Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007), страница 7

Таким образом, полная (безусловная) вероятность ошибочного приема Р, не зависит от априорной вероятности «о поступления в канал сигнала вв(с) и дается соотношением Ре = «орв1 + (1 «о)р1о = Ю «1г(вв, в1) 2Д~в (2.18) Из (2.18) очевидным образом вытекает, что единственным путем достижения высокой достоверности двоичной передачи данных является увеличение расстояния «1(вв,я1) между сигналами. Как видно из (2.16), «1(вв,в1) можно сделать большим за счет увеличения энергии сигналов илн длины соответствующих векторов. Какова, однако, оптимальная пара сигналов, если ресурс подобного «силового«решения исчерпан, т.е. энергия сигналов ограничена заранее? Рассмотрим сперва характерный случай сигналов равных энергий Ев = Е1 = Е, когда интенсивность сигналов не используется как индикатор передаваемого сообщения. Тогда правило принятия решения (2.10) сводится к сравнению корреляций гв и г«или, что эквивалентно, определению знака их разности !.!.

гй»! д д ! (! ! ! ! 37д чем параметр») =;/2Е(Р~о есть не что иное, как отношение сигнал — шд.и на выходе указанных устройств. л , '-~Е ! Л. Ф ! $ , '24Е ! ! ! $ ! $ ! Л е ! ! о $)Е ! ! Л. во ! ! ! н--------« в,= -в б) в) в) Рис. 2.5. Варианты выбора сигналов длл двоичной передачи Как видно, оптимальной парой оказываются противоположные сигналы вида в»(8) = — во(1). Бинарнал фаэоаал л«анииуллиил (БФМ) практически реализует подобную пару и широко используется в цифровых системах передачи данных. При этом символ «0» (сообщение, маркированное нулем) передается радиосигналом с нулевой начальной фазой, тогда как тот же радиосигнал, но с начальной фазой»г передает символ «1». Для выяснения, насколько критично качество двоичной передачи к выбору сигнальной пары, сравним БФМ с другими популярными методами передачи двоичных данных.

Хотя БФМ является наилучшим из возможных способов передачи двоичной информации, ее применение основано на фазовом различии двух сигналов, носителей информации, и, следовательно, требует точного знания приемной стороной текущего значения фазы несущего колебания. Для этого в приемнике должно присутствовать специальное устустройство восстановления несущей, что иногда рассматривается, как нежелательное усложнение. Избежать его возможно за счет замены БФМ бинарной частотной манипуляцией (БЧМ), при которой сообщения «0» и «1» передаются сигналами разных частот. Типичен такой их выбор, при котором сигналы оказываются ори»огональныл«и: соя«« = рш = О, »1(во, я») = »$2Е (см. рис.

2.5, б). Подстановка этих значений в (2.18) дает '= И) (2.20) Сравнение (2.20) с (2.19) показывает, что для ортогональной пары (БЧМ) равная с БФМ вероятность ошибки достигается ценой удвоения энергии сигналов относительно БФМ. Иными словами, ортогональные сигналы энергетически проигрывают противоположным 3 дБ. ~~~38 Глава г. Класеичеение задачи приема и синтез сигналов Существует еще один, достаточно старый, способ двоичной передачи, до сих пор применяемый на практике: бинарная амплитуднал манипуляция (БАМ), при которой символ «О» передается сигналом зв(г) = з(1) с энергией Ев = Е, а символ «1» — паузой, т. е. з»(«) = О, Е1 = О. В этом случае (см.

рис. 2.5, в) И(вв,в1) = »/Е, а вероятность ошибки (2.18) становится равной (2.21) Сравнивая последний результат с (2.19), можно прийти к выводу, что БАМ требует в 4 раза (на б дБ) большей энергии, чем БФМ, для достижения той же достоверности передачи. Последнее утверждение справедливо лишь тогда, когда ограничение наложено на пиковую энергию. На практике чаще ограничение накладывается на среднюю энергию. Поскольку на передачу символа «1»в случае БАМ никакая энергия не тратится, при равновероятных символах «0» и «1» средняя энергия (Ео + Е»)/2 = Е/2. Таким образом, средняя энергия, излучаемая при применении БАМ, лишь в два раза больше, чем при БФМ, при той же вероятности ошибки, и энергетический проигрыш БАМ вЂ” тот же, что и у БЧМ, т.

е. 3 дБ. Проведенный анализ дает основание для следующего вывода о роли выбора сигнальной пары для передачи двоичной информации: отсутствует малейи»ий намек на получение каких-либо преиму»аеств от привлечения широкополосных сигналов, так как расширение полосы сигнала сверх минимума 1/Т не приведет к уменьшению вероятности ошибки. Действительно, для обеспечения желаемой достоверности приема достаточно лишь применить пару сигналов, максимально удаленных друг от друга, что автоматически предполагает использование противоположных сигналов без дополнительных требований к их форме и модуляции. Если по каким-либо причинам использование противоположной пары нецелесообразно, ни ортогональная 1БЧМ), ни БАМ пары сигналов также никоим образом не стимулируют к применению технологии расширения спектра.

