А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978), страница 2

Разностные краевые задачи для эллиптических уравнений в прямоугольнике 1, Задача Дирихле для уравнения с переменнымя коэффицнептами (409). 2. Модифицированный попеременно.треугольный метод (411). 3. Сравнение вариантов метода (4!7). 4. третья краевая задача (4!8). 5. Ревностная задача дирихле для уравнения со смешаинымя пранзводнмми (421).

395 395 Глава ЧП. Трехслойиме итерацяоннме методы......,... 351 1. Оценка скорости сходимости 315 1. Исходное семейство ятерационных схем (315). 2. Оценка нормы погрешности (3! 6). й 2. Полуитерацнонный метод Чебышева.......,....... 3!8 1. Формулм для итерационных параметров (318). 2. Примеры выбора опера тора О (320). 3. Алгоритм метода (321). 4 3.

Стационарный трехслойный метод 321 !. Выбор итерационных нзраметраи (321). 2. Оценка скорости сходимостн (322). б 4. Устойчивость двухслойных и трехслойных методов по априорным данным 324 1. Постановка задачи (324). 2. Оценки скорости схадимости методов (326). 4 3. Попеременно. треугольный метод для эллиптических уравнений в произвольной области 1. Постановка ревностной задачи (423). 2. Построение попеременно-треугольного метода (425). 3. Задача Дирихле длн уравнения Пуассона в произвольной облэстн (429). 423 Г л а н а Х!. Метод переменных направлений, 6 !.

Метод переменных направлений в хоммутативном случае 1. Р)терэциоииея схеме метода (432). 2. Постановив задачи о выборе параметров (434). 3. Дробно-линейное преобразование (436). 4. Оптимальный набор параметрои (438). 5 2. Примеры применения метода 1. Рэзиостнан задача Дирнхле для уравнения Пуассона в прямоугольнике (440).

2. Третья кривизн задача дли эллиптического уравнения с разделяющимися перемсииымн (446). 3, Ревностная задача Дирихле повышенного порядка точно. сти (419). 6 3. Метод переменных направлений в общем случае . 1. Слу чаи нсперестановочных операторов (453). 2. Раэностная задача Дирихле для эллинги ~еского уравнения с переменными ков4х)ициентэми (455). 432 432 453 Г ла в а ХИ.

Методы решения уравнений с незнакоопределенными н вырожденными опервторамн............ 459 459 9 !. Уравнения с действительным незнакоопределенным оператором 1, Итерационная схема. Задача выбора итерационных параметров (459). 2 Преобразование оператора в самосапряженном случае (462).

3. Итерационный ме. год с чебышежкими параметрами (464). 4. Итерацианнме лгетоды варнационного типа (468). 6. Примеры (469). 6 2. Уравнения с комплексным оператором 1. Метод простой итерации (47!). 2. Метод переменных направленин (475). 9 3. Общие итерационные методы для уравнений с вырожденным оператором 1. Итерационные схемы в случае иевырожденного оператора В (478). 2. Итерационный метод минимальных невяэок (482). 3. Метод с чебышевскими парзметраии (485). 4 4.

Специальные методы 1, Разностная задача Неймана длв уравнени» Пуассона в прямоугольнике (4891, 2. Прямой метод для задачи Неймана (493). 3. Итерационные схемы с вырожденным оператором В (496). 47! 478 489 4 1. Итерационные методы. Общая теория 1. Метод простой итерации для уравнений с ыонотонвым оператором (500).

2. Иге. рационные методы для случая дифференцируемого оператора (503). 3. Метод Ньютона †Канторови (505). 4. Двухступенчатые итерационные методы (509). 5. Другие итерационные методы (512). й 2. Методы решения нелинейных разностных схем 1. Раэностная схема для одномерного эллиптического кваэилинейнага уравнения (514).

2. Метод простой итерации (522). 3. Итерационные методм для раэностных квавилннейнмх эллиптических уравнений в прямоугольнике (524). 4, Ите рационные методы длн слабонелниейных уравнений (529). 500 514 Гл а в а Х1Ч. Примеры решения сеточимх зллиптических уравнений . 532 4 1. Способы построении неявных итерационных схем 1. Принцип регуляризации в общей теории итерационных методов (532). 2. Итерацнонные схемы с факторизованнмм оператором (536). 3. Способ неявного абращеиия оператора В (двухступенчатый метод) (540).

9 2. Системы эллиптических уравнений 1,:ьдечн Днуихле для системы эллиптическкх уравнений в р-мерном параллеле. ци!кдо (54'). 2. Система уравнений теории упругости (517), 532 542 Г л а в а ХИ1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений 500 1' л и из ХЧ. Методы решемнн зллцптических уравнений в криволинейных ортогональных коорднматах .. ,' !. Постановка краевых задач длн дифференциальных уравнений . !4лтпнгтггчсскне уравнения з цилиндрической системе координат (556). 2.

