Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977), страница 7

В результате получим две последовательности одинаковой длины Е;Еь величина корреляции между которыми определяется по формуле (!.84). Общая зависимость для коэффи- 40 Выражение (1.82) показывает, что расстояние в пространстве сигналов тем больше, чем больше отрицательное значение рсь В частном случае, когда М=2, расстояние с/и будет максимальным при р~г= — 1. Тогда наилучшими сигналами будет пара противоположных сигналов циента рп в этом случае определяется в виде 1. Е1 т ~Л.

) з'(!)з1®~ 1 Ы1ч, о г де тя — длительность единичного элемента последовательности. Существует доказательство того, что код, включающий М сигналов, может обеспечить наилучшее (предельное) по всем парам значение ргь равное [4, 7) — !/М, если М нечетно, — )ДЛ вЂ” !), если М четно.

Коды, удовлетворяющие этому соотношению, иногда называют максимально трансортогональными или симплексными. Рассмотрим пример симплексного кода, представленный на рис. !.6. Пользуясь формулой !!.84), нетрудно подсчитать, что коэффициент взаимной корреляции между любыми парами слов в представленном коде ра- х "7 вен рн= — )/М. Следова- 1 1 1-1 1 -1-1 тельно, такой код является оптимальным. Заметим, что все кодовые слова, приведенные на рис.

!.б, могут быть получены из любого одного 11-1 путем циклических перестановок символов из конца кодового слова в начало и наоборот — из начала в конец. Так как 7 = 7 то и таких пе- -1 1 1 1 -1 1 1 -1 111111 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 "1 1 -1 "1 рестановок (или кодовых Рис. 1.6. Пример симплекснога слов) М=7.

Последовательность, обеспечивающая рп= = — !/М прн !Ф!', часто называется псевдошумовой или псевдослучайной. Рассмотрим пример ортогонального кода, представленного на рис. !.7. ПОльзуясь формулой (!.84), нетрудно получить р;,=О.

Следует подчеркнуть, что в этом коде между любыми парами слов число почленных совпадений и несовпадений одинаково. Известна также группа биортогональных кодов, состоящая из слов ортогонального кода и их инверсий. Наиболее известными биорто- 4! -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 т -1 1 -1 т -1 т -1-1 1-1 т -т т -1-т !т/г т -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -т -т -т т Рис. 1.8, Пример биортогонального кода. тональными кодами являются коды Рида — Мюллера первого порядка 1!21: один из них представлен на рис.

1.8. В каждом из столбцов приведенного кода любые слова между собой ортогональны, т. е. ум=0. В уб у т -1 пользовавшись формулой 11.84). В то же время слова, находящиеся -1 т 1 1 в разных столбцах одной строгов, тт и имеют рц= — 1. Биортогональный код имеет разные расстояния А; в пространстве сигналов и поэтому относится к классу неравноудаленРис.1Л. Примерорто- ных кодов. Для таких кодов важно гонального кода. среднее значение функции взаимной корреляции ргя Можно показать, что м и М(М вЂ” !) ~),71Р" М1М вЂ” 1) ! 2 ( М ! />! В частности, для кода, показанного на рнс.

1.8, рц = — 1/15. Следовательно, биортогональные коды в среднем являются оптимальными. Таким образом, от формы используемых сигналов, определяемой значением коэффициентов взаимной корреляции Рн, зависит как классификация и свойства кодов, так и потенциальная помехоустойчивость приема. Оценим помехоустойчивость приема сигналов с различными значениями рсь При орто- гональных сигналах вероятность правильного приема по- лучена Котельниковым В. А. !101 в виде М-1 н + )Т2Рат)йо ехр ( — х'/2) т 00 (' ехр ( — хх/2) УЕ /хгхг(-рн) и у и, ехр( — 2) 2 . (-ф][ Ре= (1.87) В частности, для трансортогонального кода из М слов, для которого рп= — 1/(М вЂ !), подкоренное выражение в верхнем пределе интеграла (1.87) может быть записано в виде — (1 рп) = 2РхТ 2РхТ М У, ' У, М вЂ” !' (1.88) Из (1.88) следует, что для сохранения равных вероятностей правильного приема при передаче информации ортогональнымн и трансортогональными сигналами энергия последних должна быть уменьшена в (М вЂ” 1)/М раз.

Для псевдослучайных сигналов, у которых рп= — 1/М, аналогично можно получить — (1 — рп) = — ' 2Р,Т, 2Р,Т М+! Ур У, М (! .89) Из (!.89) вытекает, что для обеспечения одинаковой помехоустойчивости ортогональных и псевдослучайных 43 (1.86) Данное выражение вытекает из (1.81) при рм=О. Заметим, что хотя в общем ортогональные сигналы не являются оптимальными, при больших М они достигают наивысшей степени трансортогональности, поскольку наилучшее значение рм= — 1/(М вЂ” 1) при больших М стремится к нулю.

