А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978), страница 5

Если оператор В фиксирован, то основной задачей является отыскание (ть). При выборе параметров (ть) используется априорная информация об операторах схемы. Вид информации определяется свойствами операторов А, В и Р. Так, для чебышевской схемы при Р=АВ 'А, когда А и  — самосопряженные операторы, предполагается, что заданы постоянные у,, у, в (11). В общем случае, когда РВ 'А самосопряжен в Н, то вместо (11) достаточно потребовать, чтобы у,0(РВ 'А(у,,0, у, > О.

В несамосопряженном случае, когда А~А*, а В=-В" > О, используются либо два числа у„у„либо три числа у„у, (входящие в (19)) и у,— постоянная, входящая в оценку кососимметричной части оператора А. В ряде случаев нахождение постоянных у„у, и у, с достаточной точностью может оказаться сложной самостоятельной задачей, требующей для своего решения специальных алгоритмов. Если априорная информация может быть получена ценой небольших вычислительных затрат или требуются многовариантные расчеты для уравнения Ли=1 с разными правыми частями, то целесообразно найти однажды требуемые числа у„у„у, и затем воспользоваться чебышевским методом или ПТМ.

Если требуется решить лишь одну задачу Ли=1 или если задано хорошее начальное приближение, а вычисления постоянных у„у, являются трудоемкими,— следует воспользоваться итерационнймй методами вариационного типа. во Для итерационных методов вариационного типа при вычислении параметров (т„) не надо знать у„у,. Эти методы используют лишь информацию общего вида А = А' > О, (0В 'А)*= 0В 'А. (21) Для определения уь~г используется та же схема (9), меняется лишь формула для т,„.

Параметр тд~, находится из условия минимума в Но нормы погрешности г~~,=-уэ+,— и, т. е. минимума функционала ((у) =(О(у — и), у — и). Параметр тэ„вычисляется через у». Выбирая Р=А, получим метод скорейшего спуска, а при Э=А'А — метод минимальных невязок и т. д. Эти методы имеют ту же скорость сходимости, что и метод простой итерации (с точными постоянными у„, у,). Скорость сходимости итераций можно повысить, если отказаться от локальной (пошаговой) минимизации ) гэ~,) р и выбирать параметры тэ из УсловиЯ минимизации ноРмы погРешности ), 'г„'1 о сРазУ за и шагов, т.

е. при переходе от у„к у„. Такой путь приводит к двухпараметрическим (при каждом й) трехслойным итерационным схемам сопряженных направлений (сопряженных градиентов, невязок, поправок или погрешностей), которые обладают такой же скоростью сходимости, что и чебышевский метод с параметрами (т1), вычисленными по точным значениям у„у,. Если А — — А* > О, то можно построить процесс ускорения(=в 1,5 — 2 раза) сходимости двухслойных градиентных методов. В общей теории итерационных методов не требуется знания конкретной структуры операторов задачи — используется лишь минимум информации общего функционального характера относительно операторов, например, условия (11).

Выбор оператора В схемы (9) подчинен требованиям: 1) обеспечения наиболее быстрой сходимости метода (9), 2) экономичности обращения В. При построении В можно исходить из некоторого оператора В = Р* > О (регуляризатора), энергетически эквивалентного А=А" > О, В=В' >О: с,В < А < с,Р, с, > О, Т,В < В < у,В, у, > О. (22) Так что у, = с,у„у, = с,у,. Для различных А можно выбрать один и тот же регуляризатор Р. Наиболее распространен случай факторизованного оператора В, например, В=(Е+вР,)(Е+аЬ',), Р,+Р,=Р, (23) где В;=Р, > Π— для ПТМ, (24) Р~ = Р~ > О, К = И, > О, К,К, = Р.,й,— для МПН.

(25) 21 Чтобы применить теорию, надо найти 1, н т„; параметр оз>0 находится из условия !п1п(у!(!!)1у,(е!)). Если уравнение Яп!=Г может быть решено экснюмичпыл! прямым методом, то полагаем В=Я (напрнмср, н случае когда( Н) — разпостный оператор Лапласа, область — прямоуголшшк). Опсрачор В может не выписываться явно, а рсалнзовыв,!ться в результате итерационного решения уравнения !!!!а гь. гь Ар„— 1" (двухступенчатый метод). Э 4' Ф Для уравнений с псзнакоопределенными, вырожденными и комплекспымп оцсраторамп А можно рассматривать те же схемы(9). Однако, выбор оптимальных параметров усложняется, а скорость сходимости н!срацнй уменьшается.

