А.А. Самарский, Е.С. Николаев - Методы решения сеточных уравнений (1978), страница 105

Преобразуем поставленную задачу к задаче, фигурирующей в теореме 1. Учитывая, что искомый полипом принимает значение 1 в точке х=1/рэ, представим его в виде Р„ (х)= 1 — ~ — х) Яи г(х)= — ~ — — Ин„г(х)1, 1 — р Г р Ь )" р ~1 — рех где /!н г(х) — полипом степени не выше и — 1. Отсюда следует, что наша задача сводится к задаче отыскания полииома /1к г (х) степени не выше н — 1, дающего наилучшее равномерное приближенйе свесом й(х)=(! — рек)/ре > Офункции/(х)=рэ/(1 — р,х) на отрезке [ — 1,Ц. Именно эта задача и фигурирует в теореме 1. Поэтому на основании теоремы ! существует по меньшей мере и+1 точек х„хз, ..., хклг отрезка [ — 1, Ц, в которых искомый полипом Р„(х) принимает с чередующимися знаками значение Ею Покажем сначала, что таких точек должно быть ровно и+1.

Действительно, для того чтобы непрерывная функция более чем в и+1 последовательных точках отрезка [ — 1, Ц могла принимать отличные от нуля значения рн с чередующимися знаками, она должна обратиться на этом отрезке в нуль не меньше чем в и точках. Так как полинам Р„(х) отличен от тождественно нулевого, то на отрезке [ — 1, Ц он может обратиться в нуль не более чем в п точках. Тем самым, искомый мнагочлен Р„(х) на [ — 1, Ц значение ро с чередующимися знаками принимает ровно и+1 раз. Охарактеризуем эти тачки. Если полинам Р„(х) во внутренней тачке отрезка [ — 1, Ц принимает максимальное значение, то производная Р„(х) в втой точке обращается в нуль. На степень Р„(х) равна и — 1 и, еледовательао, производная искомого полинама может обратиться в нуль лишь в и — 1 точках.

Поэтому искомый полинам имеет и — 1 внутренних экстремальных точек на [ — 1, Ц н следовательно, два краевых экстремума, т. е. 1 Р н ( 1 ) [ [ Р и ( 1 ) [ у Итак, мы имеем Рн(юу)=0, [=1, 2...; и, [Ря(ху) [=уя„)=1, 2...ю и+1 ° где юу — корни полинама, а х — экстремальные точки — 1=х„ьг<ю„<х„« ... ю,<х,<ю„<ха=1, Кроме того, так как Ря(1/рв) =1 и все корни полинома Р„(х) лежат на отрезке [ — 1, Ц, то Р„(!)=дн и, следовательно, справедливы равенства Ря(ху) =( — 1) гуя 1=1, 2, ..., и+!. (1) Имеет место Ле мм а 1. Полинам Р„(х), который среди всех многочленов и-й степени, принимаюи(их значение 1 при х=!!рв, наименее уклоняется от нуля ни отреэкз [ — 1, Ц, удовлетворяет дифс[еренциильному уравнению (1 — ха) (Р')' = и' (ув„— Ре) (2) Действительно, по доказанному точки хв, ха,...

х„есть простые нули палинома Р„(х). Очевндно, что эти точки являются двукратными нулями полинома у„— Р„(х), а по доказанному точки х„+,— — — 1 и ха=! являются простыми нулями этого полинома. Поэтому полинамы (! — х') (Ря(х))а и чя — Р'„(х) степени 2 имеют одни и те же нули. Следовательно, они пропорциональны, т. е. =и, О~к~ 1. йР йх [l уз ра [сс1 — х' (3) Исследуем левую часть (3). Если Ря (ху+,)=уя, то при изменении х от ху+г 586 (1 — а) (Р')в =с (да — )х~ (хи.

