Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977), страница 9

Сопоставляя (2.17) и (2.19), найдем два значения «с, прн которых функция Х(т, !) не равна нулю: =й ц 1 (2.20) (2.21) При этом из всех значений лс внутренней суммы (2.18) остаются только два значения с (2.20) и (2.21). Следовательно, двойную сумму в (2.18) можно разбить на две одинарные суммы, в которых следует вычислить лишь аз«а ~ н «а . Соответствующим образом изменятся и пределы вычисления одинарных сумм и пределы интегрирования. 34 Выбор нреденов интегрированна онреденнетен эаштрихонанными участнами на рис. 2.3,б. Поэтому с 1 Х(л [)= — ~~) ~ аеа, ехр [ — [2н(тн(й — 1)[)Ч се=нее м с Х ] ехр [ — [2н[Ф] б! + Ъ~ аеае ехр [ — /2н/ (й — 1)))ч о е=н+! 'н х ) *Р! — и!!ю] (2.22) м Осуществив интегрирование (2.22), получим ;н', ехр ( — 12л)тн ~ — + 2 (й — 1)11+ з[п (л[нн) ~~~ тн Х (1 — — ) ~~)~~ аеа ехР ~ — )л[т„[(1 + — ') + й=н+! -)- 2 (Й вЂ” н1[[; (2.23) с ! ян Х(лъ, О)= — ~' а ан „, (2.24) а при отсутствии временного сдвига с Х(0, О)= — 1)1 а!а= 1.

аю! 66 Из выражения (2.23) следует несколько практически важных результатов. В частности, при временном сдвиге, кратном длительности элементарного импульса т„и при )=0 получим значения автокорреляционной функции в характерных точках При произвольном временном сдвиге получим автокор- реляционную функцию 1 е' %"ч / е'т ич а= 1+2 а= )+! (2.25) При я=0 Х(0,1)= ""'", л (у.ти (2.26) Известен простой и наглядный алгоритм вычисления автокорреляционной функции (2.24) для бинарных кодов, Сущность его проиллюстрируем на примере ходовой последовательности (а ) вида Рис.

2.4. Алгоритм вычисления автокорреляционной функции непериодического бинарного кода. бб откуда получаем, что (2.26) обращается в нуль на частоте Г = 1/1.ча. Из рассмотрения (2.24) — (2.25) следует, что автокорреляционная функция непосредственно зависит от вида кодовой последовательности (ав). «+++ — + — », записанной вверху рис.

2.4. В левой стороне этого рисунка записана последовательность (а ), представляющая собой последовательность (а„), если читать ее снизу вверх. В средней части рисунка представлен результат перемножения (а ) на элементы (а „), Причем, если элемент (а «) имеет знак «+», то (а„) записывается в строку без изменения, а если элемент (а „) имеет знак « †», то (а„) переписывается в строку со сменой знаков у всех элементов.

Запись очередной строки производится со смещением на один элемент вправо. Просуммировав элементы каждого вертикального столбца, определим значения автокорреляционной функции этой последовательности в дискретных точках. Построив эти значения на графике и соединив соседние значения прямыми линиями, получим автокорреляционную функцию последовательности. Для сигнала с произвольным углом манипуляции функция неопределенности, полученная из (2.14), имеет вид +з1пз ЭгХ(ч, /), (2.27) где Х(т, /) равна (2.23).

Функция Х'(т, /) включает два члена с коэффициентами созз Йг и з(па В!г соответственно. Первый член определяется немодулированным импульсом (первой составляющей сигнала (2.12) ), длительностью /,тю а второй — фазоманипулированной составляющей этого же сигнала). При угле 6г — »и/2 первое слагаемое с множителем совам!г обращается в нуль.

Из (2.27) следует, что тело неопределенности для сигнала с произвольным углом манипуляции будет отличаться от тела неопределенности для угла манипуляции е!г=п/2 наличием дополнительного пьедестала в соответствии со значением первого слагаемого (2.27). В з !.8 было установлено, что помехоустойчивость передачи информации дискретными сигналами во многом определяется взаимными корреляционными свойствами сигналов, переносчиков информации. Длядвух бинарных последовательностей (г-й и /-й) коэффициент взаимной корреляции ро оценивается формулой (1.84). Прн вычислении ры удобно две сравниваемые последователь- ности суммировать по модулю два Учитывая, что нули в суммар- ной последовательности соответствуют совпадению символов 57 в сравниваемых последовательностях, а единицы — несовпадению, величину корреляции можно определить по формуле число нулей — число единиц общее число знаков (нулей и единиц) ' Например: 1 1 1 О О ! Π— 1-я последовательность ! ! О О 1 О 1 — Ря последовательность (2.28) О О 1 О 1 1 1 — сумма по модулю два, откуда рп = (З вЂ” 4)!7 = — 1)7.

Рассмотрев важнейшие показатели фазоманипулированного сигнала (функцию неопределенности (2.23), (2.27), коэффициент взаимной корреляции (2.28)), заметим их прямую зависимость от закона фазовой манипуляции, или, другими словами, от закона чередования элементов ап в кодовой последовательности. Остановимся на этих законах. 2.2. Псевдослучайные бинарные коды 58 Для фазовой манипуляции сигнала используются различные кодовые последовательности, в том числе коды Баркера [18], М-последовательности !16, 20], последовательности символов Лежандра,(16] или Е-последовательности Лежандра, последовательности Холла 120], последовательности с периодом, равным произведению двух простых чисел 117], нелинейные последовательности 12, 9].

