Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007), страница 10

Ситуации, отвечающие подобному положению, известны под названием некогерентного приема. Предположим, к-й радиосигнал зь(~) имеет закон модуляции, описываемый детерминированной комплексной огибающей Яь($) н неизменную во времени случайную начальную фазу щ. В соответствии с моделью (2.37) данный сигнал представим как зь(С;~рь) = Ке (Бь(~; ря) ехр(у2я~о~)) где «полниь комплексная огибающая содержит детерминированную составляющую и компоненту, учитываюшую случайную начальную фазу: Я,(Ф;у~о) = Яь(8) ехр(ура). Ы М-а ..р.а„,:,.„р.....

Д Вместо непосредственного вычисления расстояния между сигналами з~,(~;~рь) и з~(8;сэ) можно воспользоваться соотношением (2.43) и найти расстояние между комплексными огибающими Яь(~; уь) и Я(8; ~р~). В со- ответствии с обобщением теоремы косинусов (2.41) и в предположении, что все сигналы имеют равную энергию Е, с1Р(Бь Б~ ) = 4Е[1 — Верон(р)) где дополнительный подстрочный индекс у подчеркивает соответствие вектора Бь полной комплексной огибающей Яь(1; ~рь), принята во внима- ние независимость энергии сигнала Е от начальной фазы ~рю и т (Бь„Б~,) 1 Г .

2Е 2Е,/ о рм = = — / Яь(1)ЯДС)<И = /рц/ехр(урм), (2А4) (БюБг) 1 Г . 2Е 2Е,/ а где ~ры = агя(рм). Теперь искомый квадрат расстояния запишется как Ф(Бьф, Б~ф) = 4Е(1 — ~ры~ сов(ры+ ~рь — д)~. (2.45) Проблема вычисления этой величины состоит в ее зависимости от неизвестных фаз ~ою сэ. Вследствие этого существует множество расстояний для заданных детерминированных законов модуляции Бь(1) и Я~(Ф), в зависимости от того, какой оказалась случайная разность фаз уь — ~рь При значительном модуле коэффициента корреляции ~ры~ всегда имеется вероятность неудачной комбинации фзз (малого значения ~рм + ~рь — д), при которой расстояние (2.45) окажется малым. Для исключения подобного риска необходимо, чтобы модуль коэффициента корреляции ~рм ~ был минимально возможным, и в идеале сигналы должны подчиняться условию рм = ' = О, й ф1, й,1 = 1,2,...,М. (2.46) (Бю Б~) Как и в 2.3, мы опять пришли к ортогональным сигналам.

Теперь, однако, условие ортогонзльности является более обязывающим, означая ортогональность комплексных огибающих,или, другимисловами, законов — коэффициент корреляции полных комплексных огибающих Яь(С;уь) и Я~($;сэ). Учитывал неизменность значений фаз во времени, последнее соотношение может быть переписано в виде рм(ф) = рм ехрЦфь — ф~)), где введен коэффициент корреляции рм, связанный только с детерминированными (т. е. свободными от случайной фазы) комплексными огибающими А(Ф) й(й) ~~~~2 Глава в.

Классические задачи приема и синтез сиеналов о~У(Ю)Я~(~) Ж о (2.47) й = 1, 2, ..., М. модуляции сигналов, а не только самих сигналов. Благодаря этому сигналы остаются ортогональными при любых сочетаниях фаз, поскольку из рм = 0 следует и рьт(та) = О, Фр. С другой стороны, условие (2.4б) исключает возможность формирования ортогональных сигналов простым квадратурным сдвигом несущей, что было возможным в случае когерентных радиосигналов. Прямым результатом этого является сокращение вдвое размерности сигнального пространства пв при фиксированной общей полосе Итт.

взамен и, = 2ИттТт, как это было в случае когерентных радиосигналов, теперь п, = ИттТт. Данный факт можно объяснить и иначе: ортогональность теперь должна соблюдаться для комплексных сигналов, т.е. в комплексном векторном пространстве. Каждый комплексный вектор представим в виде двух координат, отвечающих вещественной и мнимой частям, и, следовательно, требует для своего представления двумерного векторного пространства, т.

