А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978), страница 9

Поэтому все с„с„..., с должны равняться нулю. Мы пришли к противоречию. Лемма доказана. 39 Так как определитель этой системы Аа(о„...,о„), по предполомеению, равен нулю, то существует отличное от нуля решение этой системы с„с„..., с„. Следовательно, для найденных с„с„... ..., с„имеют место равенства (4) при Е =-Е„Е,+1, ..., Е,+т — 1.

Покажем теперь, что (4) будет иметь место и для 1 =1,+т. Для этого, взяв уравнение (1) для 1 = 1, 2, ..., т 2. Теоремы о решениях линейного уравнении. Сначала докажем теорему об общем решении однородного линейного уравнения (1). Теорема 2. Если о,(1), о,(1), ..., о„Я вЂ” линейно независимые решения уравнения (1), то общее решение этого уравнения имеет вид у(1) = ср, (1)+с,о, (!)+... +с о„(1), (6) где с„с„..., с — произвольные постоянные.

Действительно, в силу теоремы 1 функция у(1), определенная формулой (6), есть решение уравнения (1). Покажем теперь, что все решения уравнения (1) содержатся в совокупности функций у(!). Действительно, пусть и(!) — произвольное решение уравнения (1). Оно вполне определяется задан ем начальных значений в т точках: и(1,), и(1,+1), ..., и(1,+т — 1). Выберем из совокупности функций вида (6) такую, которая имеет те же начальные значения.

Для этого достаточно найти такие постоянные с„с„..., с, чтобы выполнялись т равенств сгог ($0) + С202 (10) + ' ' ' + с,о,(1,+1)+с,о,(1,+1)+... + с о„(1,) =и(1,), с о„(1, + 1) = и (1, + 1), с,о,(1,+т — 1)+с,о,(1,+т — 1)+... +с„о (1,+т — 1) = = и (1, + т — 1). Так как о, (1), о, (1), ..., о (1) — линейно независимые решения (1), то в силу леммы 3 определитель этой системы Л, (о„..., о ) отличен от нуля. Решив эту систему относительно с„с„..., с, получим функцию у(1), имеющую те же начальные значения, что и и(1). Но так как начальные значения определяют однозначно решение уравнения (1), то у(1) =и(1). Теорема доказана. Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения а„(1)у(1+т)+...

+а,(1)у(1)=Г'(1). (7) где у(1) — какое-то решение уравнения (7), а у(1) есть общее решение однородного уравнения (1). Пусть а (1)у(1+т)+... +а,(1) у(1) =1(1). (8) 40 Имеет место Теорема 3. Общее решение уравнения (7) представляется в виде суммы частного его решения и общгго решения линейного однородного уравнения (1). Действительно, покажем, что любое решение уравнения (7) может быть представлено в виде у (1) = у (1) + у (!).

(8) ! ! ьа тавляя (В) в (7) и учитывая (9), будем иметь для у(Е) ураны нис а„(Е)у(е+т)+... +а,у(Е) =О. Следовательно, у(Е) есть г шее решение однородного уравнения (1). Теорема доказана. Следствие 1. Из теорем 2 и д вытекает, что оби(ее репи'ние неоднородного уравнения (7) имеет вид у(Е) =у(Е)+ср, (Е)+... +с о„(Е), (10) где у(Е) — частное решение уравнения (7), а о, (Е), о, (Е),..., о„(Е)— линейно независимые решения однородного уравнения (! ), с„..., с„— произвольные постоянные. Следствие 2. Используя лемму 3, следствию 1 можно придать иную формулировку: решение уравнения (7) имеет вид (! 0), где частные решения о, (Е), ..., о„(Е) однородного уравнения таковы, что Ле(о„..., о„) ФО хотя бы для одного значения Е.

Следствие 3. Если правая часть Е(Е) уравнения (7) есть сумма двух функций Е'(Е)=~и'(Е)+Еп'(Е), то частное решение уравнения (7) можно представить в виде у(Е)=уп'(Е)-1-уп'(Е), где у'"'(Е) есть частное решение уравнения (7) с правой частью ~<ь> (Е), а = 1, 2. 3. Метод вариации постоянных. Доказанные выше теоремы дают структуру общего решения линейного неоднородного разностного уравнения (7). Рассмотрим теперь следующие вопросы: 1) как построить линейно независимые решения однородного уравнения, 2) как найти частное решение неоднородного уравнения; 3) каким образом, используя общее решение неоднородного уравнения, найти единственное решение уравнения (7), удовлетворяющее дополнительным условиям.

Изучим сначала один возможный способ построения линейно независимых решений однородного уравнения. Так как частное решение линейного уравнения т-го порядка полностью определяется заданием начальных значений в т точках, например, Е=(„е,+1, ..., Е,+т — 1, то в силу леммы 3 искомые решения уравнения (!) можно построить следующим образом. Пусть А— невырожденная матрица |ам аы,: и,„, А= апг ап" ата Построим т решений уравнения (1) о,(Е), о,(Е), ..., о (Е), определяемых начальными значениями о,(Е,+Ег — 1)=аип Е, й=1, 2, ..., т. (11) Тогда Ле (о„...,о ) =де1 А я~О.

