Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007), страница 9

Более подробно этот случай обсуждается в ~ 2.5. 2А. Комплексная огибающая радиосигнала До обсуждения более сложных моделей М-ичной передачи сигналов целесообразно сделать отступление от основной линии с тем, чтобы вспомнить некоторые важные факты, касающиеся представления радиосигналов. Начнем с замечания о том, что действительная огибающая Я(~) в (2.24) оказывается воображаемой, т.е.

служит подходящим искусственным инструментом, тогда как наблюдаемой физической реальностью является только собственно сигнал е(~). Более того, выражение (2.24) не позволяет однозначно определить огибающую сигнала е(~). Действительно, как следует из (2.24), в качестве закона <фззовой модуляции» можно выбрать произвольную функцию у(~), которая в комбинации с соответствующей ей «огибвющей» Я(8) = е(1)/сов(2н/е1+ у(8)) сгенерирует заданный сигнал е(Ф). Следовательно, необходимо некоторое соглашение о том, что понимать под огибающей или амплитудной модуляцией Я(~). Общепринятой основой для введения понятия огибающей служит преобразование Гильберта. Физически преобразование Гильберта — попросту фильтрация, при которой фазы всех гармоник сигнала независимо б(К .

«б рб 4ф я((8) = — / дд. (2.33) Используя определение преобразования Гильберта и теорему Парсе- валя, не составляет труда убедиться в справедливости следующих соотношений: з(1) = — — 1 (1д, 22 1 1 — (2 что является не чем иным, как обратным преобразованием Гильберта, и (и, ъ ) = (и(, ч ( ), (и, (б ( ) = — (и (, ч). (2.34) Первое из выражений (2.34) демонстрирует, что преобразование Гиль- берта не изменяет скалярного произведения сигналов и(1), е(1), тогда как второе устанавливает соотношение между скалярными произведениями одного из сигналов и преобразования Гильберта другого.

Возвращаясь теперь к определению огибающей сигнала, положим К(б( = (/ (б( -'; (б(. (2.24( На первый взгляд данное определение огибающей кажется искусственным, однако более пристальный анализ обнаруживает его адекватность. Действительно, как можно было бы вычислить неизвестную постоянную амплитуду А немодулированного непрерывного колебания наблюдаемого сигнала и(1) = А сов(222 1е1+ У)? ОДним из возможных ваРиантов ЯвлЯетсЯ использование самого сигнала и его копии е(1), сдвинутой на угол — я/2, р р. П ф р;А=К 2(б(4 ~(б(.К сразу видно, для немодулированного сигнала и(п) его сдвинутая по фазе копия е(1) являетсл не чем иным, как трансформантой Гильберта: е(1) = и((1).

Таким образом, полученный результат полностью согласуется с (2.35). Возьмем теперь модулированный сигнал з(1). Его огибающая Я(1) в момент времени 1 представляет собой мгновенное значение амплитуды. В случае радиосигнала Я(1) изменяется достаточно медленно от частоты сдвигаются на один и тот же угол — х/2, а их амплитуды не претерпевают никаких изменений. В частотной области подобное преобразование означает просто умножение спектра сигнала на — у для положительных и на у для отрицательных частот и, следовательно, передаточная функция фильтра Гильберта имеет вид ббя(У) = — ущп~, где е1япх = 1,х > О и е1япх = — 1, я < О.

Непосредственное вычисление обратного преобразования Фурье дает импульсный отклик фильтра Ья(1) = 1~я1, так что во временной области преобразование (трансформанта) Гильберта я ( (1) сигнала я(1) может быть представлено интегралом свертки (4В Г д. К «д д по сравнению с частотой несущего колебания соз 2яуоФ. Поэтому в пределах достаточно малого временного интервала, охватывающего момент $, з(1) может трактоваться как немодулированное гармоническое колебание с амплитудой Я(»).

Как при этом найти значение амплитуды Я(»)? Точно так же, как это было сделано для немодулированного сигнала, т.е. фазовым сдвигом на — л'/2 Яйд (преобразованием Гильберта) и применением теоремы Пифагора (2.35), что иллюстрируется рис. 2.8. Таким образом, затруднение с неоднозначностью толкования огибающей радиосигнала успешно преодолено, и опре«бд деление (2.35) может далее использоваться безоговорочно.

Анализ радиосигналов значительно упрощается при леиию огибающей введении в обращение еще одного удобного инструмента — комплексной огибающей Я(?), являющейся комплекснозначной функцией времени и определяемой непосредственно равенствами (2.24) или (2.25), как только смысл действительной огибающей установлен: ~(?) = ~к(?) + Ф«д(?) = Я(й)[соя 7(?) +,? з1п7(б)) =- Я(?) ехр[?.?(?)), (2,38) где использована формула Эйлера, а « = »? — 1.