Применение общей теории в этих особых случаях требует предварительной «обработкн» исходной задачи. Оказывается возможным построить модификации как чебышевского метода, так и методов вариационного типа. Если А †линейн вырожденный оператор, т. е. однородное уравнение Аи = 0 имеет нетривиальное решение, то задача (9) при В=В и любых т„всегда разрешима. Пусть Нкч — нулевое собственное подпространство оператора А, Но' — ортогональное дополнение Нка до Н. Любой вектор у Е Нкч удовлетворяет уравнению Ау=О. Если 1ЕНсо и у,ЕН"', то и все итерации уьЕН!о. Если выполнены условия у, (у, у) < (Ау, у) < у, (у, у), у Е Н'", 7, > О, то можно пользоваться явной схемой (9) с чебышевскнми параметрами (т1), найденными по у„у,. При этом у„сходится к нормальному решению, имеющему минимальную норму.

Если 1"=гм!+1!!! и 1м!~0, то под обобщенным нормальным решением уравнения Аи=-1 будем понимать решение уравнения Аи!!!=1!!!, и!!'~Н!!', имеющее минимальную норму. Справедлива оценка а )у„— и ">1(д„!у,— и"!), д„= д„, (1+(л — 1)) 1/ 2р"! ! — г' э т, !+Й" ' ' !+р ~' и — 1 если т,', т,", ..., т„', — чебышевские параметры, а т„* = — ~ т*;. Скоу=! рость сходимости понижается по сравнению со случаем невырожденного А с теми же у„у,. Наряду с указанным модифицированным чебышевским методом возможны также и методы вариационного типа.

Общая теория позволяет исследовать неявную схему простой итерации для случая, когда Н вЂ” комплексное гильбертово пространство, А =А+ г)Е, А — эрмитов оператор, д=д,+1д,— комплексное число, и выбрать оптимальное значение итерационного параметра. Переход к методу переменных направлений также не представляет труда. Результаты общей теории нетрудно использовать для решения разностных уравнений, аппроксимирующих краевые задачи для уравнений эллиптического типа.

При этом легко формулировать общие правила решения разностных задач. Пусть дано разностное уравнение Аи==1, где А:Н- Н вЂ” разностный оператор, определенный в пространстве Н сеточных функций, заданных на сетке в. Сначала изучаются сбщне свойства оператора А и устанавливается, например, его самосопряженность и положительность, А =-А'> О, затем строится оператор В=В'> О и вычисляются постоянные у„у, и, наконец, находятся п=л,(з) и параметры (тД.

Если речь идет о ПТЛ! с факторизованным оператором В = =(Ю+вй,) Ю '(Ю+гай,), то надо выбрать матрицу й) и постоянные 6, Л (см. гл. Х), зная 6 и Л, определим ы, у„у, и т. д. В книге приведено много примеров применения прямых и итерационных методов для решения конкретных разностных уравнений. В главе ХЧ, в частности, рассматриваются методы решения разностных эллиптических уравнений в криволинейных координатах: в цилиндрической (г, г) и в полярной (г, ~р) системах координат.

В гл. Х1Ч рассматриваются многомерные задачи, схемы для уравнений теории упругости и др. Важно отметить. что независимо ог метода, который будет применен для решения данной разностной краевой задачи, ее предварительная обработка проводится по одному и тому же рецепту: сначала формируется оператор А, затем он изучается как оператор в пространстве Н сеточных функций. После того как «сбор> информации о задаче закончен, принимается решение о выборе метода решения задачи с учетом всех обстоятельств, в том числе типа машины, наличия стандартных программ и др.

гллвл ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В главе изучаются общая теория линейных разиостных уравнений, а также прямые методы решения уравнений с постоянными коэффициентами, да|ощие решение в замквутом виде. В 11 приведены общие понятия о сеточных уравнениях. й 2 посвящен общей теории линейныхразностных уравнений ш.го порядка. В 4 3 рассмотрены методы решения уравнений с постоянными коэффициентами, а в 1 4 эти методы используются для решения уравнений второго порядка. Решению сеточных задач на собственныезначения для простейшего разностного оператора посвящен й 5.

В 1. Сеточные уравнения. Основные понятия 1. Сетки и сеточные функции. Значительное число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных (уравнениям математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа. Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удается получить лишь в частных случаях.

Поэтому эти задачи в основном решают приближенно. Одним нз наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближенного решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток. Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов (например, отрезок, прямоугольник и т.