А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978)

А. А. САМАРСКИЙ, Е. С. НИКОЛАЕВ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ Допущено Министерством вмсшеео и среднгго специального образования СССР в кпчестве учгбного пособия для студентов вдвое, обучающихся по специампости вприкладная мапгемотикае МОСКВА «НАУКАя ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1978 017 УЙК 518.61 20204 1до 053 102)-7б © Главная редакция физико-математической лнтературм ивдательства «Наткав, 1978 Методы решения сеточных уравнений.

А. А. С а ма р с к и й, Е. С. Никоо л а с в. Главная редакция физико. математической литературы изд-ва «Наука», М., 1070. Книга посвящена методам решения алгебраических систем высокого порядка, возникающих при применении метода сеток к задачам математической физики. Наряду с итерационными методами, которые получили наиболее ши роков распространение в вычислительной практике при решении указанных задач, излагаются и прямые методы. Книга рассчитана иа студентов и аспирантов факультетов прикладной математики, з также на инженеров и специалистов, работающих в области вычислительной математики. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение Глава 1.

Прямые методы решения разиостных уравнений .. 4 1. Сеточные уравнения. Основные понятия 1, Сетки н сеточные функции (24). 2. Разностные производные и некоторые разиостные тождества (26), 3. Сеточные и ревностные уравнения (30). 4. Задача Коше и краевме задачи для разностных уравнений (83). $2.

Общая теория линейных разностных уравнений, . 1. СвоАства решений однородного уравнена» (37), 2. Теоремы о решениях линейного урааяеиня (40). 3. Метод вариации постолнных (41). 4. Примеры (45), 4 3. Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами . !. Характеристическое уравнение. Случай простых корней (48). 2. Случай кратных корней (49). 3. Примеры (52). 4 4. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ..

1. Общее решение однородного уравнении (54). 2. Полиномы Чебышева (57). 3. Общее решение неоднородного уравнения (59). 4 5. Разнастные задачи на собственные значения, !. Первая ираевая задача на собственныв значения (63). 2. Вторая краевая задача (65). 3. Смешанная краевая задача (66). 4. Периодическая краевая задача (68). Г л а в а П. Метод прогонки 6 1. Метод прогонки для трехточечных уравнений 1. Алгоритм метода (73). 2.

Метод встречных проговак (76). 3. Обоснование метода прогонки (78). 4. Примеры применения метода прогонки (80). 4 2. Варианты метода прогонки 1. ПотоковыА вариант метода прогонки (84). 2. Метод циклической проюнки (86). 3. Метод прогонки для сложаых систем [90).

4. Метод иемонотонной прогонки (93). й 3. Метод прогонхи для пятигочечных уравнений . ! .Алгоритм монотонной прогонки (97), 2. Обоснование метода (1001. 3. Вариант немовотонной прогонки (101). 4 4. Метод матричной прогонки 1. Системы векторных уравнений (103). 2. Прогонка для трехточечных векторных уравнений (!06). 3. Прогонка для двухточечных векторных уравнений (109). 4. Ортвгональна» проюнка для двухточечных векторных уравнений (112), 5. Прогонка для трехточечных уравнений с постоянными козф$нциентамн (117). Глава П1. Метод полной редуицяя. 4 ! ..Краевые задачи для трехточечных векторных уравнений ..

1. Постановка краевых задач (121). 2. Первая краевая задача (123). 3. Другие нраевые задачи для разаостных уравнений (125). 4. Разнастнвя задача Дирихле повышенного порядка точности (128). 6 2. Меуод полной редукции для первой краевой задачи .. 1, Процесс нечетно-четного исилючения (130). 2. Преобразование правой части и обращеняе матриц (133). 3. Алгоритм метода (136). 4. Второй алгоритм мвюдв (!39). 8 11 24 24 37 54 73 73 97 103 121 121 130 144 9 3. Примеры применения метода 1.

Равностнаи задача Дирихле для уравнении Пуассона в прямоугольнике (144), 2. Ревностная задача Дирихле цовышевного порядка точности (!46). 9 4. Метод полной редукции для других краевых задач 1. Вторая краевая задача (149). 2. Периодическая задача (!54). 3. Третья ираевая аадачв (167). 149 164 164 185 198 Г л а на Ч. Математичесний аппарат теории итерационных методов й 1.

Некоторые сведения из функционального анализа . 1. Линейные пространства (212). 2. Операторы в линейных нормированных пространствах (2!5). 3. Операторы в гильбертовом пространстве (2!8). 4. Функции от ограннченнога оператора (223). 5. Операторы в конечномерном пространстве (224). 6. Разрешимость операторных уравнений (227). 4 2. Разностные схемы как операторные уравнения 1. Примеры пространств сеточных функций (230). 2. Некоторые раэностные тождества (233). 3. Границы простейших раэностных операторов (235). 4.