Приравнивая коэффициенты при старших степенях х у обоих полиномов, находим с=па. Лемма доказана. 2. Переходим к построению полинома Р„(х), используя уравнение (2). Эго уравнение, яомимо неизвестной функций Р„(х), содержит еще неизвестный параметр рт Мы не будем отдельно фиксировать дополнительные условия, которые однозначно определяют решение уравнения (2), а будем пользоваться всей известной информацией относительно Р„(х). Рассмотрим сначала уравнение (2) на отрезке [ — 1, Ц, В этом случае [Ря(х) [~дя, и, следовательно. из левай и правой частей уравнения (2) можно извлечь корень бр Дх 'г/ а — оа 'г' ха — 1 При интегрировании правой части этого уравнения от! до х левая часть будет интегрироваться от о„до Р„(х). Поэтому Ре !х) с в + рзг —,— 11= агссЬ вЂ”" чл у ря — !п р' ра ел ° =л~ л !п (х + )~хэ:1) лагссЬх.

(У) б» ргхз Отсюда получим Р„(х) =па сЬ (л агссЬ х), хрз 1. Так как Р„(х) ( — !)"Р„( — х), то для х~! найдем Р„(х) ( — 1)" а„сЬ (л агосЬ ( — х)) = ря сЬ (л агссЬ х), хна — 1. Таким образом, для !х)~1 получим следующее выражение для полннома Р„(х)г Р„(х) рая сЬ (л агссЬ х), (х !) 1. (8) Найдем теперь е„. Полагая в (8) х= 1/ре, и учитывая, что Р„(1/рэ) = 1, получим д„= 1/сЬ (л агссЛ (1/р,)), С другой стороны, полагая в (7) х= 1/ре, найдем 1+)/! — д~ 1+)/Т=р,* 1п "* л!п л!п Че ре Ра гдв ре 1 — Уй Р1. ут крг $- — р= —, ° уз 1+р', !+7~-ь»: уГ Следовательно, 1 оре г ча сЬ ~ л агссЬ вЂ” /! +' т Ре~ 688 Поэтому Р„( — х) ( — 1)" Р„(х) н, следовательно, достаточно определить Р„(х) ддя хри 1. Исследуем уравнение (2) при х) 1.

В этом случае его следует переписать следующим образом: (хе — 1) (Р')а=па(Рз — Ое), х'ле!. Так как хрь1, то Р(х))д„и функция возрастает. Поэтому, извлекая корень, получим Объединяя (6) н (8), получим Ра(х)=лчТч(х)=Та (х)[Тя(1/ре) ° (1О) гдз [ сов(легасов х), [х [~1 1 сй (л агсс(г х), [х [ ~ 1. Полинам Т„(х) называется полиномом Чебышева первого рода степени и. Итак, йоставленная задача полностью решена. Ее решение дается форму лами (9), (10). Возвращаясь к переменной Г, получим искомый полипом О.

(Г) =Р. ~ '-"' ) =~.Т. ~ — — '-'з') ° который наименее уклоняется от нуля на отрезке [ут уз[. ЛИТЕРАТУРА 1, В а з он В., Ф о р с а й т Дж. Ревностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.— Мл ИЛ., 1963. 2, Г ел ь фо н д А. О. Исчисление конечных разностей.— Мл Наука, !967. 3. К а р ч е в с к н й М.

М., Л я ш к о А. Д. Разностные схемы для нелинейным задач математической физики.— Казань: Ротапринт, изд. Каз. гос. ун., 1976. 4, Красносельскнй М. А., Вайникко Г. М. и др, Приближенное решение операторных уравнений.— Мл Наука, 1969. 5. М а р ч у к Г. Й., Методы вычислительной математики.— Новосибирск: Наука, !973. 6. Оганесян Л. А„риз киад В. Я., Рук овец Л. А. Вариационно. $7ф3б азностные методы решения эллиптических уравнений, ч. 1 и 2.— В сбл ифференциальные уравнения н нх применение, вып.

5, Вильнюс, Пяргале, !973, вып. 8, Вильнюс, Пяргале, 1974. 7. О рте г а Дж., Р е й и б ол дт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.— Мл Мир, 1975. 8, С а м а р с к н й А. А. Введение в теорию разностныл схем; Мл Наука, 1971 (имеется библиография до 1971 г.).

