А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978), страница 6

д.) заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решеткой. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными; при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений).

Такие системы часто называют разностными схемами. Остановимся более подробно на основных понятиях метода сеток. Рассмотрим сначала простейшие примеры сеток. 24 П р и м е р 1. Сетки в одномерной области. Пусть область изменения аргумента х есть отрезок 0(х(1. Разобьем этот отрезок на Ж равных частей длины Й = 11Л/ точками хе= Й, 1=0, 1, ..., У. Множество этих точек называется равномерной сеткой на отрезке 10, 1( и обозначается в = (х, = Й, 1= О, 1, ..., У, Й1т' =1), а число Й вЂ” расстояние между точками (узлами) сетки в — называется шагом сетки.

Для выделения части сетки в мы будем далее использовать следующие обозначения: в = (х; = Й, 1 = 1, 2, ..., У вЂ” 1, УЙ = 1), в+ = (х, = — й, 1= 1, 2, ..., 1У, )УЙ =1), в =-(х;=Й, 1=0, 1, ..., У вЂ” 1, УЙ=1), у = (х, = О, хн — — 1) . Отрезок 10, 11 можно разбить на Л1 частей, вводя произвольные точки 0 = х, < х, « ... х < х;~, < ... < хн, < х, = 1. Вэтом случае получим сетку в=(х;, 1=0, 1, ..., 1т',х,=О, х =1) с шагом Й;=х~ — х;, в узле х;, 1=1, 2, ..., У, который зависит от номера 1 узла хо т. е.

является сеточной функцией Й,. =Й (1). Если Й;оьЬ;+, хотя бы для одного номера 1, то сетка в называется неравномерной. Если Ь,=Й=11У, то получим построенную выше равномерную сетку. Для неравномерной сетки вводится средний шаг Ь,.=й(1) в узы х,, й, =0,5(Й,+Й,+,), 1( (1< У вЂ” 1, й„= 0,5Й„Ь„,=0,5Й . На бесконечной прямой — оо < х < оо можно рассматривать сетки 11 =(х;=а+ 1Й, 1=0, -ь1, -Ь2, ...) с началом в любой точке х=а и шагом Й, состоящую из бесконечного числа узлов. Пример 2. Сетка в двумерной области. Пусть область изменения аргументов х=(х„х,) есть прямоугольник 6=(0(х„< <1„, а =1, 2) с границей Г. На отрезках 0(х„(1„построим равномерные сетки в„с шагами Й: в, = (х, (1) = Й„1 = О, 1, ..., М, Й,М = 11), вл (хв (1) 1Й3 ! 0 1 У Й3У 1Я) Множество узлов хы —— (х,(1), х,(1)), имеющих координаты на плоскости х,(1) и х,(1), называется сеткой в прямоугольнике О и обозначается в=(хц — — (Й„1Й,), 1=0, 1, ..., М, 1=0, 1, ...

51, Й,М =1м Й,Й1'=1,). Сетка в, очевидно, состоит из точек пересечения прямых х,=х,(1) и х,=х,(1). Построенная сетка в равномерна по каждому из переменных х, и х,. Если хотя бы одна из сеток в„неравномерна, то сетка в называется неравномерной. Если Й, =Й„то сетка называется квадратной, иначе — прямоугольной. Точки в, принадлежащие Г, называются граничными и их объединение образует границу сетки: у=(хыЕГ). Чтобы описать структуру сетки го, удобно использовать запись го=со,хго„ыт. е.

представлять й как топологнческое произведение сеток го, и гоо Используя введенные в примере 1 обозначения го+, ы и го, можно выделить части сетки й в прямоугольнике, например: го,хго, = (х; =-(УЧ, 1ЬЧ), К=. 1, 2, ...,М вЂ” 1, 1 == 1, 2, ..., М), горхоз,=(х,,===(уй„)йо), 1--0, 1, ..., М вЂ” 1, 1=-0, 1, ..., Лт).

Рассмотрим тсперь поня гне ссточпой функции. Пусть го — сетка, введенная в одномерной области, а х,— узлы сетки. Функция у =у(х,) дискретного аргумента х; называется сеточной функцией, определенной на сетке й. Аналогично определяется сеточная функция на любой сетке го, введенной в области изменения непрерывного аргумента. Например, если ху — узел сетки й в двумерной области, то у=у(х;,).

Очевидно, что сеточные функции можно рассматривать и как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки. Так, можно писать у=у(хг)= =у(1) У=У(хы)=у(1,1). Иногда мы будем использовать для обозначения сеточных функций следующую запись: у(х,)=уи у(хгу) =у;.. Сеточную функцию у; можно представить в виде вектора, рассматривая значения функции как компоненты вектора 1'=— = (у„у„..., ун). В этом примере у, задана на сетке оз=(х„ 1=0, 1, ..., ЛГ), содержащей )т'+1 узел, а вектор У имеет размерность л(+1. Если оз — сетка в прямоугольнике (оз= — (хг, = = (й„(й,), 1=0, 1, ..., М, 1= О, 1, ..., У)), то сеточной функции у;, заданной на го, соответствует вектор 3'=(у„,...,у „, у„,..., ум„..., у„н, ..., умн) размерности (М+ 1) (М+ 1). Узлы сетки го при этом считаются упорядоченными по строкам сетки.

