Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения

У Д К 633.6.011 + 636.6.011 Черный Г.Г. Газовая динамика. Ш. Установившиеся движения.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1884. — 160 с, РЕЦЕНЗЕНТЫ: доктор физ;матем. наук, профессор А.Л.ГОНОР, доктор физ.-матем. наук В.В.ГОГОСОВ 077 (02)-84-заказная © Издательство Московского университета, 1884 г.

Третья часть курса основ газовой динамики, читаемого автором в Московском государственном университете. Весь курс состоит из трех частей: ч. 1 - "Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики", ч. П - "Одномерные неустановнвшиеся движения газа и ч. Ш вЂ” "Установившиеся движения газа".

Для студентов механико-математических факультетов, знакомых с основами механики жидкостей и газов в объеме курса механики сплошной среды. СОЛЕРЖАН ИЕ 6 1, Установившиеся движения газа. Основные уравнения н их интегралы, Двумерные движения....,,.....,, . 8 6 2. Граничные (краевые) условия !2 6 3. Плоские и осесимметричные потенциальные движения. Уравнение Чаплыгина ., 17 6 4. Некоторые точные решения в переменных годографа, 21 6 8. Метод Чаплыгина решения задач о газовых струях ..

28 6 8. Приближенный метод Чаплыгина и его обобшення . ° .32 6 7. Сверхзвуховые течения. Метод характеристик.....41 6 8. Задача Коши. Задачи с условиями на характеристиках.43: 6 3. Иззнтропические течения. Характеристики в плоскости годографа .. 44 610. Простые волны (течення Прандтля-Майера)...... 48 611.'.Обтекание искривленной стенки.

Истечение газа в пространство с пониженным давлением. Течение в канале..... 47 612. Обтекание вогнутого контура. Образование разрывов . 81 613.. Графическое представление соотношений на скачке: ударная поляра, сердпевнднан кривая .,82 614. Течение внутри угла. Сверхзвуковое обтекание клина и дшофиля, Истечение газа в пространство с повышенным давлением . .,38 6 15. Пересечение скачков уплотнения.

Взаимодействие скачков с твердой и свободной границами и с тенгенцналь- 6 16. Осеснмметрнчные простые волны. Сверхзвуковое обтекание круглого конуса 58 6 17. Общяя постановка задвч об сбтекении тел ндеаль ным газом 75 6 18. Метод малых возмущений 6 19. Лннейная теория плосхнх течений. Обтекание про- филя. Законы подобия 91 6 20, Линейная теория обтекания тел вращения. Захоны подобия 1!0 6 21, Лннейнея теория обтеквния крьша конечного раз- маха ..

. 118 6 22. Околозвуковые течения. Общие свойства. Законы подобия прн обтекании тел. Течения в соплах.....,... 127 6 23. Гиперзвуковые течения. Общие свойства. Обтекание тонких тел. Законы подобия. Формулы Ньютона н Буземана .. 140 159 Литература 6 1. Установившиеся движения газа.

Основные уравнения и их интегралы. Двумерные движения Обширный и важный для многих приложений класс движений газа представдяют установившиеся движения. Йвижение называется установившимся (ипи стапионарным), если в точках занятой газом области его параметры не изменяются во времени, так что (1.1) и, следовательно, Р, )О и ~0 явпяются функпиями одних тоньке про~ странственных координат.

При достаточно длительном сохранении неизменными всех условий, которые определяют движение газа, можно ожидать, что и движение не будет меняться во времени, т.е. будет установившимся. Так, если какое-либо тело неизменяемой формы движется достаточно долго поступательно с постоянной скоростью в безграничном объеме пер. воначапьно покоящегося однородного газа, то в системе координат, связанной с телом, движение во многих случаях будет установившимся. При истечении газа из сосуда больших размеров через малое отверстие в беспредельное пространство с газом более нкзкого давлении движение можно считать установившимся, если сосуд настолько велик (или отверстие настолько мало), что при достаточно длительном истеченяи газа изменением давления в сосуде на большом удалении от отверстия можно пренебречь.

Если изменение определяющих движение параметров со временем значительно, но происходит так медленно, что в каждый момент движение газа можно считать установившимся, соответствующим текущим значениям определяющих параметров, то движение называется квазиустановившнмся или квазнстапионарным. При описании квазнустановившихся движений в уравнениях, определяющих пространственное распределение параметров газа, по-прежнему следует считать выполненными усповия (1,1); Р )о и )и зависят в этом случае от времени, как от параметра,который входит в определяюшйе решение доподннтельные условия.

