Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977), страница 5

«3 х «) н1 = о, о е в силу статистической невавнсимостн сигнала и помехи, а также амплитуд помех Х,«) и Х,«). Дли помехи с нормальным распределением амплитуды Х,«) и Х,«) будут иметь одинаковую статистическую структуру и с т )э гт а (А«)х,«)н1~ =~ (А«)х,«) н1 о п Поэтому перепишем (1.64) в виде Ч= (2Е)а)2па, (1.аб) где (1.66) Заменяя квадрат интеграла двойным интегралом, получаем тт т)з =- ~ ~ А (Г) А (Р) Хс(!) Хс(!)) а)Г)Л = 0 3 тт =~ ~А(!)А(1))7л(! — Р) иб1, (1.67) ! Г РзТ Т ) а (!) а (1+ т) Ат, о где а(!) — единичная амплитуда сигнала.

Обозначив т ! "()= Т 1 (') ('+)' о г (т) =)(,(т)/Рз, где г,(т) и г (т) — нормированные автокорреляцпониые функции сигнала н помехи; представим (1.68) в виде т лз.= 2РзТРя Г)гл (т) гз (т) )(т. о Тогда Р, Т =д.,Г. ' и гя (т) гз (т) )Гт о (! .69) 30 где !2„(! — Г) — функция корреляции помехи. Интеграл (!.67) может быть преобразован к виду (!4) т (' г— з-2!В ))~ ) А)) ))~) )Ю]).

)))8) о о Преобразуем функцию, заключенную в квадратные скобки, учитывая, что для широкополосного сигнала интервал корреляции много меньше его периода т — ъ т †, о ! Г А(!) А(! -1-т) Ж= Р,Т Т ] а(Г) а(!+т))(т о Здесь Ро Е Р Т~о аГ в„ (!.70) где то, — приведенная односторонняя спектральная плотность помехи, ь1ф.= (1.71) 2) гп(о) оо о — эффективная ширина спектра помехи, Г= ч=, Чвх го (о) го (ч) Ж о — коэффициент помехоустойчивости, характеризующей увеличение отношения сигнал/помеха, даваемое согласо- ванным фильтром.

Коэффициент Г может быть представлен и в другой форме (1.72) Г= г = 2ТДТ= 2ТДР о (1 73) ) )1(~) Ыс о СО гд-. )7 (о) = г, (о) г, (о), ЬТ = 2 ~ )с (о) о(о — взаимный интер- о вал корреляции сигнала и помехи, ат (1.74) 2а)Я(о) Ж вЂ” эффективная ширина взаимного спектра сигнала и помехи. Величина коэффициента Г, определяемая корреляционными свойствами сигнала, помехи и временем усреднения (периодом сигнала), позволяет оценивать эффективность воздействия различного вида помех на согласованный с заданным сигналом фильтр.

Рассмотрим несколько случаев такой оценки. Воздействие некоррелированных и сильно коррелированных (сосредоточенных по спектру) помех. Если помеха на входе фильтра имеет интервал корреляции, мень- 31 ший интервала корреляции сигнала (такая помеха имеет равномерный в полосе сигнала спектр), то )т (е) = тв(е), мг Ф т =ы1зо 1 2 ) га (т) Ит о В этом случае формула (1.69) с учетом (1.70), (1.73) может быть переписана в виде ц=ц~~Г=2Е/ттп (1 75) При условии ттв=уо, где уо — односторонняя плотность помехи, имеет (1.76а) ц=2Е[[то или ц= (Р,[Р ) 2Ц„Т. (1.766) Покажем, что формулы (1.76), полученные для й.коррелнрованной помехн, определяют макснмально возможное отношение пятнал[помеха на выходе линейной системы. Для этого найдем для линейной системы с импульсным откликом й(Г) составляющне сигнала зе(Т) н шума а'„(Т) на выходе. Для этях составляющих в момент времени Г=Т в соответствии с (1.57), вводя новую переменную Г =Т вЂ” й а затем заменяя И на й получнм т з,(Т) = 1й(Г)з(Т вЂ” Г)ИД а рт [т л', (Т) = ~ ~ й (Г) л (Т вЂ” Г) И( [~ = о тт = ) ) Ь (Г) Ь (Р) и (Т вЂ” 1) л (Т вЂ” И) о( ои = е о тт т = ~ )г й (1) й (П) Е (à — П) ИИ( = ~ [й (1) [ЧГ.

во о Подставляя полученные значення для зо(Т) н пзо(Т) в (1.59) прн у=24, получаем т т ле (Т) — 2йз, (Т)= ) [Ь (1)] т Л вЂ” 2й ~ й (Г) з (Т вЂ” Г) ЛГ = ш1 и о о нлн т [й (6 — йз (Т вЂ” Г)[з Лг — йз ~ [з (Т вЂ” 1)[з и = ш1 п. (1.77) Ою Разность ! Ь77) будет минимальной, когда второй интеграл имеет максимальное значение, а первый — мнннмальнок Чтобы второй интеграл был максимальным, необходимо выбрать Т не мень.

шим времени действия сигнала на входе. Прн этом второй интеграл будет определять удвоенную энергию сигнала. Первый интеграл будет минимален и равен нулю при й(г) =йз!7 †)), т. е. при согласованном с сигналом фильтре. Таким образом, согласованный фильтр обеспечивает максимально возможное отношение сигнал/помеха на выходе при выделении сигнала из белого шума. Из анализа (1.76) следуют важные выводы.