е. плоскости. Все эти плоскости должны быть ортогональны друг другу. Поскольку максимально достижимая размерность пространства составляет величину 2И'тТт, то в нем можно расположить только ИттТт ортогональных плоскостей, а, значит, и ХсТт ортогональных комплексных сигналов. Следует упомянуть, что в отличие от случая М детерминированных сигналов, при некогерентном приеме ортогональные сигналы являются строго оптимальными вне зависимости от их числа. Например, при некогерентном приеме оптимальной является пара ортогональных сигналов, тогда как противоположная пара вообще бессмысленна, так как случайность фазы превращает противоположные сигналы в полностью идентичные. Еще один существенный момент касается оптимальной стратегии решения при некогерентном приеме.

Наблюдение у(~), будучи само радиосигналом, разумеется, может быть записано через комплексную огибаннвую или закон модуляции У(4): у(т) = Не ]У(т) ехр(~2хДт)]. Очевидно, У(~) является случайным процессом. Для решения, какой из М возможных сигналов принят, необходимо сравнить расстояния между наблюдением и сигналами, что, согласно соотношению (2.43), эквивалентно сравнению квадратов расстояний между соответствующими комплексными огибатощими: сР (Яь„, 'У') = Ц'тГ]]э + 2Š— 2Не [еь (ттзь)], где зь (ттзь) — корреляция (сквлярное произведение) комплексных огибающих наблюдения р(8) и й-го сигнала со случайной фазой вь(т; ~рь).

Для исключения зависимости от случайной фазы логично выбрать для сравнения только минимальное по всем возможным значениям той расстояние для каждого й. Опуская выкладки, повторяющие почти дословно приведенные вьппе, решающее правило можно выразить через модуль корреляции Ш.б.

Об у р др р р ДЗ Тем самым 1с-й сигнал считается принятым, если модуль корреляции между его детерминированной комплексной огибающей и комплексной огибающей наблюдения максимален. Другими словами, используется прежняя идея: принятым объявляется сигнал, закон модуляции которого имеет наибольшее сходство с законом модуляции наблюдения. 2.6. Обмен выигрыша от ортогонального кодирования на ширину полосы Предыдущее рассмотрение очевидным образом высветило особую роль ортогональных сигналов: они практически (при М» 1 для когерентных сигналов) и даже теоретически (для некогерентного случая) оптимальны при М-ичной передаче данных. Оценим теперь выигрьпп, сопровождающий применение ортогонзльных сигналов в сравнении с некодированной передачей, т.

е. непосредственной передачей потока информационных битов источника. Предположим, что энергетический ресурс позволяет передавать каждый бит данных с энергией Ем отсутствует специальное кодирование потока битов данных и каждый информационный бит передается оптимальной (противоположной) парой сигналов, другими словами с помощью БФМ. Среди блоков из т последовательных битов возможны любые комбинации, в том числе и такие, которые отличаются друг от друга значением только одного бита. Поэтому минимальная величина квадрата расстояния между сигналами, отвечающими неидентичным т-битовым блокам, совпадает со значением квадрата расстояния в одно- битовой противоположной паре, т.

е. согласно рис. 2.5, а д~~;„„= 4Еь, где второй индекс соответствует некодированной (ппсобес1) передаче. Рассмотрим теперь другую систему, в которой все различные т-битовые блоки передаются ортогональными сигналами. Ясно, что каждый такой сигнал обладает энергией тЕм при фиксированном значении энергии на бит Еь. Тогда квадрат расстояния между сигналами (один и тот же для любой пары сигналов, поскольку ортогональные сигналы эквидистантны) снова легко получить из рис. 2.5, б: д~;„„.~ — — 2гпЕм Очевидно, что выигрыш С~ ортогональных сигналов в значении минимума квадрата расстояния по сравнению с некодированной передачей составляет т/2.

