К.Е. Якимова - Задачи по теоретической механике

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В, ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет Кафедра теоретической механики и мехатронихи ЗАДАЕХИ ПО ТЕОРЕТИт4ЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Москва, 2004 УДК 53Ц075.8) Задачи по теоретической механике. / Под ред.

К. В. Якимовой. — Мс Изд-во механико — математического факультета МГУ, 2004. — 96 с. — 18ВХ 5-93839 — 011 — 7. Настояп1ий задачник предназначен для студентов механико- математических факультетов университетов, изучаюпуих теоретическую механику. 1БВ1'1 5 — 93839 — 011-7 © Кафедра теоретической механики и мехатроники, 2004. © Издательство механико — математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносоаа, 2004. Предисловие Данный «Задачник по теоретической механике» является исправленным и дополненным вариантом пособия «Задачник по классической механике», выпущенного в 2001 году. Внесенные изменения обсуждались на заседаниях методического семинара кафедры теоретической механики и мехатроники в течение 2003- 2004 учебного года.

В работе по подготовке задачника к печати участвовали И.Л. Антонов, Т.Ф. Барбашова, В. Г. Вильке, 1О.Ф. Голубев, А. В. Карапетян, Е. И. Кугушев, А. С. Кулешов, Е. В, Мелкумова, Т. В. Сальникова, Я. В. Татаринон, Д. В. Трещев, К. Е. Якимова. Среди включенных в сборник задач есть оригинальные, однако большинство задач заимствовано из задачников И. В. Мещерского [10], Н. Н.

Бухгольца, И. М. Воронкова и А. П. Минакова [9], Е. С. Пятницкого, Н. М. Трухан, Ю. Н. Ханукаева, Г. Н. Яковенко [17] и др. Часть заимствованых задач ~ереформулирована с целью уменьшить количество технических терминов [таких как шатун, ползун, кривошип и т.п.), не определяющих существа рассматриваемой кинематической или динамической задачи, но требующих дополнительных разъяснений. Каждому разделу сборника предпослана небольшая теоретическая часть, содержащая основные теоремы и формулы, которые могут быть полезны при решении входящих в него задач. Содержание Предисловие Глава 1. Кинематика 1.1.

Скорость и ускорение точки 10 1.2. Сложное движение точки 1.3. Кинематика абсолютно твердого тела 1.4. Смешанные задачи 31 Глава 2. Динамика 2.1. Динамика точки ЗТ 53 2.2. Геометрия масс 2.3. Динамика системы материальных точек 70 2.5. Движение материальной точки и абсолютно твердого тела при наличии трения Ответы 95 рекомендуемая литература 2.4. Движение твердого гела с неподвижной точкой и закрепленной осью Глава 1.

Кинематика 1.1. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ Движение некоторой точки А рассматривается в евклидовом пространстве относительно ортонормированного репера Ое,еле,. Положение этой точки в пространстве задается ее радиус — век гором г = — зе + уел+ за,, где (е, р, з) — декартовы координаты точки. Функция г(Е), г(~) = ефез+ р(~)ел+ г(~)е„ где 1 время, задает закон движения точки А относительно репера Ое еге,.

Кривая, описываемая движущейся точкой А в пространстве, называется траекторией точки. Скорость и точки А относительно репера Ое еле, определяется выражением Й дз Нту сЬ» е = — = с е + сзе„+ с,е, = — ее+ — е„+ — е,. й. сй й й Ускорение а точки А относительно репера Ое е„е, имеет вид а = — = а е + а„ел + а,е, = й а у = — *е, + "ел+ — 'е, = — е, + — е„+ е,.

ц щ щ з цз у2 оз Если декартовы координаты точки А заданы как функции каких-либо скалярных аргументов г(1) = г(ды дз, Чз), то аргументы ды аз, дз называются криволинейными координатами точки. Точке А ставится в соответствие локальный нормированный репер Ае1езез с единичнымн векторами дг ~ дг дй дч1 Глава 1. Кинематика Проекции ускорения на оси с направляющими векторами е, выражаются формулами Криволинейные координаты называются ортогональными, если единичные векторы еы ег, ез взаимно перпендикулярны. Примером могут служить цилиндрические координаты л = рсозрг, д = рйпр, для которых Ч1 = Р Чг = у Чз = г, щ = ер = Р ег = е~ = Р'Р ез = е: = д.

При г .= сопзс цилиндрические координаты переходят в полярные. Секторной скоростью называется величина д = гггг. =7' Другим примером являются сферические координаты г = ге1пд, я = г соя дсоегг, у = тсоедеш~р, для которых д1 = г~ Чг = Ч' Чз = д ег =. ее — — г~Р соз д, ез = нр = гд. Помимо описанных выше координатных способов представления скорости и ускорения используется представление зтих векторов с помощью естественного (или сопутствующего) трехгранника.

