А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978), страница 7

(7) 2) Ф о р м у л ы с у м м и р о в а н и я п о ч а с т я м. Умножая (7) на й! и суммируя получаемое соотношение по ! от т+1 до и — 1, находим, что сс- ! (ио); А=и„о„— и„+р !=ссс+ ! сс- ! гс- ! и„- р!Й!+ ~ и,+!о„- „,Ь,+ . с=т+1 ' !=сссс.! Используя (6), получим соотношение о ~!=о„+Ь +р„ =о +Ь„+р-, „„которое подставим в найденное выше равенство.

В результате будем иметь гс-с и„о„— и +р =,~ ~и„- !о!Ьг+ Д, 'и +р-„,,Ь; !=в+! ю=гп 28 :)имена индекса суммирования У = 1 в 1 во второй сумме правой исти дает следующую формулу суммирования по частям: и-! и и- 1о1й1= — ч~~ ~ир„-,п!+ ииои — и„+р„. (8) 1=22+ 1 1=т+ 1 Используя (6), легко получить из (8) еще одну формулу суммирования по частям и-1 и-! и„- р;й,= 1=т+ 1 —,~ ~ир„- Д+ ии ри — итпт.

(9) 1=2! Имеет место Лемм а 1. Пусть на произвольной неравномерной сетке ь2 = =(х1, ! = О, 1, ..., 12', х,=О, хм=1» задана сеточная функция у1, обр щающаяся в нуль при ! = О, ! = А'. Для етой функции имеет место равенство ~Р у уй — ~~~ (у )2ь Утверждение леммы 1 очевидным образом следует из тождества (10). Следствие. Если и — равномерная сетка, у!=ум=О и Ф-1 н у1 ~ О, то ~ у;„;у;й = — ~.", у„'- 1й < О. 1=1 1=1 На этом рассмотрение разностных формул мы заканчиваем. Некоторые другие формулы будут рассмотрены в гл. Ч. Полученные тождества используются не только для преобразования разностных выражений.

Они часто применяются, например, при вычислении различного вида конечных сумм и рядов. и-1 Приведем пример. Требуется вычислить сумму Е„ = ~~.", !а1, 1=1 а~1. Введем следующие сеточные функции, заданные на равномерной сетке !о=(х1=1, 1=0, 1, ..., 12', Ь=-1»: и, = 1, и, = (а' — аи)/(а — 1). (11) Из формулы (8) следует, что функция и; должна быть определена для т+1(1<п, а функция о; — для т(1<п.

Пусть теперь у! — сеточная функция, заданная для т(! (и. Тогда функция и;=у„- ! определена для т+1(1(п. Подставляя и, в (8), получим следующее тождество: и-! и у„— „р1Й,= — Х у-, р;,,й;+у„- о„— у„,то„. (10) 1=т+1 1=т+1 На указанной сетке формула суммирования по частям (8) для любых сеточных функций имеет вид (т = 0) и-! и ~~'„, и„р,= — ~~'.~ ир„-,+и„о„— и,о,.

Г=! 1=1 Учитывая, что для функций (1!) верны соотношения о,=и,=О „-,.= 1, и„;=-а', отсюда получим л-! а С~ ., Ч;~ а' — а" а" (п(а — !) — а)+а !=! +! х4 а — ! (а — !)' 1=1 Искомая сумма найдена. 3. Сеточные и разностные уравнения. Пусть у!=у(!) сеточ- ная функция дискретного аргумента !. Значения сеточной функ- ции у(!) в свою очередь образуют дискретное множество.

На этом множестве можно определять сеточную функцию, прирав- нивая которую нулю получаем уравнение относительно сеточной функции у(!) — сеточное уравнение. Специальным случаем сеточ- ного уравнения является разностное уравнение. Именно разност- пые уравнения будут основным объектом исследования в нашей книге.

