Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007), страница 6

Последнее слагаемое есть не что иное, как энергия з-го сигнала Ез. Теперь правило минимума расстояния (2.3) можно толковать как следующее правило максимума корреляции: Е. ( Ез'~ г. — — = п1ах ( зз — — ) ~ Н, 2 з (, 2,l (2.8) означающее, в частности, что среди М возможных сигналов одинаковой энергии принятым объявляется тот, который имеет наибольшую корреляцию с наблюдением у(1). Физическая трактовка последнего сценария весьма прозрачна: предпочтение отдается тому из сигналов, й' который наиболее похож на наблюдение у(~) в сравнении с остальными, причем мерой сход- зм ства служит величина корреляции (скзлярное произведение) сигналов с у(1). Интересно попутно отметить, что даже эти зг весьма предварительные рассуждения позволя- я» ют составить представление об общих идеях синтеза сигналов.

Обратимся к рис. 2.3, на ко- рис. з.з. Зашумленное затором изображен пучок сигнальных векторов. озюдевие и задача синтеза Предположим, что передавался сигнал вм и что он подвергся искажению в АБГШ канале, прибавляющем к в1 шумовой вектор п. Гауссовский вектор п характеризуется симметричным (сферическим) вероятностным распределением, экспоненцизльно спадающим с увеличением квадрата длины вектора и, что видно (32 Г йК «д р из (2.1) после удаления из него сигнала (т. е.

при подстановке з(1) = 0). Следовательно, вектор наблюдения у = в1 + и флюктуирует вокруг в1, как это показано на рисунке, и, согласно правилу минимума расстояния (2.3), как только у окажется ближе к какому-то другому сигналу, чем к в1, будет принято ошибочное решение. Для минимизации риска подобных ошибок остальные сигналы следует располагать на максимально возможном расстоянии от в1. Поскольку любой из М сигналов может быть передан с равной вероятностью, т. е. занять место в1, очевидно, что все расстояния д(вю в~), 1 < й ( 1 < М, следует стараться сделать как можно ббльшими.

Когда М достаточно велико, задача одновременной максимизации всех расстояний оказывается весьма нетривиальной, поскольку они могут конфликтовать друг с другом: удаление некоторого вектора от соседнего чревато риском приближения его к какому-то третьему. В этом свете задача построения созвездия максимально удаленных друг от друга сигналов (входящая в обширный класс так называемых задач упаковки) во многих случаях весьма сложна, и общее ее решение пока не найдено. Заметим, что вьппе все М сигналов считались полностью детерминированными, т. е. полагалось, что на приемной стороне априори известны все параметры сигналов, и наблюдатель не осведомлен только об одном: какой именно из конкурирующих М сигналов был послан. Подобная модель в значительной степени адекватна приему сигналов на видеочастоте или когерентному приему на высокой частоте.

Однако с некоторыми дополнениями основные подходы применимы и к более сложным сценариям, как например, некогерентный прием (см. ~ 2.5). Освежив в памяти общие идеи оптимального приема, мы подготовили почву для перехода к более детализированному обсуждению с акцентом на вопросах оптимизации сигналов и выявлении потенциальных преимуществ — или отсутствия таковых — широкополосной передачи в условиях разнообразных классических ситуаций. 22. Передача двоичных данных (детерминированные сигналы) Чтобы продемонстрировать критическую зависимость качества приема от расстояния между сигналами начнем с простейшей, но весьма типичной связной задачи двоичной передачи данных, когда по каналу пересылается одно из лишь двух (М = 2) возможных сообщений.

Практически данная постановка соответствует передаче либо одного бита данных в системе без канального кодирования, либо одного символа двоичного кода в системе с помехоустойчивым кодированием и жестким решением д.д. Пдд д д ~д д д * ~ 33) на приеме и т. п. Маркируя сообщения номерами нуль и единица и полагая, что для их передачи используются сигналы ло(г) и л7(г) (по-прежнему детерминированные), правило минимального расстояния (2.3) можно записать как й, С((всд У) д дд(87д У), (2.9) йд где позиция символа решения по отношению к знакам неравенства прямо указывает, когда принимаются решения в пользу того или иного сообщения. Аналогичным образом может быть переписано и решающее правило (2.8), предполагающее сравнение корреляций йа Ео — Е1 3 = ЛΠ— Л7 ~~ (2.10) й 2 где корреляция ль, й = О, 1 каждого из сигналов с наблюдением д(~) определяется соотношением (2.7), а энергия сигнала Еь = 'Пва'92, й = 0,1 устанавливается (2.4).

Оптимальные правила различения (2.9) — (2.10) двух сигналов могут быть наглядно интерпретированы геометрически. Два сигнальных вектора во и в7 всегда лежат в сигнальной плоскости БР. Вектор же наблюдения у необязательно попадает на эту плоскость, но близость его к одному или другому сигналу определяется близостью к ним проекции у' вектора у на ЯР (см. рис. 2.4, а).

Следовательно, плоскость ЯР может быть поделена на две полуплоскости прямолинейной границей, перпендикулярной к прямой, соединяющей сигнальные векторы. Тогда решения Йо и Й7 выносятся на основании попадания проекции у' в соответствующую полуплоскость (см. рис. 2.4, б). Нд й, б) а) Рис. 2.4. Сигнальная плоскость и полуплоскости решения Из рис.