Уравнение количества двйжеиия и уравнение неразрывности, записанные в инвариантных векторных операпиях, имеют для установившихся движений тот же вид, что и в общем случае неустановившихся движе- (1.2) Однако, в отличие от общего случая, ддя установившихся движений оператор ' индивидуальной производной сводится в силу соотношений (1.1) к оператору конвехтнвной производной. В декартовых координатах х Гх,у, М), У(и, и, а~~ — =и — . и — ч-ит — ~У-уЫа) с~ 0' д д сЫ дх д~ дй У Пользуясь тожпеством ~й уиий3У ~касх' — + ( авт. Р» ьь) уравнение (1.2) при установившемся движении можно преобразовать к виду у~а,~ — +.Я® х 11;)= — р — ркал.К~Э У'~ (1,4) — .х— (уравнение в форме Лэмба-Громеки).

Здесь Ю вЂ” тот Р - вектор вих- Т ря скорости. Введем в области движения поле направлений сЫ~~~(х,сф,сЬ) посредством соотношений — — — — — - ~е'Ю (.е сКх а~ ~г~~,у,к) И~л:,у„М) гх1(х,у, а) Линии в пространстве, представляющие интегральные коивые этой системы уравнений, называются линиями тока установившегося движения с полем вектора скорости 9~х,у М). Линии тока будем в дальнейшем обозначать символом В уравнениях (1.5) ФЯ вЂ” произвольно вьюираемая функция пара- метра х,". В частности, если положить 'РЙ) = к и трактовать аж%" как время, то система (1.5) совпадет с системой, определяющей траек- тории частиц в пространстве.

Таким образом, в установившемся движе- нии траектории частиц газа и линии тока совпадают. Область установившегося движения газа заполнена неизменными во времени линиями тока, вдоль которых движется — "течет" - газ так, что его параметры в каждой точке тоже остаются неизменными. Эта наглядная картина установившихся движений делает для них особенно подходяшим термин "течения газа", часто употребляемый и для других движений, Умножив уравнение (1.4) скалярно на с~'а = йк~Д1~к~,получим,что вдоль линии тока (1.6) Соотношение (1,6) связывает изменения искомых величин в одном только направлении, определяемом формулами (1 5).

Это направление является, следовательно, характеристическим направлением для исходной системы уравйений. Обозначим зависимость между Я и )о на линии тока как )з = )Э(~з,а(-)1 тогда в области непрерывности движения дифференциальную связь (1.6) можно проинтегрировать и получить выражение Р а~ ,- )" — и — =Р. л 3 м;~)= (.) 1.7 ~Ъ где при выбранном фиксированном значении )О, константа в правой части может быть разной на разных линиях тока; Р Р (С).

Выражение (1.7) есть интеграл Бернулли, справедливый вдоль пиний тока при установившемся движении. Если движение баротропно, т.е.10=10~)0), и если величина Р~ одинакова на всех линиях тока в некоторой об 6 ласти движения, то интегреп Бернулли дает связь между давлением (ипи плотностью) и величиной скорости во всей этой области, Система уревнений (1.2) и (1.3) не замхнуте, При адиабатическом непрерывном течении она дополняется условием сохранения энтропии 3 чеотиц газа при их движении: сКЗ вЂ” -о.

Ый (1.8) ~/'Р где Я 4ч' — -есть полное теплосодержание единицы массы газа. в Я Таким образом, вдоль линий тока установившихся адиабатических течений геза сохраняются энтропия и полное теплосодержание гвзв. Используя равенство (1.10), урввнению количества движении (1.4) можно прндеть еще вид 8~'ы«и)= Т~ ~я-~ я- (в такой форме уравнением движения первыми пользоввлись А.А.Фридман, ~.

гроссо). Уравнение движения в форме (1.!3) укезывает явно на связь завихренности течения с градиентами энтропии и полного теплосодержвния в потоке, Если энтропия и полное теплосодержание газа одинаковы на всех линиях тока (в более сбшем случае — если движение бвротропно н константе Р~ одинвкова на всех линиях тока), то движение - безвихревое (исключение составляют так называемые винтовые движения, у которых вектор скорости и вектор вихря в квждой точке коллинеарньд этот специальный кпасс движений изучап И.С.Громека). ~ с~Р Б уравнении нервзрывности (1.3) преобразуем величину у у'х дпя установившихся баротропных или адиабатических течений следуюшим об- разом Для установившихся течений нз этого условия следует, что вдоль линии тока, т.е. вдоль напрввления, определяемого вырежениями (1.5), сЫ О, так что справедлив интегреп .