Во-первых, максимальное отношение сигнал/помеха на выходе согласованного фильтра при помехе типа белого шума не зависит от формы сигнала и равно отношению удвоенной энергии сигнала к спектральной плотности шума. Следовательно, если выделение сигнала происходит на фоне только внутренних шумов приемника, то помехоустойчивость приемников, согласованных с сигналами разной формы, будет одинаковой. Во-вторых, как следует из (1.76б), для подавления приемника при заданной мощности полезного сигнала Р, и требуемом отношении сигнал/помеха г/,реа на его выходе необходимо создание помехи тем большей мощности Р, чем больше величина 2Л/,ф,Т.

Причем, чем больше эффективная ширина спектра помехи ст/эфп, тем больше должна быть и мощность помехи Р, (мощность передатчика помех). Минимальное значение мощности помехи при заданном значении дерев достигается при таком соотношении эффективной ширины спектра помехи и ширины спектра сигнала Р, когда Л/,ф, Р (случай сосредоточенных по спектру помех). При Л/эфп — Р из (1.76) получим г)= (Р,/Р,) 2Рт.

(1.78) Если мощность помехи Р представить состоящей из суммы мощностей внутреннего шума Рю и собственно помехи Р', то из (1.78) получим Ра д=Р Р, 2РТ, где Рш — — МоР. Из формулы (!.78) следует, что чем больше база сигнала, тем, при заданных значениях д, Р„требуется большая мощность помехи для подавления системы.

3 — 75! ЗЗ И наконец, в-третьих, чем больше база используемого сигнала, тем при меньших отношениях сигнал/помеха по мощности на входе привмника возможна его нормальная работа. Поясним этот полезный вывод примером. Предположим, что база сигнала В=2РТ=1000. Требуемое отношение сигнал/помеха на выходе приемника, обеспечивающее решение заданной задачи д,р,а=10. Тогда отношение сигнал/помеха по мощности на входе приемника, получаемое из (1.78), можно записать как д,х= = (Р./Р ). ~-'у.~+а/2РТ=0,01.

При столь малых отношениях сигнал/помеха на входе приемника можно говорить об энергетической скрытности сигнала. Действительно, отношение спектральных плотностей сигнала к помехе 6',/т',= (Р,/Р,) „на входе приемника может быть в (г/, з~/2РТ) раза меньше единицы. При этом, если на приемном конце не знать формы используемого сигнала и иметь приемник, рассчитанный в лучшем случае на полосу сигнала Р (энергетический приемник), то сигнал не обнаруживается. Заметим, что второй и третий выводы можно объяснить с позиций сжатия сигнала с большой базой по времени и спектру, за счет чего обеспечивается на выходе приемника требуемое превышение сигнала над помехой. Если, наоборот, у сигнала интервал корреляции значительно меньше интервала корреляции помехи (случай узкополосной в пределе синусоидальной помехи), то /с(т) =г,(т), ЬР,ф — — — — Р, 2 ) г~ (~) Ъ о где Р— ширина спектра сигнала.

Поэтому, учитывая последнее выражение, перепишем формулу (1.73) 1в виде Г=2РТ (1.79) и, следовательно, г/=г/, 2РТ. (1.80) Представим формулу (1.80) в ином виде д= 2РТ =,—. (Е/Т) 2Е Р ч~ Здесь т'1,=Р„/Р может быть названа приведенной удельной плотностью помехи. В таком виде последняя формула по своей структуре аналогична формуле 34 (1.75), которая получена при условии, что на входе системы действует широкополосная флуктуационная помеха. Следовательно, узкополосная помеха, поступая на вход системы, оптимальной для широкополосного сигнала, декоррелируется, т. е. преобразуется в флуктуационную помеху с интервалом корреляции, равным 1/Р. Поясним сказанное примером.

Рассмотрим коррелятор, представленный на рис. 1.3. Здесь у(Г) включает широкополосный сягиал з(/) и сосредоточенную помеху л(/) мощностью Р . Для составляющей сигнала можно записать з(/)за(/) =Азо. Считаем для определенности, что з(/) и з*(/) имеют амплитуды Ач н равномерную спектральную плотность в полосе Р.

В результате перемножения образца шмрокополосного сигнала Т н гармонической помехи в точке а образуется помеха, имеющая фор- " >( Ллмеозлпаз му сигнала з(1) па входе, с плотностью уз~ =Р /Р. Таким обра- 5 (г/ зом, на выходе перемножнтеля (точка а) произошли демодуляции сигнала (из широкополосного в уз- Рнс 13 )сарр~в"тор' кополосный) и модуляция помехи (из узкополосной в широкополосную). Естественно, что интегратор подчеркивает узкополосную компоненту, н на его выходе получим о=А~а/т~1в(1/Т) =2Е/тзш. Таким образом, при воздействии узкополосных (синусоидальных) помех коэффициент Г для широкополосных систем, использующих сигналы с базой В»1, находится из формулы (1.79), в то время как для узкополосных систем, использующих сигналы с базой В 1 при условии, что частота помехи близка частоте сигнала, можно получить Г=2РТ=!.

Следовательно, приемник широкополосных сигналов, представляющий согласованный с сигналом фильтр или коррелятор, при воздействии синусоидальных помех обеспечивает на выходе в 2РТ раза более высокое отношение сигнал/помеха, чем оптимальный приемник узкополосного сигнала при тех же помехах. Воздействие импульсных помех. Помехоустойчивость широкополосных и узкополосных систем относительно импульсных помех примерно одинакова и равна Г= = (2РТ) а. 3» 33 Рассмотрим доказательства этого, основанное на прохождении сигнала н помехи одинаковой амплитуды через коррелятор, изображенный на рис. 1.3.