К.Е. Якимова - Задачи по теоретической механике, страница 6

В момеьгг метания диска радиуса г три его точки А, В и С имеют скорости вл = О, вн = в и вс = ъ'2в, причем векторы скоростей вн и вс лежат в плоскости диска. Найти угловую скорость диска и направление мгновенной оси вращеняя. К задаче 1Л01. Глава 1. Кинематика 1.102. Положение и скорости точек тела заданы в некоторой системе координат. Точки А(а, О, О), В(а, а, а) и С(О, О. а) тела имеют в рассматриваемый момент скорости нд(е, — е, 2е), нн(е, О, е) и ис(е, О, 2е). Найти кинематический винт тела.

1.103. Некоторая точка движется в плоскости со скоростью н(1) и ускорением а(1). Найти скорость н ускорение центра кринизны траектории точки, 1.104. В каждый момент времени Е известны скорость э(Е) движущейся в плоскости точки и радиус кривизны ее траектории р(1). ЕЕайти угловую скорость и угловое ускорение сопровождающего трехгранника (т, н, Ь). 1.105.

Доказать, что прн любом движении твердого тела его угловая скорость ы связана с полем скоростей его точек равенством 1 ы = — гоев. 2 1.106. Шар радиуса г катится по плоскости, касаясь боковой поверхности прямого кругового цилиндра радиуса й, образующая которого перпендикулярна плоскости. Проскальзывание между шаром и поверхностями отсутствует.

Скорость и ускорение центра шара равны соответственно е н а. Найти векторы угловой скорости и углового ускорения шара. Рассмотреть случаи, когда: х) шар катится внутри цилиндра, г < Й; 3) шар катится снаружи цилиндра. Глава 2. Динамика 2.1. ДИНАМИКА ТО 1КИ Задачи динамики можно разделить на два типа. по заданным связям и силам требуется найти движение точки, и, наоборот, по известным свойствам движении точки требуется найти силы, под действием которых происходит такое движение.

Если точка свободна, второй закон Ньютона дает векторное уравнение движения точки та = Р, Р1) где т — масса точки, а — вектор ее ускорения относительно инерциальной системы отсчета, Р— сумма сил, под действием которых находится точка. Векторнал величина Р является функцией, вообще говоря, времени, положения точки и ее скорости. Выбрав наиболее удобную для решения задачи систему координат, можно выписать скалярные уравнения движения. Если силы заданы, то решение задачи определения движения сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений. Если известно движение, то определение силы сводится к вычислению ускорения гочки.

Эту задачу приходится решать всегда, когда рассматривается движение несвободной точки н требуется находить реакции связей. Движение точки называется несвободным, если на ее положение или скорость валагаются какие-либо ограничения. Эти ограничения задаются аналитически уравнениями или неравенствами относительно кинематических характеристик движения точки и называются уравнениями связей. Вводя в рассмотрение реакции связей (аксиома освобождаемости), уравнения движения несвободной точки можно записать в виде та =Р+В, (2.2) где зь — сумма реакций связей, приложенных к точке. Глава 2. Динамика 38 При решении задач динамики точки оказываются полезными три основные теоремы.

1. Теорема об изменении количества движения (2.3) где вектор Я = тв называют количеством движения точки (импульсом) . 2. Теорема об изменении момента количества движении ИК вЂ” =гхР+гхВ, (2.4) о1 где г — радиус-вектор точки относительно некоторой неподвижной системы координат, а К = г х то — вектор момента количества движения (момент импульса, кинетический момент). 3. Теорема об изменении кинетической энергии. (2.5) г где 7' = — 2 — — кинетическая энергия точки, а Р . дг — элементе тарная работа силы Р на действительном перемещении точки.

Из уравнений (2.3), (2.4), (2.5) для некоторых частных случаев связей и характера сил, действующих на точку, могут быть получены первые интегралы уравнений движения. Их часто называют законами сохранения. 1. Закон сохранения количества движения. Гели сумма действующих на точку снл равна нулю, Р = О, и точка свободна, то тп=Сы где С1 = тве — постоянный вектор. 2.

Закон сохранения проекции количества движения. Если существует такое неподвижное направление Оз, что сумма проекций действующих сил и реакций связей на это направление постоянно равна нулю, то тел = сопеФ. 3. Закон сохранения вектора момента количества движения. Если действующие силы являются центральными и связи отсугствуют, то г х то = Сг, где Сз — постоянный вектор.

