М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998)

ББК 22.161.8 3 49 УДК 519.9 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение 77 77 80 88 93 103 103 108 113 118 123 127 137 143 143 149 156 159 163 163 169 173 Глава $1. 4 2. $3. 3 49 Зелнкнн М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Изд-во «Фактори- ал», 1998. — 351 с.

— 13В)ь( 5-88688-022-4. Книга посвшцена геометрическим методам теории дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью (уравнений типа Ряккати), кото. рые тесно связаны с вариационныы исчислением и оптимальным управлением. В ней изучаются связи варнацнонного исчисления н уравнения Риккати с геометрией многообразий Лагранжа-Грассмана и классическкын областями однородности Картаиа — Зигеля а простраястве многих комплексных переменных.

При исследовании задачи минимизации кратного интеграла выписывается и исследуется квадратичное уравнение в частных производных, являющееся аналогом уравнения Рнккатн в классическом вариационном исчисленян. Книга написана на основе лекций, читавшихся автором в течение ряда лет на механико-математическом факультете МГУ. Книга предназначена студентам, аспирантам и научным работникам, а также всем специалистам, интересующимся вопросами геометрии, вариационного исчисления н дифференциальных уравнений. Библиогр. 122.

Рецензент профессорА. С. Мыы«еыяо Издание осуществлено прн финансовой поддерж- ке Российского фонда фундаментальных исследо. ваний. Проект № 9Ь-01-02867. Нау и «озаеыые Зелимии Михаил Ильич Однородные пространства н уравнение Рнккатн в варнацнонном нсчнсленнн Редакторы А, и. Дол«реьь Е. Ю.

Ходан Формат 60 х 90/16. Гарнитура литературная. Уел. печ. л. 22. Бумага оф- сетная № 1. Подписано к печати 22.02.1998. Тираж 1000 зкз. Заказ №3040. Издательство «Факториал», 117449, Москва, а/я 331; ЛР № 063537 от 22.07.1994 Оригинал-макет подготовлен с использованием макропакета йр-ТБХ Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука».

121099, Москва Г-99, Шу- бинский пер., 6 13ВХ 5 †886-022-4 © М. И. Зеликин, 1998 Ос «Факториал» оформление, 1998 Глава $1. $ 2. $3. $4. 4 Ь. 4 6. $7. 9 В. $9. Глава $2 $3 $4. Глава $1. $2 $3. $4. 4 5. 4 6. 47 Глава $1 42 $3. $4. !. Классическое вариациоиное исчисление Уравнение Эйлера Гамильтонов формализм . Теория второй вариации . Уравнение Риккати Индекс Морса Теорема Якоба об огибающей Сальный минимуы Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана ... Поле зкстремалей 2. Уравнение Риккати в иавссическем вариациоииом ис- числении Уравнение Риккати как достаточное условие положительности второй вариации Уравнение Риккати для задачи с дифференциальными связями Уравнение Риккатн н многообразие Грассмана Мнопхгбразня Грассмана малых размерностей ...........

3 Группы и алгебры Ли Группы Лн. Определения н примеры Алгебры Ли Группы Ли малых размерностей Присоединенное представление и форма Киплинга Полупростые группы Лн Однородные н симметрические пространства Вполне геодезические подмногообразня ....... 4. Миогеобравии Грассмаиа Три подхода к описанию многообразий Грассмана Многообразия Лагранжа — Грассмана Уравнение Рнккати как поток на многообразии С„(аз")..... Системы, ассоциированные с линейной системой дифференциаль- ных уравнений 5. Матричное двойное отцовщине......,...,..., Матричное двойное отношение на многообразии Грассмана... Клнффордовы алгебры Вполне геодезические подмногообразия многообразий Грассма- 13 13 21 37 43 49 53 58 60 69 оглдвлвник 180 184 189 193 ПРЕДИСЛОВИЕ 195 198 Глава $1.

$2. 219 233 237 247 $4 $5 Глава $1 $2. $3. $4. $5. $6. $7. $8. $9. $10. 260 266 272 275 284 289 311 318 318 323 328 331 Послесловие Список лнтературм Предметный указатель 340 342 348 $4. Кривые со скалярным двойным отношением $5. Четвертое гармоническое как геодезическая изометрия $6.

Клиффордовы параллели $7. Связь кляффордовых параллелей с изоклиничными плоскостями . $8. Матричное двойное отношение на многообразии Лагрзижа— Грассмана $9. Индекс Морса — Маслова — Арнольда в форме Лере — Кашввары. $10. Четвертое гармоническое как изометрия многообразия Лагранжа — Грассмана $11. Применение матричного двойного отношения к исследованию уравнения Риккати 6.

Комилексаые уравнения Раииатв............. Области Картана-Знгеля . Верхняя полуплоскость Клейна — Пуанкаре и обобщенная верхняя полуплоскость Знгеля Комплекснфнцироаанное уравнение Риккатн как поток на обоб- щенной верхней полуплоскостн Зигеля Поток на областях однородности Картана — Зигеля ........ Матричный аналог дифференциального оператора Шварца 7. Многомерное вараациоиаое исчвсиевие Минямальные поверхности Необходимые условия оптимальности для кратного интеграла Векторные расслоения Распределения и теорема Фробениуса Связность в линейном расслоении .................

