгому изложению решения простейших задач и физической интерпретации результатов.

В каждой главе помещены задачи и примеры. В 6-е издание добавлено Дополнение П1, посвященное обобщенным решениям краевых задач. Кроме того, расширено Приложение П1 к гл. П1; а также добавлен 5 5 в Дополнение 1, посвященный итерационным методам решения линейных уравнений. Для студентов технических снециальностей вузов. УДК 517.95 ББК 22.161.6 1ЯВ1з 5- 211. 04138-0 0с А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, 1999. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к шестому изданию Из предисловия к первому изданию 11 14 ГЛАВА 1 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 'УРАВНЕНИЙ С г4АСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 1.

Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными (15), 2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными (22). 3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффипиентами (24). Задачи к главе 1 26 ГЛАВА П УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

Постановка краевых задач 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны (27). 2. Уравнение продольных колебаний стержней и струн (31). 3. Энергия колебаний струны (32). 4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах (34). 5. Поперечные колебания мембраны (35).

6. Уравнения гидродинамики и акустики (38). 7. Граничные и начальные условия (43). 8. Редукция общей задачи (48). 9. Постановка краевых задач для случая многих переменных (49). 10. Теорема единственности (50). Задачи (53), 27 2. Метод распространяющихся волн 1. Формула Даламбера (54). 2. Физическая интерпретация (57). 3.

Примеры (59). 4. Неоднородное уравнение (62). 5. Устойчивость решений (64). 6. Полуограниченная прямая и метод продолжений (68). 7. Задачи для ограниченного отрезка (74). 8. Дисперсия волн (78). 9. Интегральное уравнение колебаний (79). 10. Распространение разрывов вдоль характеристик (83). Задачи (85). 54 1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка 15 ОГЛАВЛЕНИЕ 87 128 5. Решение общих линейных уравноний гипорболического типа . 135 1, Сопряженные дифференциальные операторы (135). 2. Интегральная форма решения (136). 3. Физическая интерпретация функции Римана (139). 4.

Уравнения с постоянными коэффициентами (143). 162 174 Ъ'1. Физические аналогии 185 189 209 3. Метод разделения переменных 1. Уравнение свободных колебаний струны (87). 2. Интерпретация решения (93). 3. Представление произвольных колебаний в виде суперпознцни стоячих волн (96). 4. Неоднородные уравнения (10Ц. 5. Обшад первая краевая задача (108). 6.

Краевые задачи со стационарными неоднородностями (109). 7. Задачи без начальных условий (111). 8. Сосредоточенная сила (116). 9. Общая схема метода разделения переменных (119). Задачи (126). 4. Задача, с данными на характеристиках 1. Постановха задачи (128). 2. Метод последовательных приближений для задачи Гуров (129). Задачи (135). Задачи к главе П Приложения к главе П 1. О колебании струн музыкальных инструментов П. О колебании сторжней П1.

Колебания нагруженной струны 1. Постановка задачи (155). 2. Собственные колебания нагруженной струны (156). 3. Струна с грузом на конце (161). 4. Поправки для собственных значений (161). 1Ъ', Уравнения газодинамики и теория ударных волн 1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии (162). 2. Ударные волны. Условия динамической совместности (165). 3. Слабые разрывы (170).

Ч. Динамиха сорбции газов 1. Уравнения, описывающие процесс сорбцни газа (174). 2. Асимптотическое решение (178). ГЛАВА П1 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИк4ЕСКОГО ТИПА 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач 1. Линейная задача о распространении тепла (189). 2. Уравнение диффузии (193). 3. Распространение тепла в пространстве (194). 4. Постановка краевых задач (196).

5. Принцип максимального значения (202). 6. Теорема единственности (205). 7. Теорема единственности для бесконечной прямой (208). 2. Метод разделения переменных 1. Однородная краевая задача (209). 2. Функция источника (213). 3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями (215).

4. Неоднородное уравнение теплопроводностн (222). 5. Обшая первая краевая зада за (225). Задачи (227). 147 148 148 151 155 ОГЛАВЛЕНИЕ 3. Задачи на бесконечной прямой 228 1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для неограниченной области (228). 2. Краевые задачи для полуогра- ниченной прямой (242). 4. Задачи без начальных условий 250 Задачи к главе П1 254 Приложения к главе П1 1.

