Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977), страница 2

(В дальнейшем вид помехи всегда будет оговариваться особо.) При приеме сигнала, искаженного белым гауссовым шумом, оптимальный приемник сигнала с полностью известнымн параметрами вычисляет корреляционный интеграл вида г г= ~ у(!) з" (8) ог, (1.13) о где зе(!) — опорный сигнал, в данном случае полностью соответствующий входному (зе(4) =з(1) ). Формула (1.13) определяет алгоритм работы корреляционного приемника, включающий перемножение у(!) на зе(!) и операцию интегрирования.

Отметим, что коррелятор является устройством с переменными параметрами, так как режим его работы зависит от изменения зе(!) во времени. По атой причине такой приемник называют активным фильтром. Возможен еще прием сигнала с помощью пассивных фильтров. Напряжения и(!) на выходе четырехполюсника в момент можно найти с немощью интеграла Дюамеля 8 п(1)!= ) у(1,)а(! — '1,)Жы (1.!4) о где а(!) — импульсная характеристика четырехполюсника. Потребуем, чтобы в момент окончания сигнала (1=Т) напряжение и(1) с точностью до множителя и равнялось бы напряжению иа выходе коррелятора (1.13) и(Т) = ах.

(!.!5) Подставляя в формулу (1.14) (=Т и заменяя б на 1, получаем т и(Т) =4) У(1) Ь(Т вЂ” !) ~И, (1.!6) Сравнивая (1.16) с (1.!3), замечаем, что равенство (!.15) возмбжно, когда пассивный четырехполюсннк будет обладать нмпульсной характернствкой вида й(1) =йз(Т вЂ” !), (1.17) Полученная импульсная характеристика есть зеркальное отображенне сигнала с запаздыванием Т. Фильтр, нмеющнй импульсную характеристику (1.17), называют согласованным фильтром.

Функция оередачн согласованного фнльтра, которая находятся как преобразование Фурье от импульсной характернстнкн, нмеет внд У([2яУ) = ) Ь(1) ехр [ — [2пгт) Ж = й ') з(Т вЂ” !) ехр [ — !2вг!] г11= = й ехр [ — /2п/Т[ ) з (!') ехр [[2л[1'1 Ж', (1.18) где прн переходе к последнему ннтегралу'пронзведена замена !'= =Т!.

Спектр входного снгнала з(!) равен С (!2п1) = ) з(!) ехр [ — [2вг!1 г!и (1.19) Сравнивая выражения (1.19) и (1.18), находим У (12л)) = лег ( — !2п[)'ехр [ — !2я[Т) = = АО (!2я!) ехр [ — !/2е!Т). (1.20) Здесь сг О2гс[) обозначает функцию, комплексно-сопряженную со спектром сигнала 6(!2п1). Таким образом, с точностью до амплитуды и постоянной задержки, определяемой множителем А ехр[ — !2п)Т1, функция передачи согласованного фильтра представляет собой функцию, комплексно-сопряженную со спектром сигнала, для которого этот фильтр является согласованным. Поэтому согласованный фильтр называют еще сопряженным фильтром. Покажем, что функции Х(т, 1) и [Х(т, 1) [ могут ~быть интерпретированы как частотно-временной отклик оптимального приемника (коррелятора).

С этой целью будем полагать, что на вход приемника поступает сигнал, имеющий частотный сдвиг ) и задержку т относительно опорного сигнала. Будем полагать также, что и(!) =О. 10 метрию функции неопределенности относительно начала координат и, наконец, третье свойство говорит о том, что объем тела неопределенности, ограниченный функцией (Х(т, )) (о есть инвариант, который не зависит от формы сигнала (принцип неопределенности). Пользуясь образным сравнением Зиберта [9, с. 67], можно сказать, что «тело неопределенности подобно куче песка: изменяя вид сигнала, можно изменить форму кучи, но нельзя избавиться хотя бы от одной песчинки».

1.3. Связь функции неопределенности с точностью оценки параметров сигнала, характеристиками обнаружения и разрешения В общем случае потенциальные возможности совместного измерения запаздывания и допплеровской частоты могут быть охарактеризованы совместной апостериорной плотностью вероятности Р[т, )/у(1)], полученной в результате приема реализации у(1). Если н вход приемника поступает аддитивная смесь сигнала со случайной фазой и белого гауссова шума (1.1!), то [8, 13] Р[т, Иу(1)]=Й~1о[2з(т, 1)/)Уо].

(1.27) Здесь й1 — постоянная величина; 1о( ) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; г(т, 1)— огибающая напряжения на выходе согласованного с сигналом фильтра (коррелятора). Результирующая огибающая напряжения иа выходе согласованного фильтра л(т, !) определяется двуми составляющими: огибающей полезного сигнала 5(1) и помехой п(1). Естественно, что помеха вызывает изменение результирующей огибающей. Зля того чтобы выразить апостериорную вероятность Р[т, !/у(1)] через параметры функции неопределенности, используем следующий искусственный прием. Поскольку помеха влияет на результирующую огибающую, то можно предположить, что на вход согласованного фильтра поступает сигнал со случайными параметрами, мгновенные значения которых могут отличаться от параметров, для которых фильтр является согласованным. Такой подход справедлив, когда отношение сигнал/помеха много больше единицы [6, 13].