Связность Леви.Чивита Условия неотрицательности второй вариации Теория поля в форме Вейля . Преобразование Каратеодорн . Теория поля в форме Каратеодори ......, .......... Глава 8. О квадратачвой састеме дифференциальных уравнений в частных ироввиодиых, связанной с аидачей мвнамизацав кратного интеграла................... $1. Уравнение Риккати в случае вырожденного условия Лежандра $2. Сведение интеграла Лирихле к ннтегралу от его главной части $3. Связь уравнения Риккатн в частных производных с уравнением Эйлера $4.

Связность, определяемая решением уравнения Риккати в частных производных Книга посвящена развитию геометрических методов исследования и выявлению геометрических аспектов теории дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью (уравнений типа Риккати), тесно связанных с вариационным исчислением и оптимальным управлением.

Книга состоит из трех частей, каждой из которых можно было бы посвятить отдельную книгу: — классическое варнационное исчисление и геометрическая теория уравнения Риккати — главы 1-5; — комплексные уравнения Риккати как потоки на областях однородности Картана — Зигеля — глава 6; — задача минимизации кратных интегралов и уравнение Риккати в частных производных — главы 7, 8. Главы 1-4 имеют в основном вспомогательный характер. В них для полноты и замкнутости изложения включены необходимые для последующего изложения стандартные сведения по вариационному исчислению, технике групп и алгебр Ли и по геометрии многообразий Грассмана и Лагранжа †Грассма.

При отборе материала предпочтение отдавалось не столько наиболее общим, сколько наиболее простым утверждениям. При атом автор старался построить изложение так, чтобы оно не было перегруженно формально-техническими деталями и в то же время оставалось достаточно аккуратным. Остальные главы содержат результаты автора, касающиеся матричного двойного отношения, комплексных уравнений Риккати, матричного аналога оператора Шварца, а также уравнения Риккати в частных производных, возникающего в задаче минимизации кратного интеграла. В основу данной книги положен курс лекций, читавшийся в течение рида лет на механико-математическом факультете МГУ.

Позтому при написании книги автор представлял себе в качестве идеальных читателей — студентов старших курсов мехмата н аспирантов, знакомых с началами математического анализа, дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и предисловие алгебры (хотя иногда приходилось предполагать, что читатель знаком и с более изощренной математической техникой). Однако, в глубине души я расчитываю на более широкую аудиторию. Надеюсь, что искушенный читатель терпеливо отнесется к пассажам, которые могут показаться ему тривиальными, а человек, не вполне знакомый с тем или иным математическим объектом, и столкнувшийся с трудностями в понимании текста, вернет утраченную ясность с помощью цитированной литературы и, восстановив душевное равновесие, извинит автора за недостаточно подробные пояснения. Как всегда в таких ситуациях, автору приходилось балансировать между непонятным и тривиальным с целью перевести первое во второе. Насколько это удалось— судить читателю.

Я глубоко признателен своим друзьям и коллегам за неоценимую помощь при подготовке книги к публикации. Сердечная благодарность: кандидатам физико-математических наук В. Ф. Борисову, А, В, Домрину, Л. Ф. Зеликиной и студенту Р. Хильдебранду за титанический труд по улучшению текста; профессорам А. В. Арутюнову, А. С. Мищенко, А. Н. Паршину и Е.

Л. Тонкову за очень полезные советы и предложения; профессору Г. Фрайлингу за чрезвычайно важную библиографическую информацию; Е. Ю. Ходан за тщательное редактирование рукописи. Издание этой книги было бы невозможно без финансовой поддержки Российскою Фонда Фундаментальных Исследований (грант на издание книги № 95-01-02867; исследовательский грант № 96-01-01360; грант поддержки ведущих научных школ № 96-!5-96072), которому я выражаю самую глубокую благодарность. ВВЕДЕНИЕ Уравнения Риккатн получили свое название по имени знаменитого итальянского математика ') †гра Якопо Франческо Риккатн (1676-1754), который в 1724 г. опубликовал в журнале «Ас1а Егпг!!!оган» статью «Ап!шадчегза1!опез !и аег)па1!опез г!!11егеп!!а1ез зесипг!1 йтаг)изь [106], посвященную методам разделения переменных н методам понижения порядка дифференциальных уравнений.

Следует заметить, что содержание статьи стало известно математической общественности несколько раньше 164]. Изучая задачу восстановления плоской кривой по свойствам ее кривизны, Рнккатн пришел в этой статье к рассмотрению уравнения г!х Ь вЂ” =а1 +х . г(1 (1) В том же томе «Ас1а Его!11огпшэ, где была опубликована статья Риккатн, сразу же после нее следовала статья 22-летнего Даниила Бернулли, который писал, что оба Николая Бернулли (старший и младший), Иоганн Бернулли и он сам, Даниил Бернулли изучали это уравнение и что все они независимо друг от друга нашли условия на параметр О, при которых это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрируется в квадратурах.