А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978), страница 8

Пусть требуется вычислить интегралы (' соо ст — сов сф ,1 сов $ — соз ~р о Прежде всего заметим, что 1,(~р)=0, 1,(~р) =и. Преобразуем выражение [соз (Й+1) ф — соз (Й+1) <р)+[сов (Й вЂ” 1) ф — сов (Й вЂ” 1) ~р]= = 2созЙфсозф — 2созй~рсоз~р = 2(созйф — созЙ~р)сову + +2(созф — созср) созЙф. Используя его, получаем 1„+, (~р) + 1ь, ((р) =2 соз <р1с (~р)+2 ~ соз Йф Ыф= 2 соз <р1 (~р), Й' 1. о Таким образом, вычисление интегралов 1 (ср) сводится к решению задачи Коши для разностного уравнения второго порядка 1ь+,(ф) — 2соз~р1ь(~р)+1с,(~р)=0, Й) 1, 1о(ср)=0, 1,(~р)=п.

(15) 34 Рассмотрим еще один пример. Требуется найти решение краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка — =Аи+1"(х), 0<х<1, (16) Ви=р, при х=О, Си= р, при х=1. Здесь и(х) =(и,(х), и,(х), ... ..., им (х)) — вектор-функция размерности М, А = А (х) — квадратная матрица размером М х М, В и С вЂ” прямоугольные матрицы размером М,хМ и М,хМ соответственно, М,+М,=М. Векторы ,1".(х), р„р, заданы и имеют размерности М, М, и М, соот. ветствейнд. Вводя на отрезке 0<х<1 равномерную сетку в=(х~ — — 1Ь, 1=0, 1, ..., У, Ь=1(У) и определяя на ней сеточную вектор- функцию 3~; = (у, (1), у, (1), ..., ри(1)), поставим в соответствие задаче (16) простейшую разностную схему У;+,— (Е+ЬАг) 1'~= Го 0<1<0 — 1, В)о = Рм С),т = 1ха где Р~ —— Ь|(х~). Это пример линейного векторного разностного уравнения первого порядка с М, условиями при 1= 0 и М, условиями при 1=У.

Таким образом, для системы разностных уравнений первого порядка мы имеем краевую задачу. Для уравнений второго порядка наиболее типичны краевые задачи. Рассмотрим, например, первую краевую задачу „—,— п(х) и= — 1(х), 0 <х< 1, и(0)=рм и(1)=р„д(х))0. (18) Выберем сетку й=(х,= (Ь, 1=0, 1, ..., У, Ь=1~У) и поставим задаче (18) в соответствие разностную краевую задачу т„~ — б;и = — ро О <1< У. Ы =Р„Ь =р., (10) где Аг — — о(х~), ~р,=~(х;) для гладких д(х), 1(х).

Эта задача яв. ляется частным случаем краевой задачи для разностного уравнения второго порядка — а,у,,+ср,— Ь;у„г=що 1<1<У вЂ” 1, р,=р„р„=р, (20) при а, = Ь,. = 1/Ь', с, = й,. + 21Ь~. Разностную задачу (20) можно записать в виде (21) где у=(у„у„..., у~,,) — неизвестный, у:= (~р,+ — „,р,, ~„... 1 1 ..., фм „грь,+ —,р,) — известный векторы размерности У вЂ” 1, 2' 35 А †квадратн (22) сг — Ьг — аа с, Π— ас о о о о о о трехдиагональная матрица вида о о.... о о — ь, о.... о о сс — Ьс.... О о О О сь-с — Ьь-з О О....— аь, сл-с о о.... о о — ь,, с,ч с Отсюда видно, что краевая задача для разностного уравнения второго порядка (20) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений специального вида. Если задача Коши для разностного уравнения второго порядка разрешима всегда, то первая краевая задача (20) разрешима для любой правой части лишь тогда, когда матрица А системы (21) не вырождена.