Естественным трехгранником называют подвижный трехгранник с началом в движущейся точке А, образованный единичным вектором касательной к траектории и, главной нормалью и и бинормалью ф, й и дт и= — = —, и=р —,,У=тхет, сЬ ))и)! ' сЬ ' где р — радиус кривизны траектории в точке, совпадающей с точкой А, а дифференциал длины дуги Нз траектории выражается формулой ~Ь Из = и <Й или е = —. пг 1.1.

Скорость и ускорение точки Проекции скорости и ускорения на оси естественного трехграника имеюг вид си — сд — О~ дс И~я гз а = — = —, а т — — з, ив м,н' р' ад =О. ЗАДАЧИ 1.1. В плоскости данного эллипса с полуосями а и 6 вокруг его фокуса Р с постоянной угловой скоростью ы врыцается луч ГМ. Найти скорость точки М пересечения этого луча с эллипсом как функцию расстояния г от фокуса Е до точки М.

1.2. Точка описывает плоскую траекторию так, что ее секторная скорость пропорциональна модулю радиус-вектора, а радиальная скорость постоянна,т.е. 1 о = -Ьг, с„=с, 2 где 6 н с — некоторые положительные постоянные. Зная началь- ные условия у = О и и = ге при 1 = О, найти траекторию точки и закон движения. 1.3. Точка описывает плоскую траекторню так,что модуль ее скорости есть постоянная величина с, а полярный угол изменяется по закону р = сЛ. Найти траекторию точки, если известно начальное условие г = О при,р = О.

1.4. Точка описывает плоскую траекторию с постоянной по величине скоростью и так, что вектор ускорения точки все время направлен на данную неподвижную точку О. Найти траекторию точки, если в начальный момент времени она находилась на расстоянии 6 от точки О. Глава 1. Кинематика 1.5. Тачка описывает плоскую кривую так, что прямая, по которой направлено ее ускорение а, все время проходит через неподвижную точку О.

Определить условие применимости формулы где с — величина скорости точки, г — расстояние до точки О. Знак «+» берется в том случае, когда ускорение направлено от точки О, и знак « — » в противоположном случае. 1.6. Точка описывает плоскую траекторию так, что ее радиальная скорость положительна и постоянна, а радиальное ускорение отрицательно и обратно пропорционально кубу расстояния до полюса, т. е. с е„=6>0, а„= — —, с>0.

Найти траекторию и секторную скорость точки, при заданных начальных условиях г(0) = ге и ~о(0) = ре и ~р(0) > О. 1.7. Точка движется в плоскости Озу так, что проекция ее скорости на ось Оз постоянна и равна с. Показать, что в этом случае величина ускорения определяется формулой з а= —, ср где е — величина скорости точки, а р — радиус кривизны траектории. 1.8.

В декартовых координатах задан закон движения точки л = х(1), у = у(1), г = з(1). Найти величины касательной и нормальной составляющих уско- рения. 1.9. Закон дни>кения материальной точки, брошенной в пустоте со скоростью ес под углом ае к горизонту, имеет вид у1 и = 61, у = с1 — —, где 6 = се сое ое и с = ее в(п ое. 2 ' Найти радиус кривизны траектории в зависимости от абсциссы и; в частности, - — в вершине траектории. 1.1. Скорость и ускорение точки 1.10. Движение точки задано в полярных координатах уравнениями г=Ьеы и =66 где 6 и 6 — известные постоянные величины. Найти граекторию точки. Выразить скорость и ускорение точки и радиус кривизны ее траектории в зависимости от г. 1.11.

Дан закон днижения точки 6(е'+е ~) з = 61, у = =- 6сЫ. 2 Найти траекторию точки. Выразить радиус кривизны траектории кан функцию координаты у. 1.12. Точка М движется по винтовой линии. В цилиндрических координатах ее закон движения имеет вид г =- 6, ~р = 66, з = и6. Найти выражения скорости и ускорения точки в этих координатах, касательную и нормальную составляющие ускорения, а также радиус кривизны винтовой линии.

1.13. Какую кривую опишет корабль, у, еч идущий под постоянным курсовым углом а к географическому меридиа- ех ну? Корабль считать точкой, движущейся по поверхности земного шара. Указание. Воспользоваться сферическими координатами г, Л и у. 1.14. В условиях предыдущей задачи, считая, что величина скорости е корабля не изменяется, определить про- Я екции ускорения корабля на оси сферической системы координат, величину его ускоренин и радиус кривизны локсодромии. 1.15.

Какую кривую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол пеленга о на неподвижную точку О (угол между направлением скорости корабля и направлением на точку)? Корабль считать точкой, движущейся в плоскости. Воспользоваться полярными координатами (г, р) с началом в точке О; в начальный момент времени корабль находится в точке (ге, О). Исследовать частные случаи а = О, $ и х. Глава 1. Кинематика 10 1.2. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТО'ХКИ !1усть точка движется относительно некоторой неизменяемой системы отсчета (твердого тела Е), с которой связана система координат О~У~,; эта система, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчета (твердого тела э), с которой связана система координат О~»у».