9. С а ма р с к и й А. А. Теория разностных схем.— Мл Наука, 1977. 10. С а м а р с к и й А. А., Г у л и н А, В. Устойчивость ревностных схем.— Мл Наука, 1973. 11. Сама р с к и й А. А., А н д рве в В. Б. Разностиыа методы для зллнпти. ческих уравнений.— Мл Науиа, 1976, 12. Сама рс к н й А. А., К а рамзан Ю, Но Разносгныа уравнения,— Мл Знание, 1978. 13. Ф а д д е е в Д, К.„Ф а д д е е в а В. Н. Вычислительные методы линейной -алгебры.— Мл Физматгиз, 1963. !4. у он и 8 О.

М. Нега1гте зо!иыоп о1 !агйа !1пеаг ауз1ешз: — Н,— То 1,л Асаб, Ргезз., 1971. ПРЕДМЕТНЪ|Й УКАЗАТЕЛЬ Алгоритм дискретного преобразования ФуРье 164 Асимптотическое свойство 338 Задача на собственные значения 63 Итерационные методы варнационного типе 332 — — двухступенчатые 509, 540 — — с фектаризованным оператором 536 — — тРеугольные 389 Итерационный метод верхней релаксации 375 — — градиентного спуска 614 — — Зейделя 369 — — минимальных невяэок 342, 482 — — — погрешностей 344, 469 — — — поправок 343 — — Ньютона — Канторовича 506 — — переменных напраилений 432, 463, 475 — — попеременно треугольный 396, 41! — — простой итерации 285 — — скорейшего спуска 341 — — сонряжениых градиентов 355 — — — направлений 353 — — — невязок 355 — — — погрешностей 356, 469 — — — поправок 356 — — стацвонарный трехслойный 322 — — чебышевский !Ричардсона) 269, 465 Канонический вид итерационной схемы двухслойной 260 — — — — трехслойной стандартного типа 261, 3!5 Метод вариации постоянных 42 — прогонки 76 — — матричной !07 — — немонотонной 94 — — ортогональной 112 — — потоковый вариант 84 — — циклической 87 — разделения переменных 190 — Редукции !36 — устаяовления 259 Невязка 275 Нормальное решение 227, 479 Обобщенное решение 227, 479 Оператор монотонный 221, 501 — непрерывный 216 — нормальный 219 — пеРехода 265, 268 — положительно определенный 221 — потенциальный 512 — разрешающий 266, 268 — самосопряженный 219 — сильно монотонный 221, 601 — сопряженный 218 Операторы коммутатнвные 217 — энергетически эквивалентные 221 Полипом Чебышева ! рода 57 — — П рода 68 Полуитерациониый метод Чебышева 318 Поправка 265, 275 Принцип сжатмх отображений 228 — регуляризации 532 Произвоциав Гато 216, 503 Разиастнвя схема 24 Разностные праиэводиые 27 — толгдества 233 — формулы Грина 234 Разностный оператор 95 Регуляризатор 533 Сетке 24 Сеточная функция 26 — — векторная 26 Сеточное уравнение ЗО Собственное значение оператора 225, 226 Собственный элемент оператора 226, 227 Спектральный радиус 218, 3762 Упорядоченный чебышевский набор параметров 270, 280 Ускорение сходимости 360 Устойчивость вычислительная 275 — по априорным данным 324 Функция Грина раэностного оператора 239 Числовой радиус оператора 220, 293 Идро оператора 217 Александр Андреевич Самарский, Евгений Сергеевич Николаев МЕТОДЫ РЕШЕНИЕ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ М., 1978 г., 692 сгр, с влл.

Редактор Т. Н. Гааышныкоал. Техн. Редакчор С. Я. Шкаар. Корректор Н. Д. Дорохово. ИБ № 2049 Сдано в набор 24.03.73. Подписано к печати 16.08.78. Бумага ООХ90'/„, тип. № 1. Лнгерагурная гарнитура. Вмсокая печать. Услови. печ. л, 37. Уч.-язд. л. 36,37. Тираж 18 090 акз. Заказ № 2666. Цена книга 1 р. 40 к. Издагельство еНзука» Главная редакция физико-математической лнтерагуры 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 16 Ордена Октябрьской Резолюция в ордена Трудового Красного Знамени Первая Обрагковвя твпогрзфия имен» А.

А. Веденова Союзполиграфпрома прн Государственном комитете Совета Мнннстров СССР ыо делам издательств, полиграфии и книжной торговлм. Мосйвв, М-64, Валовая, 28 .