Сеточные уравнения получаются при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений. Приведем сначала примеры разностных аппроксимаций обык- новенных дифференциальных уравнений. !(и Так, дифференциальные уравнения первого порядка — =.((х), йх х > 0 мы заменяем разностным уравнением первого порядка — "' =((х!), х!=й, ! =0,1,... или у!+,— — у,+й((х!), где й— шаг сетки !а =(х!=!й, !=О, 1, ...). Искомой функцией является сеточная функция у;=-у(!). При разностной аппроксимации уравнения второго порядка а!и Й:~ —,=1(х) мы получаем разностное уравнение второго порядка у!,— 2у,+у!,=~р!, р< — — й'~;, (!=((х!), х!=й.

Если аппрокси- мировать на трехт!)чечном шаблоне (х; „х,, х!,) уравнение общего вида (йи')'+ ги' — д и = ! (х), то получим разностное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами вида а у;,— с!у!+Ь у!з,= — !р!, ! =О, 1, ..., где а! со Ьн !р; — задан- ные сеточные фуйкции, а у,— искомая сеточная функция. Аппроксимация на сетке уравнения четвертого порядка (йи")"=)(х) приводит к разностному уравнению четвертого по- рядка; оно имеет вид а!!у!-, + а)" у;- ! + с!у!+ Ь',"у!+, + Ь!ау„, = !р!, Для разностной аппроксимации производных и', и", и"' можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов.

Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка. ЗО Линейное уравнение относительно сеточной функции у(с) (функции целочисленного аргумента с) а,(с) у(с)+а, (с)у(!+ 1)+... +а,„(с) у(с+ т) =1(с), (12) где а,(с)~0 и а„(с)~0, а 1" (с) — заданная сеточная функция, называется разностным уравнением т-го порядка. Если (12) не содержит у(с), но содержит у(с+1), то замена независимого переменного с+1 на с' приводит это уравнение к уравнению порядка т — 1. В этом состоит одно из отличий сеточных уравнений от дифференциальных, где замена независимого переменного порядка уравнения не меняет.

Пусть с (с, у(с), у(с+1), ..., У(с+т)) — нелинейная сеточная функция. Тогда г (с, у(с), у(:+1), ..., У(с+т)) =-0 является нелинейным разностным уравнением т-го порядка, если г" явно зависит от у (с) и у (с + т). Для удобства сравнения с дифференциальными уравнениями введем разности (праеые) для сеточных функ((ай: Лус =ус»,— у,, Ь»у(=Ь(Аус), ..., А»"'ус=А(А»ус), й=-!, 2, ...

Тогда (12) можно записать в виде а,(с)у(с)+и,(с) Ьдс+... +а (с) А ус=~о (12') где а (с) =а„(с)~0 и, кроме того, коэффициента, при у, также отличен от нуля. Разностное уравнение (12') является формальным аналогом дифференциального уравнения т-го порядка: сСи (сш — ! и У" и а,и+а,— + ... +сс„„»,, + а„— „,„=~(х), где а чьО, а»=а»(х), А=О, 1, ..., т. Пусть дана сетка ос= =(хс=сй, с =О, 1, ...). Если обозначить Уь«! — У! (Й! У»,с — а У~», (У~с,с ..

У У ...,с » раз " так что у("с=(у(» ")„, й) 1, у„"'!=у(с), то у(с+А) выразится через у(с), у,'", ..., у',!'-", например, у(с+3)=у(с)+3йу„,.-)- +зй у„„с+А д'„„„с ' Тогда уравнение (12) запишется в виде а,у (с) + а, (с) у„ (с) + ... + а„ ,у', !' (с) + а„у„""'(с) = рс, где а =а„~О и а,чьО. Здесь аналогия с дифференциальным уравнением т-го порядка очевидна. Аналогично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции ус„;, = у(с„ с,) двух дискретных аргументов и вообще любого числа аргументов. Например, пятиточечная разностная схема «крест» для уравнения Пуассона Ьи = 31 дои дои = —., + —,= — Г(х„х,) насеткеа=(хо=(1,Ь„)оЬо), 1„1о=0,1,...) х) х, имеет вид И1~ — 1 1а) — 2У (Ь, )о)+у(1,-1-1, 1о) а' + о и (Ь, 1о — 1) — 2у (1~, 1о)+у (1о 1~+1) + — А,ь и представляет собой разностное уравнение второго порядка по каждому из дискретных аргументов 1, и 1,.