Краеша задачи для уравнений в цилиндричесиой системе координат (553). й 2. Рещение разностных задач в цилиндрической системе координат 1, Ра паитпые схемы без смешанных производных в осесимметрическам случае (бг! ). 2. Прямые методы (566). 3. Метод переменных направлений (561). 4.

Ре. шпее уравнений, заданных на поверхности цилиндра (565). (! ен !гашение разностных задач в полярной системе координат . 1, Ревностные схемы для уравнений в круге и кольце (562). 2. Разрешимость разиостных краевых задач (571). 3. Принцип суперпозиция для задачи в круге (574). 4. 1(рямые метадм решении уравнений в круге и кольце (575). 5.

Метод пере. меииых направлений (577). б, Решение разностных задач в кольцевом секторе (586). 7. Общий случай переменных «озффициентов (582). 550 550 556 569 Литература . Предметный указатель До и о л н е н и е. Построение полпнома, наименее уклоняющегося от нуля 585 590 59! ПРЕДИСЛОВИЕ Численное решение дифференциальных уравнений математической физики методом конечных разностей проводится в два этапа; 1) разпостпая аппроксимация дифференциального уравнения на сетке — написание разностной схемы, 2) решение на ЭВМ разпостпых уравнений, представляющих собой системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка специального вида (плохая обусловленность, ленточная структура матрицы системы). Применение общих методов линейной алгебры для таких систем далеко не всегда целесообразно как из-за необходимости хранения большого объема информации, так и из-за большого объема вычислительной работы, требуемой этими методами.

Для решения разностных уравнений уже давно разрабатываются специальные методы, которые в той нли иной степени учитывают специфику задачи и позволяют найти решение с затратой меньшего числа действий по сравнению с общими методами линейной алгебры.

Данная книга является продолжением книги А. А. Самарского и В. Б. Андреева «Разностные методы решения эллиптических уравнений», в которой изучается круг вопросов, связанных с разностной аппроксимацией, построением разностных операторов и оценкой скорости сходимости разностных схем для типичных краевых задач эллиптического типа. Здесь мы рассматриваем только методы решения разностных уравнений. Книга фактически состоит из двух частей. Первая часть (гл. 1 — 1Ч) посвящена применению прямых методов решения разностных уравнений, вторая часть (гл.

Ч вЂ” ХЧ) — теории итерационных методов решения сеточных уравнений общего вида и их применению к разностным уравнениям. При использовании прямых методов существенную роль играет специальный вид разностных уравнений. Для решения одномерных трехточечных уравнений рассматриваются различные варианты метода прогонки (монотонная, немонотонная, циклическая, потоковая прогонка и др.).

В главах П1 и 1Ч излагаются современные экономичные пря. мые методы решения разностных уравнений Пуассона в прямоугольнике с краевыми условиями различного вида, Это — метод полной редукции и метод разделения переменных, использующий алгоритм быстрого преобразования Фурье, а также комбинированные методы. 8 При изучении итерационных методов используется трактовка итерационного метода как операторно-разностной схемы, развитая и книгах А.

А. Самарского «Введение в теорию разностных схем» (!971) и «Теория разностных схем» (1977). Эта концепция позволяет излагать теорию итерационных методов как раздел общей теории устойчивости операторно-разностных схем, не прибегая к предположениям о структуре матрицы системы (см. также Л. Л.

Самарский н А. В. Гулин «Устойчивость разностных схем» (1973)). Запись итерационных схем в канонической форме позволяет не только выделить операторы, ответственные за сходимость итераций, но и сравнить различные итерационные методы.

Основное внимание уделяется изучению скорости сходимости итераций и выбору оптимальных параметров, при которых скорость сходимостн максимальна. Наличие оценок скорости сходи- мости, а также исследование характера вычислительной устойчивости позволяют провести сравнение разных итерационных методов в конкретных ситуациях и сделать выбор. Хотя читатель, вероятно, знаком с основами теории разностных схем и элементами функционального анализа, однако в главе Ч приводятся используемые в книге сведения об основах математического аппарата теории итерационных схем и показано, как разностные аппроисимацни эллиптических уравнений сводятся к операторным уравнениям первого рода Аи=7 с операторами А в гильбертовом пространстве сеточных функций. В последующих главах исследуются двухслойная итерационная схема с чебышевским набором параметров, при котором имеет место вычислительная устойчивость метода; трехслойная схема; итерационные методы вариационного типа (методы скорейшего спуска, минимальных невязок, минимальных поправок, сопряженных градиентов и др.); итерационные методы для несамосопряженных уравнений и в случае незнакоопределенного н вырожденного оператора; методы переменных направлений; «треугольные» методы (с алгоритмом обращения треугольной матрицы при определении новой итерации) такие, как метод Зейделя, метод верхней релаксации и др.; итерационные методы решения нелинейных разностных уравнений, решение разностных краевых задач для эллиптических уравнений в криволинейных системах координат н др.