Следовательно, задача построения искомых функций о, (Е), ..., о (Е) решена. Рассмотрим теперь вопрос о выделении из семейства решений (10) единственного решения. Из (10) следует, что для этого нужно 41 задать ровно т условий на функцию у(!), из которых определятся постоянные с„с„..., с .

В случае задачи Коши, т. е. когда заданы начальные условия у(1,)=Ь„у(Е,+1)=Ь„..., у(1,+т — 1)=Ь„, определение постоянных с„с„..., с осуществляется просто. Из (10) имеем систему линейных алгебраических уравнений относительно с„с„... ..., с„: 01(Е0) сг+о~ (10) сд+... + ощ (10) с„= Ь,— у(!0), о,(1,+1)с,+о,(1,+1)с,+... +о (1,+1) с =Ь,— у((,+!), (!2) о100+т — 1)с1+паро+т — 1)са+ +~я(~а+т — 1)сщ= = ܄— у (Е, + т — 1).

Так как определитель этой системы Ль(о„..., о ) отличен от нуля, то эта система иМеет единственное решение с„с„..., с„, которое полностью определяет единственное решение неоднородного уравнения (7). В случае краевой задачи, когда т дополнительных условий для у(!) заданы не в подряд расположенных точках, мы снова придем к системе линейных алгебраических уравнений относительно с„ с„ ..., с . Но в этом случае решение такой системы будет существовать лишь при дополнительных предположениях относительно коэффициентов разностного уравнения.

Рассмотрим теперь вопрос о решении уравнений (12). Так как в силу (11) матрипей системы (12) является Аг, то, выбирая в качестве А единичную матрицу, получим решение системы (!2) в явном виде: с,=Ь,— у(1,+! — !), 1=1, 2, ..., т. Очевидно, что среди частных решений неоднородного уравнения (7) целесообразно выбрать такое, для которого у(1,) =у((,+!) =... ...=у(1,+т — 1) =О. Тогда будем иметь с,=Ь„(=1, 2, ..., т.

Такому выбору матрицы А соответствуют следующие начальные значения для о,(!), ..., о„(!): о~(!О+! — 1)=1 с~(!0+2 — !)=0 й=!,2, ...,т, 1~1, 1=1, 2, ...,т. Займемся теперь отысканием частных решений неоднородного уравнения, если известны т линейно независимых решений однородного уравнения. Изложим способ нахождения частного решения вариацией постоянных в общем решении однородного уравнения. Ранее было показано, что общее решение однородного уравнения (1) имеет вид у(!)=с,о,(!)+... +с о„(1), где о,((),...

..., о„(!) — линейно независимые решения уравнения (1), а с„с„..., с — произвольные постоянные. Будем теперь считать 42 ! „с„..., с„функциями ! и поставим задачу выбрать их так, ч!обы функция Р (!) = с, (Е) о, (!) + ... + с„ (Е) о„ (Е) (13) оказалась частным решением неоднородного уравнения (7). Заметим, что каждая функция с,(Е) определяется с точностью до постоянной, так как о,(Е) — решение однородного уравнения: а„(Е)о,(Е+и)+... +а,(!)о,(!) =О, 1=1, 2, ..., т. (14) Введем следующее обозначение: !Е„(!) = ~х~ ~[с,(г+Й) — с,(Е))о,(!+й), Ь=О, 1, ..., и, !=! Подставляя (13) в (7), выполняя тождественные преобразования в полученном выражении и учитывая (14), будем иметь 1(Е)= Х а~(Е)р(Е+й)= Ха~(Е) Хс (Е+й)о~(Е+й)= = ~ аа(Е)!Еа(Е)+ ~ а„(!) ~ с,(!) о!(Е+й) а=о аьо =,~~ а„(!) !Е„(Е)+ '~~'., с,(Е),~~ аа(Е) о,(!+А) = ~ а„(!) !Е„(Е) = ~~'., аа(!) !Е„(Е), аса ь=! так как !Е,(!) = О.

Полученное соотношение будет выполняться для всех !, если положить ЕЕа(Е)=0, й=1, 2, ..., и — 1, !Е (Е)=)(Е)Еа (!). (15) Итак, задача построения функций с,(!), с,(!), ..., с„(Е) сведена к определению их из условий (!5), которые должны выполняться тождественно по !. Преобразуем систему уравнений (15). Обозначим Ь, (!) = =со(г+1) — с,(!), 1=1, 2, ..., т. Из определения !Е„(Е) получим для й=1, 2, ..., и: е(а(Е) — !Е„Е(Е+1) =,~~ [с,(!+й) — с,(Е))о!(Е+Й)— !=! —,~ Я[с! (Е + Й) — с, (! + 1)1 о, (! + Ь) = Х Ь, (!) о! (Е + А). Подставляя сюда (15) и учитывая равенство !Е,(Е)=0, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно Ь,(!) !43 для фиксированного 1: Ь,(1)о,(1+1)+Ь,(1)о,(1+1)+...