Краевые задачи для разностных уравнений т-го порядка приводят к системам линейных алгебраических уравнений с матрицей, имеющей не более т+1 ненулевых элементов в каждой строке. При аппроксимации уравнений в частных производных мы приходим также к системе разностных илн просто алгебраических уравнений со специальной матрицей. Так как число неизвестных в такой системе обычно равно числу узлов сетки, то на практике приходится встречаться с системами очень высокого порядка (десятки и даже сотни тысяч неизвестных). Другими особенностями таких систем являются разреженность матрицы и ленточная структура, т.

е. специальное расположение ненулевых элементов. Эти особенности, с одной стороны, облегчают решение указанных задач, а с другой стороны, требуют создания специальных методов решения, которые бы учитывали специфику задачи. Поэтому нет ничего удивительного в том, что классические методы линейной алгебры зачастую оказываются неэффективными при решении разностных уравнений, и несуществует универсального метода, позволяющего эффективно решать любое разностное уравнение. В настоящее время используются два типа методов решения систем линейных алгебраических уравнений: 1) прямые методы; 2) итерационные методы или методы последовательных приближений. Как правило, прямые методы ориентированы на решение довольно узкого класса сеточных уравнений, но они позволяют находить решения с очень малыми затратами вычислительной работы.

Итерационные методы позволяют решать более сложные уравнения и часто в качестве основного этапа алгоритма содержат прямые методы решения специальных разностных уравнений. Тот факт, что разностные уравнения являются плохо обусловленными, приводит к необходимости разработки быстросходящихся итерационных процессов и выделению области эффективности каждого метода.

36 В ряде случаев, например для линейного уравнения с пос1оянными коэффициентами относительно сеточной функции одного аргумента, решение может быть найдено в замкнутом виде. Такие методы решения сеточных уравнений будут рассмотрены и 2 3 данной главы. й 2. Общая теория линейных разностных уравнений 1. Свойства решений однородного уравнения. В данном параграфе будет рассмотрена общая теория линейных разностиых уравнений т-го порядка с переменными коэффициентами а„(1) у (1 + т) +... + а, (1) у (1) = ~;, где а (1) и а,(1) отличны от нуля для любого ю'.

Займемся сначала исследованием однородного уравнения а„Яу(1+т)+... + а,(1)у(1)=,'5.", а„(1)у(1+й)=0. (1) ь=о Будем считать, что коэффициенты аь(1), й = О, 1, ...,т, имеют для всех рассматриваемых значений 1 конечные значения. Каждое частное решение уравнения (!) определяется значениями функции у(1) в т произвольных, но расположенных подряд точках 1„1,+1, ..., 1,+т — 1. Теорема 1. Если о1(1), о,(1), ..., о Я вЂ” решения уравнения (1), то 4ункция у(1) =с1о,(1)+с,о,(1)+... +с о (1), (2) еде с„с„..., св — произвольные постоянные, есть также решение уравнения (1).

Действительно, в силу условия теоремы имеют место равенства ,Я аь(1)о,(1+я) =О, 1=1, 2, ..., р. (3) я=о Подставим (2) в (!): /И т Р ~ аь(1)у(1+1) = ~~.'~ аь(1),~ ~с,о,(1+й) я=ь я=о !=1 и поменяем порядок суммирования в правой части равенства. Используя (3), получим ~~.", а,(1)у(1+й) = ~~.", с,,'~ Еа,(1)о,(1+й)=0 ь=о !=и я=о и, следовательно, функция у(1), определяемая (2), также является решением уравнения (!). Теорема доказана.

йг Введем обозначение ае(о„..., ор) для определителя оЕ (Е) о,(Е+1). „тЕ (е+р — 1) оа (Е) оа (е+ !) ..:.оа (1+р — !) йЕ(ОЕ.Оа~" аир) = о (е) ор(Е+1) ..т, (Е+р — 1) Имеет место Лемма 2.Лустьо,(е),о,(е),...,о (Е) — решенияуравнения(1). Определитель Ле(о„..., о„) либо равен нулю тождественно по Е, либо отличен от нуля для всех допустимых значений е. Действительно, так как о,(Е), ..., о (Е) — решения уравнения (1), то справедливы следующие равенства: а, (Е) о, (е) + а, (Е) о, (Е + 1) + ... + а -, (е) о, (е + т — 1)= = — а„(Е) о, (е'+т), а, (Е) о, (е) + а, (Е) о, (е + 1) +...

