Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007), страница 13

2.14, а). Согласно правилу (2.54) следует найти точку этой траектории, ближайшую к вектору наблюдения у, и выдать соответствующее ей значение Л в качестве оценки. Дополнительное пояснение этому дает рис. 2.14, б, где приведена характерная зависимость расстояния между наблюдением и копией сигнала от значения Л: МП оценка Л отвечает такому значению параметра, которое минимизирует зто расстояние.

д(ил.У) I 'лф л Ф ~л м нл, б) Рнс. 2.14. Пояснение к оценке МП В зависимости от влияния на энергию сигнала параметры классифицируются на энергетические и незнергетические. В случае неэнергетического параметра Л энергия сигнала в(1; Л) не зависит от конкретного значения Л,т.е.

Е(Л) = )" зг(Х;Л)«1 = Е. К примеру, амплитуда и длительность сигнала являются энергетическими, тогда как запаздывание, частота или начальная фаза — неэнергетическими параметрами. Ясно, что оценка неэнергетического параметра представляет собой частный случай различения конкурирующих сигналов равной энергии, для которого правило максимума корреляции (2.8) в новых обозначениях предста- вимо как г(Л) = шах л(Л) ~ Л, л (2.55) Л = агя шахз(Л), л где согласно (2.7) г(Л) = (у,вл) = ~ рЯл(1; Л) 4С (2.56) 2.8.2. Точность оценки Вспомним теперь факт, достаточно глубоко обсуждавшийся в ~ 2.2 и 2.3, критического влияния на достоверность различения сигналов коэффициента корреляции (2.14).

В задаче оценки параметров распознаваемые сигналы есть просто копии з(1; Л) с различными значениями параметра Л. Во многих практических ситуациях корреляция двух любых таких копий з(1; Л1) и з(1; Лз) определяется лишь их рассогласованием по параметру Л, т. е. разностью Лз — Ль а не значениями Ль Лэ в отдельности, так что, положив Л1 = О, Лз = Л, можно представить коэффициент корреляции (2.14) в случае неэнергетического параметра Л как р(Л) = ' = — / з(1;0)з(Ф;Л)<й. (2.57) Как обычно, коэффициент корреляции характеризует степень сходства двух сигнальных копий в зависимости от их рассогласования по параметру Л.

Очевидно, р(Л) ( р(0) = 1, что предсказуемо и естественно: сигнальные копии, рассогласованные по значению Л, не могут иметь большего сходства, чем полностью совпадающие, которые, в свою очередь, имеют стопроцентную корреляцию. Другим свойством величины (2.57), вытекатощим из ее зависимости только от рассогласования Л = Лз — Ль является ее четность: р(Л) = р(-Л). Рис. 2.15 демонстрирует характерные примеры зависимости р(Л) от Л для двух гипотетических сигналов.

Сплошная кривая является более гладкой, чем пунктирная, свидетельствуя о меньшей чувствительности перво- о корреляция между наблюдаемым колебанием р(1) и сигналом з(1; Л), зависящая от значения измеряемого параметра Л. В свете физической трактовки корреляции правило оценки (2.55) имеет весьма прозрачную интерпретацию: МП оценка Л отвечает такому значению Л, при котором сигнал з(1; Л) имеет максимальное сходство с наблюдаемым колебанием д(Ф). ~~(68 Глава 2. Классические задачи нриема и синтез сиеналов го сигнала к изменению параметра Л: сходство его копий, обусловленных рассогласованностью по параметру Л, вьппе, чем у копий второго сигнала при том же рассогласовании.

На этом этапе необходимо оса(Л) тановиться на одной детали, о которой сознательно умалчива- 1"1 лось вьппе. Как легко понять, то 1 или иное правило решения опти- 1 мально только в смысле стро1 го оговоренного критерия каче- 12 ства. Правило МП, на которое мы до сих пор опирались, оптимально по критерию мини.иу,иа Рис. 2.1а.

Характерные зависимости р(Л вероятности огиибки, применение которого вполне естественно и адекватно при различении сигналов дискретного множества или оценке дискретного параметра. Однако ориентация на этот критерий при измерении непрерывного параметра для практики нетипична.

В этом случае гораздо уместнее характеризовать качество оценки с позиций точности, т. е. отклонением е = Л вЂ” Л оценки параметра Л от истинного значения Л. Прежде всего разумно потребовать, чтобы математическое ожидание ошибки е, усредненное по всем возможным наблюдениям у(г) при фиксированном истинном значении Л, было равно нулю, т. е. в среднем оценка Л совпадала с истинным значением Л: е = Л вЂ” Л = 0 са Л = Л, ЧЛ. (2.58) Оценка, для которой выполняется данное равенство, называется несмещенной.

Однако выполнение (2.58) еще не дает оснований считать оценку хорошей, поскольку критически важен также диапазон разброса случайных флюктуаций оценки относительно истинного значения параметра. Традиционной и адекватной мерой разброса служит дисперсия ошибки тат 1е) = (Л вЂ” Л)2, поэтому естественно искать правило, гарантирующее наряду с несмещенностью минимум дисперсии оценки тэг Я для любых истинных значений Л: иаг(е) = (Л вЂ” Л)2 = шш, ЧЛ. Как можно видеть, минимизация дисперсии несмещенной оценки является естественной формализацией стремления к наивысшей точности измерений. Одним иэ фундаментальных результатов теории оценок является неравенство Крамера — Рао, устанавливающее нижний предел дисперсии любой несмещенной оценки.