Предположим, что фильтр согласован с сигналом, имеющим параметры т=О, 1=0. Тогда для входного снг- 13 нала с параметрами т~О, /ФО огибающая напряжения на выходе согласованного фильтра равна [Х(т, /) [. В этом случае выражение (1.27) с учетом (1.25) записывается в виде Р[т, 1/р(Р)) =й1'~~ [!Х( /)[ ) где т, / — случайные параметры с нулевым средним. Далее, при 2Е//!/о))1 функцию Бесселя можно приближенно представить в виде экспоненты, тогда Р [ъ // у(Р)) = й, ехр ~д [ Х (ч, /) [~.

(1,28) Кроме того, учтем что при больших отношениях сигнал/шум ошибки оценки т и / всегда меньше размеров основного пика тела неопределенности. Поэтому, рассматривая только область сильной корреляции, непрерывную функцию неопределенности в окрестности точки максимума приближенно можно представить параболлоидом вида Х(а, /)-1+ — Х (О, 0)+ Х|1(0, 0)+ т/Х (О, 0), (1.29) гае (1.81) 14 аа)х(у, «)1 Х„,(0,0) = о, =о — обозначения частных производных при ее разложении в ряд Тейлора, в котором отброшены слагаемые третье- го и более высокого порядка малости.

С учетом (1.29) формула (!.28) может быть перепи- сана в виде Р[т,//у(Р))=/г,ехр~ — (Х (О''-О) 2 + + А'„(О, 0) / + Х.1(0, 0) т/) ~, (1.30) где йо=х«ехр (2Е/14о). Сравнивая (1.ЗО) с двумерным нормальным законом распределения, 2 (1 — р') а', (! — р') а,а, Хаа 2 (1 ра) аа где р=озм/о~па†коэффициент корреляции, нетрудно убедиться, что апостериорная вероятность (1.30) является двумерным нормальным законом распределения случайных величин т и 1.

Из сравнения (1.30) и (1.31) находим 1 о',= „. (1.32а) (1.326) (1.32в) где — ~ Я (1) 8 (!) ф — Ра Применяя теорему Парсеваля, получаем Из двух последних выражений находим ь2Е )) ~ ®~ (! .34) Из (1.34) следует, что Р, характеризует эффективную полосу сигнала з(1). Аналогично находим коэффициент Т„определяющий эффективную длительность сигнала Р*,= — Х„(0, 0); Т*, = — Х» (0, 0); р = Х (Ров! ~7 = 2Е/Уо. Заметим, что р в (!.33) было определено после подстановки в (1.32в) значений а и о! из (1,32 а, 6).

Выразим коэффициенты Р„Т, и р через параметры сигнала И наконец, коэффициент частотно-временной связи мож- но получить в виде [2, !21 Р=р т а.о~ ~ т твд ~11Р(г)(3(г)1'"1 ЭХ1 хо где Ч'(1) — функция фазовой модуляции сигнала. Коэффициент частотно-временной связи является мерой фазовой модуляции сигнала, характеризующей набег фазы за длительность импульса. Если мгновенная частота постоянна, то р=О. С учетом (1.34, 1,35, 1.36) из соотношений (1.32) следует, что чем больше отношение сигнал/шум, тем меньше дисперсия оценок.

Дисперсии оценок частоты и запаздывания будут минимальными при О=О. Прн этом оценки т и 1 оказываются некоррелированными. Далее, при фиксированном значении д=2Е/Уо»1, чем больше эффективная полоса сигнала Р, и эффективная длительность сигнала Т„тем меньше дисперсия оценок соответственно по задержке и частоте. В этом смысле пределов для повышения точности измерения частоты и задержки не существует. Характерно, что важнейшие параметры сигнала Р„Т„р однозначно определяются видом функции неопределенности сигнала Х(т, 1) и между этими параметрами имеется связь. Так, Габор 118) определил нижнюю границу произведения эффективной полосы на эффективную длительность: Р,Т,) и. (1.37) Это неравенство характеризует принцип неопределенности сигнала.

Более общая запись принципа неопределенности задается неравенством вида лз Тз (1 рз) )пв (1.38) из которого при р=О следует (1.37). Простое физическое толкование значения величины этого произведения нетрудно уяснить из зависимости, которая получается в результате перемножения (1.32а) и (1.32б) при р=О: о,о1 — Ы,) Р,Т,2Е. (1.39) Из равенства (1.39) следует, что чем выше произведение эффективной длительности сигнала иа эффективную ши- 16 (1.40) рр йТр(/) =1 ~~~]Х (я /) ~ др.

(1.41) Аналогично мерой разрешения по частоте при отсутст- вии и при наличии запаздывания сигнала будут следую- щие зависимости: йг' (О)= ]1Х(0, /)1р1(/, (1.42) бг,()= ]'1х(ч,/)1'и/. Мера одновременного разрешения по времени и частоте определяется произведением АТ (0)ЛР (О). (1.44) Разрешающую способность по главным осям (т и /) можно условно определить как величину сторон ЬТр(0) и Лгр(0) эквивалентного прямоугольника с высотой, анной единице, и площадью, ограниченной кривыми Х(т, 0)1' и 1Х(0, /) 1з.