Важно то, что сравнительно простая формула (1.86) может быть легко трансформирована для оценки помехоустойчивости приема сигналов с рм~ ФО. Так как в 110] показано, что все системы из равно- удаленных сигналов имеют одинаковую помехоустойчивость при одинаковом расстоянии х(п в пространстве сигналов, то из (!.86) с учетом (1.82) можно получить сигналов энергия последних может быть уменьшена в (М+1)/М раз. Для неравноудаленных кодов, к которым относится биортогональный код, справедлива следующая зависимость !4, 17]: ( — *,/з) Х Уъ (--') ехр ( — «'/2) — й й~,. р 2к „у ~~,т Л~а (1.90) откуда РвТ~/Мо= (РаТо/Ио) 1о9г М. (1.92) 44 Однако формулы (1.86), (1.87), (1.88) позволяют сравнивать между собой только системы, использующие одинаковый алфавит сигналов и одинаковый алфавит сообщений.

Если это условие не выполняется, то каждый сигнал несет различное количество информации, т. е. цена каждого сигнала различна. Поэтому целесообразно сравнивать различные системы по вероятности ошибочного приема в зависимости от отношения энергии, затрачиваемой на передачу одного двоичного знака информации к спектральной плотности шума. В системе из М=2" равновероятных сигналов любой из М сигналов содержит п=1од,М двоичных знаков (битов) информации. А так как на 'передачу каждого сигнала затрачивается время Т, то скорость посылки информации в канал будет определяться формулой Н=1ойвМ/Т=п/Т ~бит/с).

Заметим, что скорость посылки информации в канал Н отличается от скорости приема информации С (или от скорости передачи в канале связи) на величину ненадежности канала в единицу времени. С другой стороны, каждый бит информации передается за время Т,=1/Н= Т/!ой, М= Т/и. Следовательно, в качестве независимой переменной в формулах (1.86), (!.87)„(1.90) целесообразно выбрать РвТо/Но=РвТ/Но1ояг М, (1.91) Тогда с учетом (1.92) и (1.87) запишем общее выражение для оценки помехоустойчивости систем, использующих равноудаленные сигналы 00 ~ ехр [ — ~'~/2], р'Е ~м — О /2Рег ; + "р †' [~-рц1~емм ехр [ —.!2] )'ъ дчо (1.93) из которого при подстановке рм= — 1/(М вЂ” 1), — 1/М, О получаются соответствующие выражения для оценки помехоустойчивости трансортогонального, псевдослучайного и ортогонального кодов.

Заметим, что для приближенного вычисления потенциальной помехоустойчивости могут использоваться более простые формулы, вытекающие из асимптотического разложения интеграла вероятности, справедливого для больших значений аргумента Р, = (М вЂ” 1) э, ~ ( — '' (1 — рн) 1ой,'М)н' 1, (1.94) где (1.95) Р, = 1 — Р,= — ехр ( — †) ~Г]( — 1)! ( †. ) ехр (.~ ) . У (1.96) На рис. 1.9 представлены графики, построенные по формуле (1.93) для рм=О [4, 171. Из рисунка следует, что для всех значений г)=Р,Те!14е, за исключением очень малых, вероятность ошибки уменьшается с увеличением М или и.

Оценка вероятности ошибки для некогерентного приема ортогональных сигналов в общем случае значительно сложнее, чем для некогерентного. Некогерентное детектирование совокупностей равно- удаленных сигналов рассмотрено в 14, 17, 191, где показано, что В частности, при М=2 из (1.96) следует 1 / Е Х Р,= — ехр ~ — — ).

2 ( 2аГь ) (1.97) Заметим, что первое слагаемое в (1.96) представляет верхнюю границу Р„так как каждое следующее слагаемое меньше предыдущего, а знаки чередуются. Поэтому для оценки вероятности ошибки некогерентного приема можно использовать приближенное выражение М вЂ” ! / Е Р,~ — ехр ~ — — ). 2 (ь 2Фе )' На рис. 1 10 представлены кривые, построенные для различных М по формуле (1.96). Из их рассмотрения сле- Рг г Ре ра га ' гр гр ' дг ю' гаер гр рг мг гр лг Рнс. 1.9. Вероятность ошибки при когерентиом приеме ортогональных сигналов. Рис.

1.19, Вероятность ошибки яри некогерентном приеме ортогональных сигналов. дует, что при М вЂ” ьоо предельные вероятности ошибок для когерентного и некогерентного приемов совпадают. Из графиков на рис. 1.9 и 1.10также видно, что с увеличением объема алфавита помехоустойчивость системы передачи растет, однако этот рост замедляется по мере увеличения М, стремясь к !п2 пря М вЂ” ь"со.

Для нллю- 45 страцин этого положения на р5~, рис. 1.11 представлен гра- гл фик изменения требуемого отношения сигнал/шум от величины п=1одх М при Р,=10 — '=сопз1; Рассмотрев график на рис. 1.11, можно заключить, что применять алфавиты очень большого объема (М>32 — 64) нецелесообразно из-за небольшого приро- !п2 ста помехоустойчивости, ко- г у р ы л торая достигается существенным увеличением слож- Рис. 1.11. Зависимость требуености аппаратуры системы мого отношения сигнал/шум от передачи. Заметим, что в объема алфавита.

данном случае речь шла только о помехоустойчивости, определяемой объемом алфавита М. Если же иметь в виду увеличение помехоустойчивости и скрытности системы, зависящей от вида сигнала, то, как это следует из $ 1.6, необходимо стремиться к увеличению базы сигнала В, которая по этим соображениям может быть много больше объема алфавита М. Список литературы 1. Вакман Д. Е. Сложные сигналы л принцип неи»ределенности в радиолокации.М., «Сов.