2.1. Динамика точки 39 4. Закон сохранения момента количества движения относительно оси. Если существует неподвижная ось Ол, относительно которой сумма моментов сил Р и В равна нулю, то сохраняется проекция момента количества движения на эту ось. В цилиндрических координатах этот интеграл имеет вид з НД гпг — = сопя1. й Геометрическим следствием этого соотношения является закон площадей. 5. Интеграл энергии (закон сохранения механической энергии). Если связи таковы, что В. й' = О, и существует такая скалярная функция П, называемая силовой функцией, что Р . ог = Но', то глл — П=Ь, 2 где 6 .— некоторая постянная, Функция Р' = — П называется потенциальной энергией.

При изучении движения точки относительно неннерциальной системы отсчета для составления уравнений движения можно использовать соотношение ~~™отя — ~ + В щапер щпкар. Слагаемые — гла„,р н — гпа„,р называют силами инерции (переносной и кориолисовой соответственно). Отметим особенность теоремы об изменении кинетической энергии в неинерциальной системе координат. Она имеет вид г гав <~ — й ' ~(~ отн + В ' ~~~ отн + ( глайдер) ' ~~готя 2 поскольку работа силы инерции Корнолиса на относительном перемещении точки равна нулю. Фазовак плоскость.

Уравнение (2.6) й = Р(х) равносильно системе двух уравнений Глава 2. Динамика 40 Плоскость (э; у) называют фпэовой плоскостью уравнения (2.6). Правая часть (2.7) определяет на фазовой плоскости векторное поле. Это поле называется векторным полем фаэоеой плоскости. Интегральные кривые этого векторного поля называются фпэоеымп траекториями. Их совокупность определяет флэоеьш портрет механической системы. ЗАДАЧИ 2.1. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью гш Учитывая силу ньютоновского тяготения и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на какую максимальную высоту и в течение какого времени поднимется тело.

Ускорение силы тяжести на поверхности Земли считать равным д, радиус Земли равен Я. 2.2. Материальная точка массы т под действием силы, изменяющейся по закону )э = РесоэьЛ, где ге и ы -- постоянные величины, совершает прямолинейное движение. В начальный момент точка имела скорость пе. Найти закон движения точки. 2.3. Самолет летит на высоте и над поверхностью Земли с горизонтальной скоростью яы Из орудия прой наведен выстрел по самолету в тот ! момент, когда самолет находился на га одной вертикали с орудием. Найти: 1) какому условию должна удовлетворять начальная скорость снаряда для К задаче 2.3.

того, чтобы снаряд мог попасть в са- молет; з) под каким углом к горизонту должен быть произведен выстрел, если начальная скорость снаряда равна ие? Сопротивлением воздуха пренебречь, поле силы тяжести считать однородным. 2.4. Наибольшая горизонтальная дальность полета снаряда равна Л. Определить его горизонтальную дальность полета и наибольшую высоту подъема траектории при угле бросакия 30'. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2.1. Динамика точки 41 2.5. С крепостной башни производят два выстрела, причем начальные скорости снарядов оказываются равными по величине и лежат в одной и той же вертикальной плоскости. Эти начальные скорости направлены под углами о~ и аз к горизонту. Оба снаряда попадают в одну и ту же точку на поверхности Земли. Определить высоту башни, предполагая, что поверхность Земли вокруг башни горизонтальна и что сопротивление воздуха отсутствует. 2.6. Найти геометрическое место фокусов всех параболических траекторий, соответствующих одной и той же начальной скорости во и возможным углам бросания тяжелой материальной точки. 2.7.

Из орудия, находящегося в точке О, произвели выстрел под углом а к горизонту с начальной скоростью гю Одновременно из точки А, находящейся на расстоянии 1 по горизонтали от точки О, произвели выстрел вертикально вверх. Определить, с какой начальной скоростью е~ надо выпустить второй снаряд, чтобы он встретился с первым снарядом. Сопротивлением воздуха пренебречь. 2.8. Тяжелую материальную точку бросают из начала координат под углом о к горизонту с начальной скоростью ве. Каковы должны быть значения о и се, чтобы траектория точки при прохождении через данную точку М(лы у~) составляла бы угол Д с горизонтом? 2.9.

Тело массы гп брошено вертикально вверх с начальной скоростью сю Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости тела с коэффициентом д. Определить скорость, с которой тело упадет обратно на Землю. 2.10. Тело начинает падать из точки А без начальной скорости в среде, сила сопротивления которой Л = — ктв, где к коэффициент пропорциональности, га — масса тела, в — его скорость. Одновременно с этим из точки В, находящейся на той же вертикали ниже точки А на расстоянии з, бросают другое тело с начальной скоростью вю направленной вертикально вверх.