Температурные волны 256 256 П1. Метод подобия в теории теплопроводности............. 264 1. Функции источника для бесконечной прямой (264). 2. Краевые задачи для квазилннейного уравнения теплопроводности (267). 3. Режимы с обострением. Эффект локализации тепла (274). 1У. Задача о фазовом переходе 277 у. Уравнение Эйнштейна .. Колмогорова 282 Ч1.

5-Функция 1. Определение 3-функции (286). 2. Разложение 4-функции в ряд Фурье (289). 3. Применение ффункцин к построению функции источника (291). 286 ГЛАВА 1Ъ' УРАВНЕНИИ ЭЛЛИПТИНБСКОГО ТИПА 1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа 295 1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач (296). 2. Потенциальное течение жидкости.

Потенциал стационарного тока и электростатического поля (296). 3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат (298). 4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа (301). 5. Гармонические функции н аналитические функции комплексного переменного (303). 6. Преобразование обратных радиусов-векторов (305). 2. Общие свойства гармоничесхих функций 307 1. Формулы Грина. Интегральное представление решения (307). 2. Некоторые основные свойства гармонических функций (313). 3. Единственность и устойчивость решения первой внутренней краевой задачи (317). 4.

Задачи с разрывными граничными условиями (318). 5. Изолированные особые точки (319). 6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности (321). 7. Внешние краевые задачи. Единственность решения двух- и трехмерных задач (322). 8. Вторая краевая задача. Теорема единственности (326). 3. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных 1. Первая краевая задача для круга (328). 2. Интеграл Пуассона (333).

3. Случай разрывных граничных значений (336). 328 П, Влияние радиоактивного распада на температуру земной коры . 259 ОГЛАВЛЕНИЕ 4. Функция источника 338 1. Функция источника для уравнения Ьи = 0 и ее основные свойства (338). 2.Метод электростатических изображений и функция источника для сферы (343). 3. Функция источника для круга (346).

4.Функция источника для полупространства (347). 5. Теория потенциала 348 1. Обьемный потенциал (348). 2. Плоская зада за. Логарифмический потенциал (35Ц. 3. Несобственные интегралы (353). 4. Первые производные объемного зютенциала (360). 5. Вторые производные объемного потенциала (363). 6. Поверхностные потенциалы (367). 7.

Поверхности н кривые Ляпунова (371). 8. Разрыв потенпнала двойного слоя (374). 9. Свойства потендиала простого слоя (377). 10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач (380). 11. Интегральные уравнения, соответствуюпзие краевым задачам (386). Задачи к главе 11с . Приложения к главе 1Ч 391 393 1. Асимптотическое выражение объемного потенциала 393 П.

Задачи электростатики . 396 П1, Основная задача элехтроразведки 401 117. Определение векторных полей 408 Ч. Применение метода конформного преобразования в электростатике 412 УП. Бигармоническое уравнение 422 1. Единственность решения (423). 2. Представление бнгармонических функций через гармонические функции (424). 3. Решение бнгармоннческого уравнения для круга (425). ГЛАВА Ч РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ 1.

Задача с начальными условиями 1. Уравнение колебаний в пространстве (427). 2. Метод усреднения (429). 3. Формула Пуассона (430). 4. Метод спуска (433). 5. Физическая интерпретация (434). 6. Метод отражения (436). 427 2. Интегральная формула 1. Вывод интегральной формулы (437). 2. Следствия из интегральной формулы (441). 3. Колебания ограниченных объемов 1. Общая схема метода разделения переменных.

Стоячие волны (444). 2. Колебания прямоугольной мембраны (450). 3. Колебания круглой мембраны (454). Ъ'1. Применение метода конформного преобразования в гидродинамике 416 ОГЛАВЛЕНИЕ Задачи к главе Ч 460 Приложения к главе Ч 461 1. Приведение уравнений теории упругости к уравнениям колебаний 461 П. Уравнения электромагнитного поля ................. 464 1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия (464).