С различной степенью подробности перечисленные коды проанализированы многими авторами 12, 6, 9, 1О, 17], поэтому ниже ограничимся лишь кратким рассмотрением М-последовательности, нашедшей наиболее широкое применение. М-последовательности или последовательности максимальной длины могут быть описаны с помощью рекуррентных формул. Когда последовательности записываются через элементы А=(1, О), то для А)а, где л определяется выражением Е =2" — 1, каждый элемент А+с является суммой по модулю 2 определенныхэлементов, выбранных из предыдущих п элементов.

При этом рекуррентная формула, определяющая М-последовательность, имеет вид И!+, — — ан(з Я а,А, ® ... Я пав я> (2,29) где коэффициенгы аг равны либо нулю, либо единице. Начальные п элементов данных последовательностей выбираются произвольно, исключая последовательность, состоящую только из нулей. При специально подобранных значениях коэффициентов (а,) рекуррентная формула (2.29) обеспечивает получение последовательности максимальной дли- хт ны, состоящей из й= =2" — 1 элементов. Алгоритм ..образования М - последователь н о с т и нт иг аз -.

ае (2.29) реализуется с помощью регистра сдвига мг иг иг с обратной связью, схема которого приведена на Рис. 2.5. Каноническая схема регистра сдвига с обратной связью. Схема состоит из трех основных элементов: — элементов памяти 0 с единственным входом и выходом; — переключателей обратной связи, обозначенных через элементы последовательности (аг); — сумматоров по модулю 2 (М2). Как правило, в качестве элементов памяти 0 используются триггерные ячейки. Для синхронизации работы схемы (триггеров) служат тактовые импульсы, равномерно расположенные на временной оси. Схема работает следующим образом. При поступлении очередного тактового импульса хранящиеся в элементах памяти 0 импульсы сдвигаются на один элемент вправо и действуют через элементы (а;) на сумматоры по модулю 2.

В результате на выходе первого слева сумматора по модулю 2 образуется импульс определенного знака, который заполняет освободившуюся после смещения последовательности вправо первую ячейку памяти. Так как основание системы счисления (чисто различных символов) р=2, а число разрядов регистра а, то число возможных различных состояний регистра равно р"=2".

Однако из всех возможных состояний регистра запрещено одно, представляющее собой п нулей, так как появление этой комбинации приводит к обращению в нуль символов во всех других комбинациях. Отсюда число возможных состояний регистра, обеспечиваюшее 59 его нормальную работу, 0=2" — 1. После Е тактов состояние регистра периодически повторяется. В представленной схеме элементы (аз) и сумматоры по модулю 2 образуют обратную связь.

Оказывается, что не при любой обратной связи, т. е. не при всех значениях (аз), схема обеспечивает получение последовательности максимальной длины 0=2 — 1. Рассмотрим требования к обратной связи, обеспечивающие получение М-последовательностей. Математиче- Рис. 2.6. Схема регистра сдвига с обратной связью. ское описание регистра сдвига с обратной связью обычно представляется в виде полинома Р(0) по степеням единичной памяти О. При этом для того, чтобы обеспечить максимальную длину последовательности, прежде чем закончится цикл регистра сдвига, этот полипом должен быть неприводимым (неразложимым на множители) и примитивным (являться делителем полинома 0 +1 только при па=2" — 1 и не быть при гп<1.). Примером его может служить полинам !э (0) ! Я 0 Я 0з (2.30) где 1 обозначает элемент с нулевой памятью 0'=1.

Коэффициенты (а;), соответствующие полиному (2.30), равны щ=1, аз=О, аз=!. Выбирая начальное состояние регистра (например, 010), найдем, что последовательность максимальной длины, обеспечиваемая полиномом (2.30), равна (аа)=01001!1, 0100111, ... (2.31) Схема регистра с обратной связью, отвечающая полиному (2.30), приведена на рис. 2.6.

Рекуррентная формула (2.29), соответствующая полнному (2.30), записывается в виде Ае! — — АЯА в. (2. 32) 60 Эта формула отвечает преобразованиям последовательности в цепи обратной связи. Задав начальные условия А=О; взз=1; в(з=О, по формуле (2.32) нетрудно получить последовательность вида (2.31). Условия выбора коэффициентов (аз), однозначно определяющих вид полинома Р(Р) или вид рекуррентной формулы (2.29), описаны в [!О, 17).

Заметим, что иногда в литературе вместо полинома задержки Р(0) встречается описание характеристического полинома ~р(х), который сопряжен с полиномом задержки. Так, например, характеристический полинам вида ~р(х) =хв+хз+хз+хз+ 1 (2.33) соответствует лолиному задержки Р(о)=1~В'~О*УО (Т)О. (2.34) Степенные коэффициенты в Р(зЗ) по сравнению со степенными коэффициентами ф(х) расположены в обратном порядке.

Рассмотрим основные свойства М-последовательностей. 1. Число символов (элементов) в периоде двоичной последовательности максимальной длины определяется как 7.=2п — 1 2. В М-последовательности длиной в Е элементов содержатся все и-значные комбинации двоичных символов, кроме нулевой. Например, в последовательности, вырабатываемой трехразрядным регистром, существует семь комбинаций, подчеркнутых линиями з з зоо ~пз з зиппо, Выделим несколько свойств М-последовательностей, которые определили другое их название — псевдослучайные последовательности. 3, В каждом периоде последовательности общее число единиц отличается от общего числа нулей не более чем на 1 (свойство уравновешенности). б1 4. В течение периода последовательности половина серий ю единиц и нулей имеет длину 1, одна четверть— 2, одна восьмая — 3 и т.