Иначе говоря, для достижения того же минимального расстояния передача без кодирования потребует в С~ = тп/2 большей энергии, чем передача с ортогональным кодированием. Принимая во внимание соотношение (2.23), минимум расстояния асимптотически определяет вероятность ошибки для любых сигналов, используемых в М-ичной передаче. Следовательно, требование высокой достоверности приема, автоматиче- ~~~~4 Глава г. Классические задачи приема и синтез сигналов ски влекущее за собой необходимость большого отношении сигнал-шум, означает, что равная надежность двух рассмотренных систем возможна только за счет ббльших в С раз энергетических затрат для варианта без коДиРованиЯ.

Таким обРазом, асимпгпотпическпи выигРыш стл от коДирования ортогональными сигналами является адекватным показателем преимущества ортогональной передачи в пределе, т.е. при отношении сигнал — шум, стремящемся к бесконечности. -б -б О 5 10 15 О 5 !О 15 Сигнал-шум на бит, дБ Сигнал-шум на бит, дБ Рнс. 2.9. Сравнение вероятности ошибки прн некоднрованной передаче н ортого- нальном кодировании Для оценки выигрыша от ортогонального кодирования при конечном отношении сигнзл-шум, так же как и скорости его сходимости к асимптотическому на рис. 2.9 представлены семейства кривых для двух значений длины т-битового блока: т = 6 и т = 20.

Первая кривая (сплошнзя линия) представляет вероятность ошибки на блок при некодированной передаче, а две другие — ту же вероятность при кодировании т-битовых блоков М = 2™ ортогональными сигналами, обрабатываемыми когерентно. Пунктирная кривая построена на основании аддитивной границы (2.32), тогда как штрихпунктирная линия отвечает точной формуле для вероятности ошибки когерентного приема М ортогонзльных сигналов, вывод которой можно найти во многих популярных книгах по основам теории связи (например [б, 71): Р,,„т — — 1 — — ~ ехр — Ф (х)11х, 1 7 1' (х — чь %)21 где Оь = з/2Яь7%р — отношение сигнал — шум на бит, а Ф(з) = 1 — Я(х)— функция ошибок.

Й.б.Об*. р г др р г ДБ Попутный вывод из графиков рис. 2.9 состоит в высокой надежности аддитивной границы: в приложениях, как правило, требуется малая вероятность ошибки, и, как видно, при Р, ( (10 ~ просвет между точным значением отношения сигнал-шум на бит и оцененным по аддитивной границе составляет менее 0,5 дБ. С ужесточением требований к достоверности передачи этот просвет быстро уменьшается (падал ниже 0,2 дБ при Р, ( 10 з). В диапазоне значений Р, от 10 з до 10 а точное значение выигрыша С от ортогонального кодирования возрастает с 3,5 до 4,2 дБ (т = 6) и от 8,5 до 8,9 дБ (т = 20).

Сравнивая эти цифры с асимптотическими значениями (4,8 и 10 дБ соответственно), нетрудно убедиться в их достаточной близости, оправдывающей использование асимптотического выигрыша от кодирования в качестве первого приближения эффективности ортогонального кодирования. Чрезмерный оптимизм в отношении достоинств ортогональной передачи, возможный в свете приведенных результатов, представляется не столь обоснованным после определения реальной цены, которой приходится оплачивать выигрыш от кодирования. Ценой этой оказывается расширение полосы, поскольку, как это было установлено в 8 2.3, размерность сигнального пространства и„ т.е.

число ортогональных сигналов М = и„ напрямую ограничена общим частотно-временным ресурсом Ю~Тс системы. Интересуясь главным образом порядком величин и игнорируя тривиальное удвоение числа когерентных ортогональных сигналов, имеем М = Х,Тб или И'с = М/Т,. Пусть необходимая скорость передачи в системе составляет В бит/с, что соответствует передаче гп = ЯТ~ битов за выделенный интервал времени Тг Ясно, что ортогональное кодирование битовых блоков такой длины может быть осуществлено с помощью М = 2 = 2лт' сигналов, обеспечивая асимптотический выигрыш от кодирования С = т/2 = ВТс/2. Тогда спектральная эффективность В/И'"б т.е.