2.3. ЛХ- ичная передача: детериинированные сигналы При числе передаваемых сообщений М > 2 вероятность рц«перепутывания истинно принятого сигнала з1(») с каким-либо из М вЂ” 1 ошибочных сигналов з»(«),1 = 2,3,..., М, согласно правилам (2.3) и (2.8) может быть вычислена как 93.М. 99:д 9 9 «39)) р1 9 Рг д (81 у) ~ п1шд (819 у)~81 (1) Е1 Еь = 1 — Рг г1 — — = шах(зу, — — ) ~з1(1) 2 ь 2 Нахождение точного значения этой вероятности состоит в интегрировании условной — при истинности сигнала 81(1) — — совместной плотности вероятности всех М корреляций по всей области, где я1 > зь — (Еь — Е1)/2 для всех к = 1,2,...,М. Этот М-кратный интеграл в общем случае, т.е.

без допущения о некоторых особых свойствах множества сигналов, не может быть упрощен. Однако весьма полезная и точная оценка сверху вероятности р1, может быть найдена с использованием аддитивиой границы. Пусть событие А1 состоит в том, что наблюдение р(1) оказывается ближе к ошибочному сигналу з1(Ф) с номером 1 Е [2, М], чем к истинному з1(1). Тогда принятие 81(Ф) за какой-то (неважно какой) ошибочный сигнал есть объединение всех А1. Согласно аддитивной границе вероятность объединения событий не превышает суммы их вероятностей, так что М р1,, = Рг(А9 0 Аз 0... 0 Аы) ( ~ Рг(А1).

1=2 С другой стороны, Рг(А1), как следует из определения А1, есть в точности вероятность перепутывания лишь двух сигналов 81(1) и з1(1). Значение последней дается равенством (2.17) после соответствующей подстановки номеров сигналов: Рг(А1) = рп = 1~ а (81, 81) 2Д~о Подстановка последнего соотношения в предыдущее неравенство приводит к искомой оценке (м1) Аналогичный результат (при соответствующей замене индексов) получится и в предположении, что вместо з1(1) истинным является сигнал зь(1), так что, с учетом априорной равновероятности всех М сигналов, аддитивная верхняя граница для полной (безусловной) вероятности ошибки примет вид (2.22) ~~~40 Глава г. Классические задачи приама и синтез сигналов Первым примечательным фактом, касающимся (2.22), является то, что при М = 2 неравенство превращается в равенство (2.18).

Другой факт связан с асимптотическим поведением (2.22) при возрастании отношения сигнал- шум. Дело в том, что дополнительная функция ошибок Я(х) спадает при достаточно большом х как ехр( — хз/2), и даже незначительное увеличение аргумента способно уменьшить фх) до пренебрежимо малого уровня по сравнению с начальным. Вследствие этого при достаточно большом отношении сигнал -шум лишь сигнальные пары с минимальным расстоянием вносят заметный вклад в значение суммы в (2.22), и если с! сп есть минимальное расстояние между сигналами, встречающееся в сигнальном созвездии п,„м раз, то оценка (2.22) асимптотически трансформируется к виду пппп ~) пап ~п!и (2.23) Приближение (2.23) указывает, прежде всего, на асимптотическую сходимость аддитивной границы к истинной вероятности ошибки с ростом отношения сигнал — шум.

Для физического объяснения этого обратимся вновь к рис. 2.3 и отметим, что при малом уровне шума только те сигнальные векторы, которые расположены вблизи от истинного, могут быть ошибочно приняты за последний. Это означает, что асимптотически только сигнальные пары с расстоянием с! пп влияют на значение вероятности ошибки Р, (а не только ее верхней границы!), что и означает сближение Р, с ее аддитивной границей. Соотношение (2.23) лежит в основе одной из возможных и наиболее важных постановок задачи синтеза ансамбля сигналов, требующей мансилсизании минимума расстояния в множестве М сигналов.

Как уже упоминалось в 3 2.1, подобная задача в геометрической интерпретации эквивалентна упаковке М векторов таким образом, чтобы ближайшая их пара находилась на максимально возможном расстоянии: а пп = шах. При этом на созвездие сигналов (векторов) могут быть наложены различные ограничения. Прежде всего следует учесть естественные лимиты практически доступного ресурса мощности или энергии. Если фиксировать М только среднюю энергию сигналов Е = 2 Еь~М = сопвФ, допускаетя=1 ся разная длина сигнальных векторов, и процедуру построения ансамбля сигналов можно назвать объемной упаковкой. Часто, однако, при отображении сообщений в сигналы выдвигается требование исключения влияния энергии, т.е. ее равенства для всех сигналов: Еь = Е = сопвФ, к = 1, 2,..., М. В этом случае все сигнальные векторы имеют одинаковую длину, и значит, лежат на сферической поверхности, откуда и следует название задачи — сузеричеснал упаковка.

д.д. дд-„д д: д д Р 4!)) Другим характерным ограничением при синтезе сигналов является размерность и, сигнального пространства, в пределах которого и осуществляется упаковка. Физика этого ограничения вновь связана с лимитом доступного ресурса, на этот раз спектрального. Для объяснения указанной связи обратимся вначале к видеосигналам и предположим, что полный (двусторонний) диапазон частот и временной интервал, отведенные для всех М сигналов, ограничены значениями И~~ и Тв соответственно. Первое из этих ограничений учитывает стремление к экономии полосы, тогда как второе отражает желание передавать данные с приемлемой скоростью В = 1обМ(Тр В итоге, согласно теореме отсчетов, имеется примерно И'~Т~ независимых отсчетов, доступных для построения М сигналов, причем каждый из последних трактуется как вектор в пространстве размерности п, = %сТь Некоторая осторожность в опенке числа независимых отсчетов объясняется уже упоминавшейся невозможностью концентрации энергии любого сигнала в пределах конечных отрезков во временной и частотной областях одновременно.