Оценки снизу для некоторых раэиостных операторов (238). 5. Оценки сверху для раэностных операторов (246). 6. Разиостные схемы кап операториме уравнения в абстрактных пространствах (247). 7. Разнастные скемы для эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами (251). 8. Уравнения с переменными коэффициентами н со смешанными производнмми (254). 9 3.

Основные понятия теории итерационных методов 1. Метод установления (258). 2. Итерационные схемы (259). 3. Сходнмость и число итерапий (261). 4. Классификация итерационных методов (263). 212 212 230 258 Г л а в а Ч1. Двухслойные нтерационные методы... 9 1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров 1. Исходное семейство итерационных схем (266). 2.

Задача для погрешности (267). 3. Самосопряхгенный случай (268). 6 2. Чебышевский двухслойный метод 1. Построение набора итерационных параметров (269). 2. О иеулучшаемости априорной оценки (271). 3. Примеры выбора оператора О (272). 4. О вычислительной устойчивости метода (275). 5. Построение оптимальной последовательности итерационных параметров (280). 4 3. Метод простой итерации 1. Выбор итерационного параметра (284). 2. Оценка нормы оператора пере.

хода (285). 9 4. Несамосопряженный случай. Метод простой итерации . 1. Постановка задачи (287). 2. Минимизация нормы оператора перехода (288). 8. Манимизвци» кормы разрешающего оператора (293). 4. Метод симметриэации уравнения (297). 9 5. Примеры применения итерационных методов . 1. Разностная задача Дирихле для уравнении Пуассона в прямоугольнике (298). 2. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области (301). 3. Разиостиая задача Дирихле для эллиптического уравнения с иерем яяымп коэбхрициептамя (307). 4.

Развостная задача дирпхлс для эллвптичегь ~ у!чюягнпя со смешанной производной (3!2). 266 266 284 298 Глава 1Ч. Метод разделения переменных..... 4 1. Алгоритм дискретного преобразования Фурье 1. Постановка задачи (164). 2. Разложение по синусам и сдвинутым синусам (168). 3. Разложение по косинусам (175). 4. Преобразование действительной периодической сеточной функции (178). 5. Преобразование комплексной периодической сеточной функции (183). 9 2. Решение разностных задач методом Фурье .

1. Разностные задачи на собственные значения для оператора Лапласа в прямо. угольнине (185). 2. Уравнение Пуассона в прямоугольнике. Разложение в двой. ной ряд (!90). 3. Разложение в однократный ряд (194). 9 3. Метод неполной редукции !. Комбинация методов Фурье и редукции (198). 2. Решение краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике (205), 3 Разностиая задача Дирихле завышенного порядка точности в прямоугольнине (208). Глава ЧП1. Итерационные методм вариациониого типа ..

6 1. Двухслойные градиентные методы 1. Постановка задачи о вмборе итерационных параметров (331). 2. Формула для итерадионных параметров (333). 3. Опенка скорости сходимости (334). 4. Ие. улучшаемость оценки в самосопряженном случае (336). 5. Асимптотическое свойство градиентных методов в самосопряженном случае (338). 6 2. Примеры двухслойных градиентных методов ..

1. Метод скорейшего спуска (340). 2. Метод иинимальных невязок (341). 3. Метод минимальных поправок (343). 4, Метод минимальных погрешностей (344). 5. Пример применения двухслойных методов (344). 4 3. Трехслойные методы сопряженных направлений .. !. Постановка задачи о выборе итерационных параметров. Оценка скорости сходи мости (347). 2. Формулы для итерационных параметров. трехслойная итера ционная схема (349). 3. Варианты расчетных формул (354). 6 4.

Примеры трехслайных методов 1. Частные случаи методов сопряженных направлений (355). 2. Локально оптимальные трехслойные методы (356). 6 5. Ускорение сходимости двухслойных методов в самосопряжениом случае 1. Алгоритм процесса ускорения (360). 2. Оценка эффективности (361). 3. Прн мер (363). 331 331 340 347 360 Глава 1Х. Треугольные итерационные методы .. 4 1. Метод Зейделя . !. Итерационная схема метода (366). 2. Примера применения метода (369). 3.

До. статочные условия сходимости (372). 5 2. Метод верхней релаксации 1. Итерзциояная схема. Достаточные условия сходимости (375). 2. Постановка задачи о выборе итерационного параметра (376). 3, Оценка спентрального радиуса (379). 4. Раэностяал задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнмке (380). б. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами (385). 4 3.

Треугольные методы 1, Итерационная схема (387). 2. Оценка снорости сходимости (389). 3. Выбор иге. рационного параметра (390) 4. Оценка скорости сходимссти методов Зейделя и релаксации (391). 366 366 Г л а в а Х. Попеременно-треугольный метод .. $ 1. Общая теория метода . 1 Итерационная схема (395). 2. Выбор итерациоцных параметров (397). 3. Метод нахождения исходных величин 6 и Ь (400). 4. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике (402). 6 2.