Мы рассмотрели скалярные сеточные функции, т. е. такие функции, значениями которых в каждом узле сетки являются числа. Приведем теперь примеры векторных сеточных функций, значениями которых в узле являются векторы. Если в рассматриваемом выше примере обозначить через 1'(х, (1)) = Г вектор, компонентами которого являются значения сеточной фуйкции у,, в узлах хеь х ~, ...,х,н 1'-й строки сетки ьй 1" =(у,,у„...,у ), 1=О, 1, ..., йг, то мы получим векторную сеточную функцию х",, определенную на сетке го,=(х,(1) =16„.1=0, 1, ..., й1). Если функция, заданная на сетке, принимает комплексные значения, то такая сеточная функция называется комплексной.

2. Разностные производные и некоторые разностные тождества. Пусть задана сетка оз. Множество всех сеточных функций, заданных на й, образует векторное пространство с определенным очевидным образом сложением функций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определить разностные илн сеточные операторы.

Оператор Л, преобразующий сегочную функцию у в сеточную функцию 1=-Лу, называется разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки, н называются левой и правой производными соответственно. Используется также центральная производная Лзуу=у*'л= ' злу' ' — — 0,5(Л,+Л,)Ур (2) Если сетка неравномерна, то для разностных производных пер- вого порядка применяют следующие обозначения: У~ — Уь-1 У1+~ — У~ У~.+1 — Уь Я Я ! ~ 2 2 ~ у„ь=б,б(у„-,+у„„), Й,.=О,б(й,.+йь+,). Из определений (1) и (3) вытекают следующие соотношения: (4) (5) Ух, ь =ух, е+1 Ь; а также равенства У~ —— У;+,— М~~-|ул, ь= Уг-1+ЛЗ, р (6) Разностные операторы Л„, Л, и Л, имеют шаблоны, состоящие из двух точек, и используются при аппроксимации первой про- изводной (.и =и' функции и=и(х) одного переменного.

При этом операторы Л, и Л, аппроксимируют оператор Ь на гладких функ- циях с погрешностью 0(Ь), а Л,— с погрешностью 0(й'). Разностные производные и-го порядка определяются как се- точные функции, получаемые путем вычисления первой разност- ной производной от функции, являющейся разностной производ- ной и — 1-го порядка.

Приведем примеры разностных производных второго порядка: УВ, ьег УВ, 1 уь,|= ', ' —— — „,(у; -,— 2у;+у;,„), Уд !+1 УЗ, ~-1 у;;;= ' „*' = —,(у~,— 2у;+у;е,), !У~+~ — гн У~ — У~-1'1 Ухх,ь й (ук,~+1 У21) ~ (Ух,ю Ух,д й 1 л. я. 1' 27 используемое при написании разностного оператора в узле сетки, называется шаблоном этого оператора. Простейшим разностным оператором является оператор разностного дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Определим разностные производные.

Пусть ье — равномерная сетка с шагом й, введенная на прямой — ьо < х < оо: Ы=(х;=-а+1й, 1=0, ~-1, ~2, ...). Разностные производные первого порядка для сеточной функции у~ — — у(х,.), х, Е ьл определяются формулами Л,у,.=р„-,="' „"'-', Лд,=у„,.=""„" (1) которые используются при аппроксимации второй производной Еи = и" функции и = и (х).

В случае равномерной сетки погрешность аппроксимации равна 0(Ь'). Соответствующие разностные операторы имеют трехточечный шаблон. При аппроксимации четвертой производной 1,и=и!г используется разностная производная ! четвертого порядка р;„вь ! = — с(у!,— 4у! с+ бу! — 4у!+!+у!+,). Аналогично при аппроксимации производных и-го порядка используются разностные производные и-го порядка.

Не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных. Для преобразования выражений, содержащих разностные производные сеточных функций, нам потребуются формулы разностного дифференцирования произведения сеточных функций и формулы суммирования по частям. Эти формулы являются аналогом соответствующих формул дифференциального исчисления. 1) Формулы разностного дифференцирования п р о из в еде н и я. Используя определения разностных произ. водных (3), нетрудно проверить, что имеют место тождества: (ио)-„, ! = ик р,, + ир„-; = и-„р; + и!,о„-; = =и-„р,+ирд; — Ь!и-„р; и (ио)„г= и„р;+!+ ир„!= и, р!+и;+р„; = = и„р,+ ир„;+Ь!+,и„р„о (ио)„-! — — и; р!+,+ирд ! —— и; р;+и;+р„- г= =и„- р!+ир,-;+В!и„- р; о Используя (4), (5), последнее тождество можно записать в виде !~ +! (ио); ! — — иа р!+ — „!+! и!,.сод !+!.