Сеточное уравнение оби(его вида получается при аппроксима- 1 цпи интегрального уравнения и (х) = ) К(х, а) и (а) й+1(х), о 0-' х(1, на сетке со=(ха= 1Ь, 1=0, 1, ..., Ж, ЬУ= Ц. Заме- ним интеграл суммой 1 Ю ') К (х, а) и (з) пз Ь ~ отК (х, 1Ь) и ()Ь), а 1=о где сор — коэффициент квадратурной формулы, и вместо интегрального уравнения напишем сеточное уравнение уо = ~~'., со,К (1Ь, )Ь) у + )1, 1 = О, 1, ..., Л), 1=о где суммирование производится по всем узлам сетки в, а неизвестной является сеточная функция уг Сеточное уравнение можно записать в виде ,'О,с,)Ур=~п 1=0, 1, ..., У.

(13) Оно содержит все значения у„у„..., у,о сеточной функции. Его можно трактовать как разностное уравнение порядка У, )гавного числу узлов сетки минус единица. Разностное уравнение (12) и-го порядка является специальным видом сеточного уравнения, когда матрица (с1)) имеет отличные от нуля элементы лишь на т диагоналях, параллельных главной ' диагонали. В общем случае под 1 можно понимать не только индекс 1 =О, 1, ..., но и мультииндекс, т. е.

вектор о = (о„ 1„ ..., 1р) о целочисленными компонентами 1„ = О, 1, 2, ..., а= 1, 2, ..., р, причем 1 б в, где оо †сет. Линейное сеточное уравнение имеет вид 'Я с,~ур — — 1'1, 1Еа, (14) /оа где суммирование проводится по всем узлам сетки оэ, )1 — заданная, у,— искомая сеточные функции. 32 Решение у(1+т) разностного уравнения т-го порядка определяется полностью значениями у(1), заданными в т произвольных, но расположенных подряд точках 1„ 1, + 1, ..., 1, +т — 1.

В самом деле, так как а,„(1)ФО, то из (12) находим у(1+т)= =Ь„,(1)у(1+т — 1)+... +Ь,(1)у(1)+~р(1). Полагая здесь последовательно 1=1„1, +1, ..., найдем значения у(1) при 1) 1о. Аналогично, выражая из (12) у(1) через у(1+1), ..., У(1+т) и полагая последовательно 1=- с,— 1, 1,— 2, ..., найдем у(1) для 1(1,— 1. Если в уравнении (12) требуется определить у(1) при 1) О, то достаточно задать значение в т узлах (начальные условия) у(0) =у„у(1) =-у„..., у(т — 1) =у Присоединяя эти условия к уравнению (12), получаем задачу Коши или задачу с начальными данными для разностного уравнения т-го порядка. Для уравнений первого порядка (т=1), как мы видели, достаточно задать одно начальное условие.

Нелинейные разностные уравнения получаются при решении нелинейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение — =1(х, и), х > О, и(0)=р; (задача Коши). Заменяя его схемой Эйлера (явной схемой), получим разностное уравнение первого порядка у;~,=у,+Й1(х;, у;), 1)0 Уо=Рг. Если производную аи(дх при х=х;= 1Й заменить левым разностным отношением, то получим нелинейное относительно уг разностное уравнение первого порядка у, =у;,+Й~(хп у;), 1> О, у,=р,. Для определения ус надо решить нелинейное уравнение Ч' (Уд = й Й1 (хп У ) = Ус-м Рассмотрим теперь пример разностного уравнения второго порядка.