Оценка, дисперсия которой лежит на этой гра- ».». 0 р р 69)) нице, называется эф4е»«тивной. Измерительные задачи, в которых возможны эффективные в строгом смысле оценки, достаточно редки, однако в практическом отношении это не является сколько-нибудь значимой неприятностью. Дело в том, что МП оценка, как доказывается в классической теории оценок, обладает свойствами ась»«птпотппческоб несмещенности и эффективности. Термин «асимптотически» в физической трактовке подразумевает «в ситуациях, когда необходима высокая точность измерений» или, еще конкретнее, когда отношение сигнал-шум (либо время наблюдения) достаточно велико.

Поэтому в любой задаче, где необходимы измерения с малой погрешностью, правило МП оптимально не только по критерию вероятности ошибки, но и по критерию точности оценки. Разумеется, в реальных приложениях, как правило, требуется высокая точность измерений, чем и объясняется повсеместное практическое использование оценок МП. Для неэнергетического параметра Л граница Крамера-Рао принимает особенно простой вид и служит практическим инструментом для вычисления дисперсии МП оценки: 1 чаг1Л) — айаг (е1 —, д » 1. Ф'(0)Ч' (2.59) Присутствие в знаменателе правой части (2.59) отношения сигнал— шум дз = 2Е/Ме неудивительно: при любом разумном правиле оценки рост отношения сигнал — шум должен приводить к уменьшению ошибки, т. е.

улучшению точности измерений. В то же время зависимость от второй производной коэффициента корреляции нуждается в более подробном комментарии. Из курса математического анализа известно, что вторая производная говорит о кривизне илн остроте функции в рассматриваемой точке и для выпуклой кривой имеет отрицательный знак.

Острота р(Л) в нулевой точке, в свою очередь, является индикатором чувствительности сигнала по отношению к рассогласованию по Л: чем острее р(Л), тем быстрее копия сигнала, расстроеннзл по Л, теряет свое сходство с исходной. Напомним еще раз, что оценка есть частный случай различения сигналов, а достоверность последнего тем вьппе, чем меньше сходство сигналов. Это полностью объясняет зависимость точности измерения Л от рл(0): если копии з(1; Л) имеют слабое сходство между собой даже при близких значениях Л, надежность их распознавания выше, чем в случае сильного сходства.

Последний факт подсказывает общее направление синтеза сигналов в задачах оценки неэнергетического параметра Л. Для достижения нужной точности не за счет «грубой силы», т. е. простого увеличения энергии, следует синтезировать сигналы, у которых коэффициент корреляции р(Л) как функция Л подобен «острому» импульсу. Глава й Классические задачи приема и синтез сигналов 2.9. Оценка амплитуды Задача измерения интенсивности (уровня, мощности) сигнала встречается во многих приложениях: от телевизионного вещания до сотовой связи и цифровых ИКМ или КАМ линий передачи данных. Сформулируем ее как задачу измерения неизвестной амплитуды А, постоянной на интервале наблюдения [О, Т). При этом принятый полезный сигнал может быть представлен моделью в(~; А) = Ав(1), где з(8) — детерминированный эталонный сигнал, амплитуда которого по определению полагается равной единице.

Как видно, в(1; А) есть результат масштабирования эталонного сигнала умножением на неизвестный множитель А. Положим энергию эталонного сигнала равной Е. Тогда энергия Е(А) сигнала с амплитудой А и его корреляция г(А) с наблюдением у(1) найдутся как т т т Е)А) = / )1А)а = А /Р)1)в=А е, *)А) = /уф )~А)а= А, о о о где т г = ( у(~)в(с) ))с (2.60) о — корреляция наблюдения с эталонным сигналом. Обращаясь к корреляционной версии правила минимума расстояния (2.8) и замечая, что роль Ео и гь теперь принадлежит Е(А) и г(А) соответственно, отыскание МП оценки может трактоваться как максимизация по А разности г(А) — Е(А)/2. Подстановка приведенных выше равенств для энергии и корреляции представляет эту разность в виде квадратичного бинома Аг — А~Е/2 относительно А с известными коэффициентами.

Результатом его максимизации является МП оценка А= —. Е Таким образом, оптимальная оценка амплитуды получается вычислением корреляции наблюдаемого колебания с эталонным сигналом и умножением результата на постоянный множитель 1/Е. После нахождения В следующих параграфах будут рассмотрены примеры конкретных задач оценки как энергетических, так и незнергетических параметров. Объединяющая цель при этом остается прежней: выяснить, какую роль в задачах оценки может играть технология расширения спектра. зл0. о,.„, ф., Д математического ожидания г из (2.60) т т т г = / р(1)в(ь) д1 = ~ в(1; А)в(1) Й1 = А / в (1) й = АЕ видно, что значение А в среднем точно совпадает с истинным значением амплитуды: А = г/Е =- А, т.е.