Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007), страница 5

На самом же деле советские достижения в обла- ~~~26 Глава 1. Широкополосные сигналы и системы сти широкополосной технологии в 50-90 -е гг. соответствовали высочайшим мировым стандартам и вполне могли конкурировать с разработками США и Европы, Работы Д.Е. Вакмана, Я.Д.

Ширмана, М.Б. Свердлика (синтез и обработка радиолокационных сигналов), И. А. Амиантова, Л. Е. Варакина (широкополосная связь) и других были во многих отношениях пионерскими и рекрутировали множество молодых ученых и инженеров в зту увлекательную и передовую область науки. ГЛАВА 2 КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПРИЕМА И СИНТЕЗ СИГНАЛОВ типичным для теории связи является подход, при котором анализ той или иной системы начинается с приемной стороны. Цель подобной стратегии состоит в синтезе оптимального приемного устройства, которое с наилучшим качеством извлекает полезную информацию, содержащуюся в наблюдаемом колебании. Знание алгоритма приема, оптимизированного в расчете на конкретную структуру переданного сигнала, позволяет в дальнейшем синтезировать оптимальным образом и сам переданный сигнал, т.

е. выбрать наилучшим образом методы его кодирования и модуляции. В данной главе мы исследуем связь между классическими задачами приема и широкополосной концепцией, иными словами, выясняем, какие из классических задач приема требуют или не требуют привлечения широкополосных сигналов. Классическими задачами приема ниже именуются те, которые базируются на традиционной модели гауссовского канала. 2.! .

Гауссовский канал, общая задача приема, оптимальные решающие правила Любая информационная система, в которой данные передаются из одной пространственной точки в другую, может быть представлена следующей абстрактной моделью. Пусть имеется некоторый источник, генерирующий одно из М возможных сообщений.

Данный источник может быть управляемым, или, по меньшей мере, созданным человеком, однако он может иметь и независимую от человеческой деятельности природу. В любом случае каждое из М конкурирующих сообщений передается своим специфическим сигналом, так что имеется множество Я из М возможных сигналов: Я = (яь(~): я = 1,2,..., М~. Па мощность множества Я, т. е. (28 Г й. К .« ... д Для ответа на поставленный вопрос необв««б Иб ходимо знать модель канала. Математическое Канал описание канала дается переходной вероятное»пью р[д(х) [в(х)), характеризующей вероятность трансформации каналом заданного вход- дель системы ного сигнала в то или иное выходное наблюдение д(~).

Если значения переходной вероятности р[д(8)[в(Ф)) известны для всех возможных пар в(Ф) и д(х), канал исчерпывающе описан. При равной вероятности всех сообщений источника (что, как правило, характерно для разумно спроектированной системы) оптимальной стратегией наблюдателя, обеспечивающей минимальный риск перепутывания действительно переданного сигнала с каким-то другим, является правило максимального правдоподобия (МП). Согласно этому алгоритму по получении колебания д(8) решение принимается в пользу того сигнала, для которого вероятность трансформации каналом именно в наблюдение д(Ф) является наибольшей (в сравнении с другими сигналами). В теории связи наиболее распространенной моделью служит канал с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ), или просто гауссовский канал, в котором переходная вероятность экспоненциально уменьшается с ростом квадрата евклидова расстояния между переданным сигналом и выходным найподением: ( 1 2 р[д(1) [в(Ф)! =Йехр ( — — с~ (в, у) ~о (2.1) число сигналов М, в принципе не накладывается никаких ограничений и, если необходимо, множество Я может полагаться даже несчетным.

Источник выбирает некоторый определенный сигнал вь(1) Е Я и подает его на вход канала (см. рис. 2.1). На приемной стороне (на выходе канала) наблюдается принятое колебание д(2), которое является не точной копией переданного сигнала вь(Ф), а результатом трансформации вь(1), обусловленной искажающим воздействием шумов и помех, присутствующих в любом реальном канале. Для приемной стороны имеется М конкурирующих гипотез Нь относительно того, какой из М возможных сигналов был в действительности передан и трансформирован каналом в принятое наблюдение д(Ф), единственная из которых должна быть отобрана и объявлена истинной.

Обозначим результат этого выбора, т. е. решение, через О, что читается как «решение принято в пользу сигнала с индексом у». Классическим вопросом теории радиоприема является следующий: что представляет собой наилучшее правило решения о том, какое из воза«олсных сообщений (или сигналов) было передано, если принято наблюдение д(1)? где Й вЂ” константа, не зависящая от я(Ф) и у(Ф), Фо — односторонняя спектральная плотность мощности белого шума, а евклидово расстояние между я($) и у(Ф) определяется как (2.2) Объяснение особой важности гауссовской модели лежит в физической природе многих реальных шумов.

Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей вероятностное распределение суммы большого числа случайных элементарных слагаемых, между которыми нет сильной зависимости и доминирования одних над другими, приближается к гауссовскому по мере того, как число слагаемых растет. Как тепловой шум, так и многие другие, типичные для реальных каналов связи, как раз и представляют собой результат суммирования зна штельного числа элементарных токов или напряжений, обусловленных хаотическим движением заряженных частиц (электронов, ионов и т. п.). Говоря о расстояниях между сигналами или колебаниями, мы интерпретируем последние как векторы, что является общепринятым во всех дисциплинах, связанных с информационными технологиями. Читателю, испытывающему затруднения в понимании соответствия сигналов векторам, может помочь следующий мысленный ход. Предпримем дискретизацию непрерывного сигнала во времени, т.е.

представим сигнал я(8) его отсчетами я; = я(гТ,), г = 0,1,..., взятыми с фиксированным интервалом Т,. Если полная энергия сигнала сосредоточена в пределах полосы И~, а Т, < 1/2И', то отсчеты я, исчерпывающе определяют исходный непрерывный во времени сигнал в(Ф). При длительности сигнала Т (в пренебрежении невозможностью для реализуемого сигнала иметь одновременно конечные длительность и полосу) имеется п = Т(Т8 подобных отсчетов и, значит, п-мерный вектор в = (яо, ям..., я„1) полностью описывает сигнал. Проделав подобную операцию с наблюдением у(Ф), придем к его и-мерному векторному эквиваленту у = (ушу1,...,у„1), что позволит найти евклидово расстояние между векторами в и у согласно теореме Пифагора для и-мерного векторного пространства: й — 1 4в Ь) = ',) ".

[у' — я*р с=о Одним из способов возвращения от дискретных колебаний к непрерывным может быть теперь устремление Т, к нулю, в результате чего размерность векторов в и у, остающихся векторными эквивалентами сигнала и наблюдения, становится бесконечной (в пределе эти векторы повторя- ~~0 Г д.

К«« . д р ют л(~) и у(1), поскольку дискретизация устраняется). Одновременно сумма в правой части приведенного равенства превращается (с точностью до множителя) в интеграл. Последний, таким образом, характеризует евклидово расстояние между непрерывными во времени колебаниями. Вернемся вновь к правилу МП для гауссовского канала. Согласно соотношениям (2.1) — (2.2), правдоподобие сигнала (вероятность того, что именно он преобразован каналом в наблюдение у(г)) уменьшается с увеличением евклидова расстояния между а(ь) и у(г).Следовательно, правило МП для гауссовского канала можно переформулировать как правило минимума расстояния: Й(я;, у) = ш)пс)(вшу) =~ Нл, (2.3) т.е. решение принимается в пользу сигнала а (1), поскольку он наиболее близок (в смысле евклидова расстояния) к наблюдению у(Ф) среди всех М конкурирующих сигналов (см.

рис. 2.2). Другой, более прямой записью (2.3), является следующая: в = ага пппдд(8, у), аея где й — оценка принятого сигнала (т. е. сигнал, объявляемый принятым). Оставаясь в рамках геометрической а 1 аа трактовки сигналов, можно ввести геометричеснунд длину сигнала ))в~~ как его расстояние от начала координат. При этом из (2.2) следует, что ~)в(~ = Н(в, 0) = ъГЕ, где о)адж) пао дна„у) Е = ~лз($)дй (2.4) Рис. 2.2. Иллюстрация к правилу а минимального расстояния — энергия сигнала.

Другои важной геометрической характеристикой является скалярное (внутреннее) произведение (и, ц) двух сигналов и(г), и(1): т (п,ч) = ~и(1)и(Ф) дй, (2.5) о которое вновь может интерпретироваться как предельная форма скалярного произведения двух и-мерных векторов. Эту же величину можно вычислить и через длины векторов и косинус угла са между ними: (и, ад) = = ~)п~~ . ))и)) сов са, и, таким образом, скалярное произведение свидетельствует о близости, или сходстве сигналов. В самом деле, чем ближе сигналы фиксированной длины (энергии) друг к другу, тем меньше сов сл 2.1.

Гщ« ~ м б Й р 31) отличается от единицы и тем больше скалярное произведение. На этом основании скалярное произведение называют также корреляцией сигналов. Чтобы подчеркнуть важную роль этой величины, обратимся к слегка видоизмененному варианту правила минимального расстояния. Раскроем скобки в (2.2), придя к равенству т т т Й (яз, у) = ~ у (й) й — 2 / уЯззЯ Й+ ~ з„Я й = /(у//~ — 2зз+!!вз //~, (26) о о о где зз является корреляцией между наблюдением у(1) и Й-м сигналом зз(1): т гь = (у,вз) = ~у(~)ззЯсИ. (2.7) о Первое слагаемое в правой части (2.6) фиксировано для данного наблюдения и поэтому не влияет на сравнение расстояний между собой и решение, какой из сигналов принят.