2.4, б также следует, что вероятность перепутывания сигналов (вероятность ошибки) зависит от расстояния между векторами во и в7, отнесенного к диапазону случайных флюктуаций у', обусловленных канальным шумом. Согласно (2.10), фактически принятый сигнал ло(1) 2 — 2771 (ч34 Глава л. Классические задачи ириема и синтез сигналов будет ошибочно засчитан за вг(~), если и только если разность корреля- ций з будет меньше порога (Ео — Е1)/2. Следовательно, вероятность рш подобной ошибки может быть найдена как (Рг( ) здесь и далее символи- зирует вероятность) 2 Ев — Е1 и =Р (*< ° в)) = 1 и~ ~чеза, (2,11) где Р(А]В) — условная вероятность события А при условии, что событие В произошло, а гг'(з |во(Ф)) условная плотность вероятности разности корреляций з из (2.10) при условии, что сигнал ве(1) был принят в действительности.

Одно из замечательных свойств гауссовского процесса состоит в том, что любое его линейное преобразование оказывается также гауссовским процессом. Поскольку з, согласно (2.7), (2.10), получено линейным преобразованием гауссовского наблюдения у(2), то и з подчиняется гауссовскому закону 'гг'(з]во(~)) = ехр— ( — )2 ~/2ко ~ 2о2 интегрирование которого, согласно (2.11), приводит к выражению 2з — Ео+ Ег (2.12) где 13(з) = — ехр ~ — — ) сМ ~/2к l ~ 2) где Т (вв, в~) 1 '"")"(') "' (2.14) о — коэффициент корреляции сигналов вл(1), з~(Ф), а Ел, Е~ — их энергии. Из (2.14) следует, что геометрически рог есть просто косинус угла между — доиоянитпельная функция ошибок. Из (2.7), (2.10) могут быть найдены математическое ожидание з, при условии того что принят тот или иной сигнал (верхняя черта здесь и далее используется как символ статистического усреднения), и дисперсия о2 = чаг (з1. При истинно принятом сигнале во(Ф), т.е.

у(г) = во(с), математическое ожидание разности корреляций з т з = ~УФ(воЯ вЂ” зг(~)! ~й = Ео — Роъ4ХЕм (2.12) о 2.3. Пр~ Н д (д~ ~ ~ Зф т 2 т т п2 = чэг12) = 2~и(2)з(2) йс = / / п(2)п(г)з(1)з(2') <И<И', о о о где квадрат интеграла заменен двойным интегралом с разделяющимися переменными, изменен порядок интегрирования и усреднения (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий) и, наконец, усреднение применено только к случайному сомножителю под знаком интеграла. Напомним теперь, что вследствие равномерности спектра белого шума во всем частотном диапазоне аетокорреляционнол функция (статистическое среднее произведения двух временных отсчетов) такого шума есть дельта — функция Дирака п($)п(г') = (21'е/2)б(1 — $').

Другими словами, любые два отсчета белого шума, не совпадающие во времени, некоррелированы. Использование последнего результата в выражении для дисперсии, а также фвльтрую2цего свойства дельта-функции т / ' '- '= 8(2 )6(с — $) а = 8(1), о приводит к выражению т н2 = е /з2(2) 1 о (2.15) где Š— энергия сигнала л(Ф). Как следует из (2.10) и (2.7), в рассматриваемой ситуации в (2.15) следует подставить з(8) = ав(2) — л1(1), т.

е. Е представляет собой энергию Еэ разностного сигнала аэ(2) — в2(1). Согласно определению энергии т Ел = / [аз(с) — э1(2)] й2 = И~(во я2) = Ео+ Е1 2Ро1ГЕоЕь. (216) а сигналами ле(1), л1($) (или сигнальными векторами ве, в1) и, тем самым, характеризует близость,нли сходство сигналов. Чтобы быстрее найти дисперсию о2, учтем,что детерминированная составляющал наблюдения у(8) (в рассматриваемой ситуации сигнал аэ(1)) на нее не влияет, поскольку шум в канале аддитивен. Поэтому можно удалить сигнал из у(1), полагая у($) = п(Ф), где п(1) -- белый шум с двусторонней спектральной плотностью мощности Хе/2. После этого нахождение дисперсии корреляции (2.7) наблюдения у(1) с произвольным сигналом э(Ф) сводится к вычислению ~~~ 36 Глава 8. Классические задачи приема и син«вез сигналов Йв г=гр — г1 ><О. Очевидно, что для максимизации расстояния между двумя векторами фиксированной длины следует выбирать их прап«ивополоз«сными, как зто показано на рис.

2.5, а. Тогда угол между векторами во и я«с« = х, а сов с« = рш = — 1 и, значит, Н(вв, в1) = 2~/Е, что приводит соотношение (2.18) к форме ( /«в) (2.19) выражающей минимально достижимую вероятность ошибки при передаче двоичных данных сигналами фиксированной энергии Е. Для непосредственного вычисления корреляции г могут быть использованы корреллп«ор или согласованныб фильтр, часто фигурирующие в дальнейшем, при- В свете геометрического смысла коэффициента корреляции и энергии, последнее соотношение представляет собой не что иное, как теорему косинусов из «школьной«математики. Окончательно подстановка (2.13), (2.15) и (2.16) в (2.12) дает = Я ' (2.17) 2Мо В силу симметрии исходной задачи аналогичное равенство получается и для вероятности р1в перепутывания в1(1) с вв(1).