Как следует из последнего соотношения, комплексная огибающая объединяет в себе законы как амплитудной, так и угловой модуляции сигнала. Если рассматриваются несколько сигналов одной и той же несущей частоты, их отличие состоит только в законах модуляции, и, следовательно, в комплексных огибающих содержится их исчерпывающее описание. Несомненно, комплексная огибающая наряду с действительной является лишь удобной математической фикцией, и «подлинный» сигнал (2.24) выражается через нее как з(?) = Не [о(?) ехр(~'2я(о?)1 (2.37) где Не обозначает удержание лишь вещественной части комплексной величины, а второй сомножитель в квадратных скобках представляет собой комплексную запись непрерывного немодулированного несущего колебания частоты Д формулой Эйлера.

Обратившись снова к рис. 2.8, можно видеть, что в то время как согласно (2.37) з(?) есть вещественная часть комплексного сигнала Я(») ехр()2я1е»), мнимая часть последнего оказывается трансформантой Гильберта этого сигнала з д («) = 1т [Я(») ехр(?2я?о?)). С этим связан еще один вариант комплексного эквивалента реального сигнала, называемый аналитическим сигналом: з(?) = Я(?)ехр(?2я~б1) = з(?) +узд Я. (2.38) д.д. К б д д 49)) Формально аналитический сигнал использует комплексную запись для универсализации факторизации в модели радиосигнала (2.24) так, чтобы первый сомножитель учитывал наряду с амплитудной и фазовую модуляцию, а второй отвечал только за немодулированное непрерывное колебание несущей частоты.

Опираясь на базовые положения спектрального анализа, нетрудно доказать, что спектр комплексной огибающей радиосигнала (2.37) концентрируется вокруг нулевой частоты. Следовательно — поскольку при заданной несущей частоте сигнал полностью определяется своей комплексной огибающей, — последняя является низкочастотным эквивалентом радиосигнала, упрощающим аналитическую и вычислительную работу за счет устранения зависимости от несущей частоты. В последующем нам понадобится обобщенная версия скалярного произведения (2.5), применимая не только к реальным сигналам и(1), п(1), но и к их комплексным эквивалентам — аналитическим сигналам и(1), б(1) или комплексным огибающим У(8), 1д(М).

Подобное модифицированное скалярное произведение может быть введено как т т (и й) = / и(1)й'(г)<й = д(' У(1)1'"(1) М = Щ'1т), (2.39) о о где комплексное сопряжение используется для сохранения равенства между скалярным произведением вектора на себя и квадратом длины вектора (всегда вещественным и неотрицательным), тогда как совпадение скалярного произведения аналитических сигналов и комплексных огибающих следует из определения (2.38).

В частности, для сигнала з(1) с энергией Е согласно соотношениям (2.36) и (2.35) т г т т (Б Б) оБог ~ ~Б(1)~г,11 / Бг(1),11 ~ г(1),11+ / г (1),11 2Е (2.40) поскольку преобразование Гильберта не влияет на амплитудно-частотный спектр и, следовательно, энергии з(1) и зг (1) всегда совпадают. Возьмем теперь два сигнала зь(1), з~(1) и вычислим квадрат расстояния между их комплексными огибающими Яь(1), Я(1): д~(Бю Б~) = 6Бь — Б~~~г = (Бь — БОБл — Б~) = 2Еь+ 2й — 4Ве(ришад'ЕЛ], (2.41) где учтена линейность скалярного произведения (2.39) и соотношение (2.40); а ры, как и в (2.16), коэффициент корреляции, но адаптированный к комплекснозначным сигналам, например комплексным огибающим ры = .

' . = ( Яь(1)Б~*(1) М. (2.42) (Бю Бд) 1 У' . !!Бь!! !!Бй Соотношение (2.41) может рассматриваться как теорема косинусов для комплексных векторов, а Ве (ры) как адекватная мера сходства меж- Глава а Классические задачи приема и синтез сигналов ду комплексными огибающими сигналов зь(1) и з~(1).

Используя равенство скалярных произведений аналитических сигналов и комплексных огибающих (2.39), а также равенства (2.38) и (2.34), интеграл в (2.42) может быть выражен как / 4(~)Я,*(~) й = о т = / (вь(1) + аль~ Я) (з~(~) — ~в~Я) Й = 2(яь,я~) + мяу, ~,8~), о так что Ве (ры) = рм, т. е. совпадает с обычным коэффициентом корреляции сигналов зь(~) и з~(Ф), определяемым соотношением (2.14).

Учет этого в (2.41) позволяет связать расстояние между парой сигналов с расстоянием между их комплексными огибающими: и (Бю Я~) = 2Н (8ь, 81). (2.43) Последний результат является одним из многих примеров продуктивности понятия комплексной огибающей: операции с комплексными огибающими зачастую значительно компактнее и проще, чем с радиосигналами непосредственно, исключая громоздкие тригонометрические выкладки, связанные с несущим колебанием.

2.5. ЛХ-ичная передача: некогерентные сигналы Продолжим рассмотрение М-ичной передачи данных, но теперь в отличие от 3 2.2 и 3 2.3 будем полагать, что сигналы не полностью детерминированы. Как уже отмечалось, в реальных сценариях высока вероятность того, что передатчик либо канал не смогут сохранить когерентность радиосигналов,и фазы последних на приемной стороне окажутся случайными. При этом значения начальных фаз не могут участвовать в распознавании сообщений, и различия между всеми сигналами должны быть более глубокими, чем только фазовый сдвиг.