+ а, (е) о, (е + т — 1) = = — а„(е) о, (Е+ т), а,(Е)от(е)+а,(е)о„(Е+1)+... +а,(Е)о„(Е+т — 1)= = — а (е)о„(е+т). Решая зту систему относительно а,(е) для фиксированного Е по правилу Крамера, получим ое(е+т) оа(е+1),.; оа(Е+т — 1) оа (Е+т) оа (!+1) .. оа (Е+т — 1) аа(е)Е11(о„...,'о )= — а (е) о,а (1+ т) о,а (1+ 1)... от (1+т — 1) После соответствующей перестановки столбцов определителя правой части полученного равенства будем иметь соотношение а, (Е) ааЕ(О„..., О ) = ( — 1) а„(Е) еаЕ+, (О„..., О„). ТаК КаК а, (Е) и а„(е) не равны нулю для допустимых значений е, то отсюда следует утверждение леммы. Введем теперь понятие линейно независимых решений уравнения (1).

Сеточные функции о,(е), о,(е), ..., о„(е) называются линейно независимыми решениями уравнения (1), если: 1) они принимают конечные значения и удовлетворяют уравнению (1); 2) соотношения сазе(Е)+соса(Е)+... +с о (Е)=0 (4) при любых постоянных с„с„..., с, одновременно не равных нулю, не выполняются хотя бы для одного е. Для линейно независимых решений справедлива Лемма 3. Если о,(е), о,(е), ..., о„(Е) — линейно независимые решения уравнения (1), то определитель еае(оо ..., о„) отличен от нуля для всех допустимьех значений Е.

Обратно, если для решений ое(е), ..., о„(е) уравнения (1) определитель еае(о„..., о„) отличен от нуля хотя бы для одного значения е, то о, (е),..., о„(е)— линейно независимые решения уравнения (1). 38 13 силу леммы 2 определитель А;(о„..., о ) либо равен нулю г окдественно, либо отличен от нуля для всех Е. Пусть о, (Е),... ..., о„(Е) — 'линейно независимые решения уравнения (1), и предположим, что А,(о„..., о„) =О.

Рассмотрим систему алгебраических уравнений с,и, (Е,) + с,о,, (Е,) + ... + с,о, (Е, + 1) + ср, (Е, + 1) + ... +. с о (Е,) = О. с„о (Е, + 1) = О. (5) с1о,(Е,+т — !)+ср,(Е,+т — 1)+... Рс„р,„(Е,+т — 1) =О. ~~'., а„(Е,) о,(Е,+ й) =О, множим его на с, и просуммируем равенства для Е = 1, 2,..., т. олучим с учетом равенств (5) ФП т-1 Пй О=а (Е,) ~ ср, (Е, + и)+ ~ аэ(Е,),~~ ср, (Е,+й) = с=ь э=о =а„(Е,) ~'., с,о,(Е,+и). Таким образом, доказана справедливость равенства (4) для Е = = Е„+и.

Идя таким же образом дальше, получим, что для найденных выше с„с„..., с„соотношение (4) выполняется для всех допустимых Е ) Е,. Аналогично доказывается справедливость (4) для Е(Е,. Следовательно, (4) с ненулевыми с„с„..., с выполняются для всех Е, что противоречит линейной независимости о, (Е), ..., о„(Е). Поэтому предположение, что определитель Ае(о„..., о„) тождественно по Е равен нулю, неверно. Докажем теперь вторую часть леммы 3. Пусть определитель Ь, (о„..., о ) для некоторого Е = Е, отличен от нуля.

Тогда предположим, что о, (Е), о, (Е), ..., о (Е) — система линейно зависимых решений уравнения (1). Зто означает, что найдутся такие постоянные с„с„..., с, одновременно не равные нулю, что соотношение (4) является тождеством по Е. Тогда запишем (4) для Е=-Е„ Е,+1, ..., Е, +и — 1 в виде системы (5), причем в силу предположения леммы определитель этой системы йа(о„..., о ) отличен от нуля.